高中数学立体几何经典题型专题训练试题

1、高中数学立体几何经典题型专题训练试题姓名 班级 学号 得分 说明：、本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间120分钟。、考生请将第卷选择题的正确选项填在答题框内，第卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第卷第卷（选择题）评卷人得分一单选题（共10小题，每题3分，共30分）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动若MNA1C1，则N点的轨迹为（）A线段B圆的一部分C椭圆的一部分D双曲线的一部分2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（

2、）A点H是A1BD的垂心B直线AH与CD1的成角为900CAH的延长线经过点C1D直线AH与BB1的成角为4503、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A棱柱B棱锥C棱台D球4下列说法中正确的是（）A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）菱形；（4）正五边形

3、；（5）正六边形下述选项正确的是（）A（1）（2）（5）B（1）（2）（4）C（2）（3）（4）D（3）（4）（5）6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBA1C平面AEFC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE、BF所成的角为定值7已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（）A4BCD28一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45，则这一正四棱锥的斜高等于（）A2BC2D29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误

4、的是（）AD1O平面A1BC1BD1O平面AMCC异面直线BC1与AC所成的角等于60D点B到平面AMC的距离为10如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且C1EF=90，则AF：FB=（）A1：1B1：2C1：3D1：4第卷（非选择题）评卷人得分二填空题（共14小题，每题3分，共42分）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使C1NMG，则D1NG=_12、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）则下列说法正确的是_A1C平面B1EF；B1EF在侧面上的正投影是面积

5、为定值的三角形；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与点F位置无关；当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为13、如图，三棱锥A-BCD中，ABAD，ACAD，BAC=（0），且AB=AC=AD=2，E、F分别为AC、BD的中点，则EF的最大值为_14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，那么M，N的大小关系是_15若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为_16、正方体AB

6、CD-A1B1C1D1中，EFAC，EFA1D则EF和BD1的关系是_17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长为_18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点已知下列判断：A1C平面B1EF；B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号）19、如图，正方

7、体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱CD、C1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角D-C1D1-B1所围成的几何体的体积为_20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点MAB1，NBC1，且AM=BN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN与面A1B1C1D1成0角；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_21、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，四边形BFD1E一定是平行四边形四边形BFD1E有可

8、能是正方形四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）22、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则=_23设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A，且A，那么k是A的一个“酷元”，给定S=0，1，2，3，4，5，设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结合M有_个24、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是_评卷人得分三简答题（共28分）25、四棱锥P-A

9、BCD中，底面ABCD为菱形，且DAB=60，点P为平面ABCD所在平面外的一点，若PAD为等边三角形，求证：PBAD26、如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC（1）求证：S-ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积27、如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点（1）若BD=2，AC=6，则EG2+HF2等于多少？（2）若AC与BD成30的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH的面积等于多少？28、已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的

10、射影求证：（1）O为ABC的垂心；（2）O在ABC内；（3）设SO=h，则+=29已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R30、如图，在三棱锥D-ABC中，已知BCD是正三角形，AB平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由参考答案评卷人得分一单选题（共_小题）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，

11、点N在四边形CDD1C1及其内部运动若MNA1C1，则N点的轨迹为（）A线段B圆的一部分C椭圆的一部分D双曲线的一部分答案：A解析：解：正方体中ABCD-A1B1C1D1中，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动；如图所示，取CD、C1D1的中点Q、P，连接PQ，当点N在线段PQ上时，MNA1C1；因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接B1D1，交A1C1于点O，B1D1A1D1，取B1C1的中点E，连接PE，则PEB1D1，PEA1C1；又CC1平面A1B1C1D1，PQCC1，PQ平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，PQA1C1；且PQPE=P，A1C1

12、平面PQME，PQ平面PQME，A1C1PQ；N点的轨迹为线段PQ故选：A2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（）A点H是A1BD的垂心B直线AH与CD1的成角为900CAH的延长线经过点C1D直线AH与BB1的成角为450答案：D解析：解：由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正确；AH面A1BD，AHA1B，又CD1A1B，可得直线AH与CD1的成角为90，故B正确；连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1面A1D

13、B，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得C正确；直线AH与BB1所成的角，即为AH与AA1所成的角，设为，由正方体棱长为1，可得正三棱锥的底面边长为，从而求得AH=，则cos，D错误故选：D3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A棱柱B棱锥C棱台D球答案：A解析：解：Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动

14、过程中可得M点轨迹为正方形，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A4下列说法中正确的是（）A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案：A解析：解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体故选A5用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（

15、3）菱形；（4）正五边形；（5）正六边形下述选项正确的是（）A（1）（2）（5）B（1）（2）（4）C（2）（3）（4）D（3）（4）（5）答案：B解析：解：如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2cosCAB=0，CAB为锐角，同理ACB与ABC也为锐角，即ABC为锐角三角形；如右图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形但此时不可能是正五边形故不可能是（1）（2）（4）故选：B6、如图，正方体ABCD-A

