圆锥曲线的错解例析

1、锥曲线的错解例析圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点.圆锥曲线题目涉及知识而 广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误.本文例析常见的错误解法并进行错因 剖析：一、对圆锥曲线的定义理解不清楚例1、平面内一点P到定点片(-5,0),耳(5,0)的距离之差的绝对值等于10,则点P的 轨迹为()扎双曲线B.椭圆C.两条射线D.线段错解：根据双曲线的泄义知，点P的轨迹是双曲线，故选A错解分析：双曲线定义中，动点与两怎点的距离之差的常数必须小于两定点之间的距离，即2a2c,而本题中护可引=|斤可= 10,因此点P的轨迹不是双曲线正解：由可-巧| = |斤巧| = 10可知，点P的轨

2、迹为以片,竹为端点的两条射线 评注:解决此类问题的关键是正确理解圆锥曲线的第一和第二走义二、焦点位置不清或简单的换a、b例2、求长轴是短轴的3倍，且经过点P (6.0)的椭圆方程.错解：设焦点在x轴上时方程为二+二=1,cra = 3b则由题意有36h = 2方程为+ = 1.交换a, b得焦点在y轴上的方程为+ = 1.364436222 2故所求椭圆方程有两个J+罕和罕+ L = 136 44 36错解分析：教材上讲解圆锥曲线的左义时，指岀圆锥曲线的焦点所在轴不同，方程也不同. 本题简单的交换就得到另一方程，导致错解正解:设焦点杜轴上时方程为才斧1,a = 3b则由题意有36f = 1方程

3、为箱亡设焦点在y轴上时方程为务+計,a = 3b则由题意有（36-V = 1l/r = 18b = 6,从而这时方程为缶+P】.故满足条件的椭圆方程有两个：詁汁1和佥煌“ 评注:解决此类问题要注意：如果焦点的位置不确走，曲线形状不改变,则可简单机械地交 换,否则就要重新设标准方程再进行推算,最好的做法是都设再分别求.三. 误用判别式致错例3、已知双曲线C： X2 - = 1,过点P (1,1)作直线1 ,使得1与C有且仅有一 4个公共点，则满足上述条件的直线1共有()A条B.2条C.3条 D.4条2错解：设直线1的方程为y- l=k (x-1),即y = k x-k+l,与x2- = 1联立消

4、 4去y 得(4- k2) x2+ (2k2-2k ) x - k2+2k -5=0.要直线1与C有且仅有一个公共点，必须= (2k2-2k)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,解得k=-故满足条件的直线1只有一条，选A.2错解分析：以上解法有三个问题，一是双曲线与直线只有一个交点，除了利用4=0得岀相 切的一条外，还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点；二是利用4=0时，必须 以一元二次方程的二次项系数不为零为前提：三是设直线点斜式时，还要考虑斜率不存在的 情况.正解：(1)若直线1的斜率不存在，即1 : x=l,它与双曲线的右支相切于顶点(1, 0), 故1 ： X =1满足

5、条件：2(2)若直线 1 的斜率存在，设 1： y-l=k (x-1),即 y = kx-k+l,与 x?2_ = l 4联立消去 y 得(4- k2) x24- (2k2-2k ) x-k2+2k-5=0.(1) 当4 一 k2=0即k=2时，直线1平行于渐近线，与双曲线也只有一个交点，故1： y =2x 1和y = 2 x +3也满足条件；553(2) 当4一 k 2工0即k H2时，由=()得k =,故1 ： y = x 也满足.222综合以上所述知，满足条件的直线1共有四条，故应选D评注:在解题过程中，根据题型特征，优先考虑问题的某些方面，可以有效地防止错解W漏 解，分类讨论是解决其关

6、键四. 忽视题目隐含条件例4.已知在AA3C中，BC二&另两边长之差为6,求顶点A的轨迹方程错解：以边BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立宜角坐标系，因为 |AB|-|AC| = 60)评注:解轨迹问题时,求出轨迹方程后，一走要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意, 即考虑轨迹方程的纯粹性,有没有多余的点.五、忽视方法结论的前提致错例5、设人3)(七2)两点在抛物线y = 2X2上，/是AB的垂直平分线，问当且仅当召+耳取何值时，直线/经过抛物线的焦点F?证明你的结论2 2 1+ 1X + 无一错解：由题意A、B的中点为P（二_邸+打），F（0,_）有你 :一28 召+心2）、=22