16、1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBA1C平面AEFC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE、BF所成的角为定值答案：D解析：解：AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE故A正确EF垂直于直线AB1，AD1，A1C平面AEF故B正确C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值C正确当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是EAA1显然两个角不相等，D

17、不正确故选D7已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（）A4BCD2答案：A解析：解：由于正六棱锥可知底面是六个正三角形组成，底面积S=6=6，体积V=12，h=，夺直角三角形SOB中，侧棱长为SB=故选A8一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45，则这一正四棱锥的斜高等于（）A2BC2D2答案：C解析：解：如图PO底面ABCD，连接OA，取AD的中点E，连接OE，PE，则PE为斜高PAO为侧棱与底面所成的角，且为45，在直角PAO中，PO=2，AO=2，PA=4，在直角AEO中，AE=2，故在直角PEA中，PE=2故选C9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O

18、为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）AD1O平面A1BC1BD1O平面AMCC异面直线BC1与AC所成的角等于60D点B到平面AMC的距离为答案：D解析：解：如图，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1BN，由OD1面A1BC1，BN面A1BC1，可得D1O面A1BC1，A正确；由三垂线定理的逆定理可得OD1AC，设正方体棱长为2，可求得OM2=3，则，有OD1OM，由线面垂直的判定可得D1O平面AMC，B正确；由正方体的面对角线相等得到A1BC1为正三角形，即A1C1B=60，异面直线BC1与AC所成的角等于60，C正确；设点B到平面AMC的距离为d，正方

19、体的棱长为2a，则，由VB-AMC=VA-BCM，得，即，解得：d=，D错误故选：D10如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且C1EF=90，则AF：FB=（）A1：1B1：2C1：3D1：4答案：C解析：解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E=3，C1EF=90，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2，解得：x=，所以AF：FB=：=1：3；故选：C评卷人得分二填空题（共_小题）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使C1NMG，则D1NG=_答案：90解析：解：连接MN，M，N分别是AA

20、1和BB1的中点，由正方体的几何特征可得MNC1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1平面B1C1CBC1N平面B1C1CBD1C1C1NMNC1N又C1NMG，MNMG=M，MD1，MG平面MNGC1N平面MNG又NG平面MNGC1NNG故D1NG=90故答案为：9012、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）则下列说法正确的是_A1C平面B1EF；B1EF在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与

21、点F位置无关；当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为答案：解析：解：对于A1C平面B1EF，不一定成立，因为A1C平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行对于B1EF在侧面BCC1B1上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于平面B1EF在平面ABCD中的射影为DFB，面积为定值，但B1EF的面积不定，故

22、不正确；对于由面面平行的性质定理可得EQB1F，故D1Q=，B1QPF，故AP=，所以三棱锥P-DEF的体积为，故正确故答案为：13、如图，三棱锥A-BCD中，ABAD，ACAD，BAC=（0），且AB=AC=AD=2，E、F分别为AC、BD的中点，则EF的最大值为_答案：解析：解：过F作FGAB，垂足为G，连接GE，ADAB，ADFG，G为AB的中点，FG=1，AG=1，E为AC的中点，AE=1，BAC=，EG=AD平面ABC，FG平面ABC，在RtFGE中，EF=，0，EF故答案是14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，那么M，N的大小关系是_答案：M=N解析

23、：解：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，SABC2=SPAB2+SPBC2+SPAC2，由等体积法得，整理得M=N故答案为：M=N15若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为_答案：10解析：解：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，EF=GH=2，FG=HE=3，周长为2（2+3）=10故答案为：1016、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EFAC，EFA1D则EF和BD1的关系是_答案：平行解析：解：法一：根据图象可知：EFAC，EFA1D，A1DB1C，B1CEF，ACB1C=C，EF面

24、AB1C，而BD1面AB1C，即BD1EF法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）所以=（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）所以=-1+1=0 所以A1DBD1，=1-1=0 所以ACBD1，所以BD1与A1D和AC都垂直又EF是AC、A1D的公共垂线，BD1EF故答案为：平行17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长为

25、_答案：解析：解：正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，连结AD1，AB1，由正方体的性质，得：AD1A1D=P，P是AD1的中点，PQAB1，PQ=AB1=故答案为：18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点已知下列判断：A1C平面B1EF；B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关其中正确结论的序号为_（写出所有

26、正确结论的序号）答案：解析：解：若A1C平面B1EF，则A1CB1F，由三垂线逆定理知：B1FA1B，又当F与A不重合时，B1F与A1B不垂直，错误；E在侧面BCC1B1上的投影在CC1上，F在侧面BCC1B1上的投影是B，B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是三角形，三角形的面积S=棱长棱长为定值正确；设平面A1B1C1D1平面B1EF=l，平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l平行的直线，与平面B1EF平行，正确；设E与D重合，F位置变化，平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小也在变化，错误故答案为：19、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

27、的棱长为4，E，F分别是棱CD、C1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角D-C1D1-B1所围成的几何体的体积为_答案：解析：解：依题意知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球的所求几何体的体积是13=故答案为：20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点MAB1，NBC1，且AM=BN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN与面A1B1C1D1成0角；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_答案：解析：解：当M为A，N为B，排除；当M为B1，

28、N为C1，排除作MMA1B1于M，作NNB1C1于N，易证|MM|=|NN|，MMNNMNMN，由此知正确故答案为：21、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，四边形BFD1E一定是平行四边形四边形BFD1E有可能是正方形四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）答案：解析：解：如图：由平面BCB1C1平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，ED1BF，同理可证，FD1EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故正确；若BFD1E是正方形，

29、有ED1BE，这个与A1D1BE矛盾，故错误；由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故正确；当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E平面BB1D1，故正确故答案为：22、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则=_答案：2解析：解：由正方体的性质可得：D1B平面DA1C1，D1M是三棱锥D1-A1DC1的高不妨设正方体的棱长为1=，=，解得D1M=2故答案为：223设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A，且A，那么k是A的一个“酷元”，给定S=0，1，2，3，4，5，设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这

30、样的结合M有_个答案：5解析：解：S=0，1，2，3，4，5，由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4故集合M可以是2，3、2，5、3，5、3，4、4，5，共5个故答案为：524、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是_答案：4解析：解：题题意SA圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得ADB，SAC，ABC，SBC都是直角三角形故图中直角三角形的个数是4个故答案为：4评卷人得分三简答题（共_小题）2

31、5、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB=60，点P为平面ABCD所在平面外的一点，若PAD为等边三角形，求证：PBAD答案：证明：如图，连结BD，取AD的中点E，连结PE，BE；从而易知ABD也是等边三角形，又PAD为等边三角形，ADPE，ADBE，又PEBE=E；故AD平面PBE；故ADPB解析：证明：如图，连结BD，取AD的中点E，连结PE，BE；从而易知ABD也是等边三角形，又PAD为等边三角形，ADPE，ADBE，又PEBE=E；故AD平面PBE；故ADPB26、如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC（1）求证：S-A

32、BC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积答案：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D因为SABC，所以ADBC又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC又BAC=60，故ABC为正三角形，且O为其中心所以S-ABC为正三棱锥（2）解：在RtSAO中，由于SA=a，SAO=60，所以SO=a，AO=a因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60=a，OD=AD=a在RtSOD中，SD2=SO2+OD2=

33、（a）2+（a）2=，则SD=a于是，（SS-ABC）全=（a）2sin60+3aa=a2解析：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D因为SABC，所以ADBC又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC又BAC=60，故ABC为正三角形，且O为其中心所以S-ABC为正三棱锥（2）解：在RtSAO中，由于SA=a，SAO=60，所以SO=a，AO=a因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60=a，OD=AD=a在Rt

34、SOD中，SD2=SO2+OD2=（a）2+（a）2=，则SD=a于是，（SS-ABC）全=（a）2sin60+3aa=a227、如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点（1）若BD=2，AC=6，则EG2+HF2等于多少？（2）若AC与BD成30的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH的面积等于多少？答案：解：（1）E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点，EHBD，且EH=BD；FGBD，且FG=BD；EHFG，且EH=FG，四边形EFGH是平行四边形；又BD=2，AC=6，EH=BD=1，EF=AC=3，在EFG和HFG中，由余弦定理得，EG2=EF2+FG

35、2-2EFFGcosEFG=32+12-231cosEFG=10-6cosEFG，HF2=HG2+FG2-2HGFGcosFGH=32+12-231cos（-EFG）=10+6cosEFG，EG2+HF2=20；（2）AC与BD成30的角，且EFAC，FGBD，EFG=30，又AC=6，BD=4，EF=AC=3，FG=BD=2；四边形EFGH的面积为S=EFFGsinEFG=32sin30=3解析：解：（1）E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点，EHBD，且EH=BD；FGBD，且FG=BD；EHFG，且EH=FG，四边形EFGH是平行四边形；又BD=2，AC=6，EH=BD=1

36、，EF=AC=3，在EFG和HFG中，由余弦定理得，EG2=EF2+FG2-2EFFGcosEFG=32+12-231cosEFG=10-6cosEFG，HF2=HG2+FG2-2HGFGcosFGH=32+12-231cos（-EFG）=10+6cosEFG，EG2+HF2=20；（2）AC与BD成30的角，且EFAC，FGBD，EFG=30，又AC=6，BD=4，EF=AC=3，FG=BD=2；四边形EFGH的面积为S=EFFGsinEFG=32sin30=328、已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影求证：（1）O为ABC的垂心；（2）O在ABC内；（3）设SO=h，则+=答案：证明：（1）SASB，SASC，SA平面SBC，BC平面SBCSABC而AD是SA在平面ABC上的射影，ADBC同理可证ABCF，ACBE，故O为ABC的垂心（2）证明ABC为锐角三角形即可不妨设abc，则底面三角形ABC中，AB=为最大，从