7、 和 y2 = 2x,2 作差得 kAB =上一，,kAB 灯屮=_1, x2 +x22 =-|无解，故这样的直线不存在错解分析：本题看起来没有错误，其实本题在利用“设而不求”思想解决中点弦问题时忽略 了其前提是直线L的斜率存在正解：（1）直线/的斜率不存在时,显然有旺+x2=0（2）直线/的斜率存在时，设为k,截距为b,即直线/： y=kx+b由已知得v2 21一21, =X _ a*2k2彳+ 2遇_ 门+丫2 e2 22好-2遇1 = A1-X2k-= x + % = += b乂 +兀2 = _牙即/的斜率存在时，不可能经过焦点F（0丄）8所以当且仅当册+七=0时，直线/经过抛物线的焦点

8、F 评注:在运用设而不求法处理圆锥曲线中的弦的问题时，虽然这一方法简单快捷，但它 却无法证明这条直线一定会与曲线相交,故必须进行验证.跟踪练习：1点P（x,y）满足57（x-l?+（y-27 =卩x + 5y-13|,则尸点的轨迹是（）A、直线B、抛物线C、双曲线D、椭圆32已知椭圆的焦点在坐标轴上，且过点A（54）,离心率幺=二，求此椭圆的标准方程3. 若双曲线X2 - y2 = 1的右支上一点P（a,b）直线y二x的距离为、伍，则a+b的值是（）111A、B、一 C、- D、22224 已知一动圆与圆A/】 x + y2=l外如 而与圆A/, x2 + y2 -6x + 8 = 0内切，求

9、动圆圆心 M的轨迹方程5已知椭圆3x:+2ya=6x与曲线xs+y2-k=O恒有交点,求k的取值范围6求经过（丄，2）且与双曲线4x-y2=l仅有一个公共点的直线方程27.已知双曲线，一一=1,问过点A (h 1)能否作直线/,使/与双曲线交于P、Q两点， 2并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明理由.参考答案：1. 解:VP点(1, 2)就在直线3x+4y-ll=0, AP点的轨迹为过P点且垂直于直线，的 一条直线，故选Ax2 y22. 解：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+ = 1(0),cr lr25 16.解得：=5 b2 = 32.椭圆的标准方程为

10、箱+器a 少c 3=,a 5b2 =a2 -c2(2)当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为匚+二=10), 少 cr2516i_L -crC_3a,5b2 =2 -a -= (ab 0),则有.881=,16 ，:椭圆的标准方程为 门 881Zr =252 2 2 2综上所述，椭圆的标准方程为F - = 1或qq +為 =150 32 25 IT(2)联立(1),又a2-b2=3. 解:： d = u l =l ci Z? 1= 2(2)可得+ = 丄，又点P在双曲线的右支上，所以 b :. a + b = -.故选B4. 解：圆冏的圆心为MJ0,0),半径为q=l,圆AZ?化为(x-3

11、)2 + y2 = 1,故其圆心为 /叽(3,0),半径q = l,设动圆M的半径为R,则由题意知1 + |MM2| = R 1， 有|-MM21 = 2|/咖2|，即点 M 到 场(0,0)的距离大于H到M,3,0)的距离，所以点H的轨迹是双曲线的右支，所以点M轨 迹方程为(X-)2-= l(x -)2525解：由0=0Z: 对+ y2* = o2又 3x：+2y2=6x,(x-1)2+- = 1,.-.0x0/(2) = 8 + 2比0W2或0W&W2,又函数f(x)= x2-6x + 2k的对称轴方程为且抛物线开口向上, (有这步厶 0可省去)=0k=2，直线y=2x+l或y=-2x+3满足条件(是与双曲线渐近线平行的两 条直线). 若 4-kV0 时，仅有一个公共点 A=0 -2k(2-lk)2-4(4-ks) -( -k3-2k+5)=240=1=丄所求直线方程y-2=i (x-1).2 2 2 打一=1 (1),(1) -(2)7.解：设符合题意的直线/存在，并设则2 1 r P =, (2得(旺一兀乂坷+尤2)=(儿一，2)(1 +)2)，因为A (1,1)为线段PQ的中点，所