初中数学知识点003实数的运算(含二次根式三角函数特殊值的运算)真题及答案

1、、选择题1. (2016贵州省毕节市，7, 3分)估计,6 + 1的值在()A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间【答案】B【逐步提示】 本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握估算的方法先找到紧挨6的两个平方数，即可知道. 6夹在哪两个正整数之间，进而可知,6 + 1夹在哪两个正整数之间.【详细解答】解：因为4V 6V 9，所以26 V 3,所以，3V6 + 1 0t) 0)并把结果化为最间二次根式单项式乘以单项式单项式乘以单项式，应把它们的系数、相冋字母分别相乘，对于只在一个单项式 中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式【关键词】二次根式的加减；二次根式的乘除；幕的乘

2、方；积的乘方；单项式乘以单项式4. (2016湖南省永州市，4, 4分)下列运算正确的是()A. a a3=a3B(a2)2=a4C. x - - x = D . (. 3 - 2)(. 3 2) = -13 3【答案】D【逐步提示】本题考查了幕的运算法则，合并同类项，乘法公式，解题的关键在于正确理解这些法则、公式并会 运用.解题时根据法则公式逐选项进行判断.- 2【详细解答】解：选项A中，一a a3= a4，错误；选项B中，一(a2)2= a4，错误；选项C中，x x x ,3 3错误；选项D中，C3-2)C.3 2) =3 4= 1，正确，故选择 D.【解后反思】同底数幕相乘，底数不变，指

3、数相加；幕的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，只把系数相 加减，字母和字母的指数不变；(a+b)(a b)=a2 b2.【关键词】同底数幕的乘法；幕的乘方；合并同类项；平方差公式5. (2016江苏省扬州市，1, 3分)与-2的乘积为1的数是 (1A . 2B . -2C .2【答案】D【逐步提示】本题考查了倒数的概念，解题的关键是理解“乘积为)1D .-21的两个数互为倒数”1【详细解答】 解：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于-,故选择D .2【解后反思】 一个非零数都有自己的倒数，正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数, 容易出错的地方是把相反数与倒数、绝对值混淆.，再进行计算.

4、0没有倒数.此类问题【关键词】 有理数；有理数的运算；倒数;6.（2016 镇江，2,2 分）计算：（2） 【答案】8.【逐步提示】本题考查了乘方的意义，解题的关键是正确应用乘方的意义求解.根据负数的奇数次幕是负数求解.【详细解答】 解：（一2）3 =-23=-8，故答案为-8.【解后反思】一个负数的奇次幕是负数，一个负数的偶次幕是正数；此类问题容易出错的地方是忽视底数的负号“-”，而得到错误结果.【关键词】 乘方7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.3

5、8.39.二、填空题1. （ 2016福建福州，14, 4分）若二次根式、x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】X -1【逐步提示】 本题考查了二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列关于X的不等式，再求解.【详细解答】解： 若二次根式#X 1在实数范围内有意义，则：x+1 0,解得x- 1 ,故答案为x- 1 .【解后反思】 根据二次根式的意义被开方数必须为非负数，所以要使二次根式.a有意义，则必须 a 0,要使次根式.a无意义，则必须 av 0,列不等式求解.【关键词】二次根式；2. （ 2016 河南省，9, 3 分）计算：（一2）0

6、-丁=.【答案】-1【逐步提示】 本题考查了零指数幕和立方根的的相关运算，解题关键是理解零指数幕和立方根的意义思路：利用任意不为0的数的0次幕都等于1,得（-2） 0=1 ;利用立方根的意义可得，3 8=2然后求差即可.【详细解答】解: （-2） 0 -3.8=1-2 = -1，故答案为-1 .【解后反思】本题重点和难点是零指数幕和立方根的意义.解题的一般规律是利用实数的零指数幕和立方根的意义和运算规律进行计算【关键词】零指数幕；立方根.3. （ 2016湖北省十堰市，12, 3分）计算：|刘8-4卜（1 ） -2=【答案】-2【逐步提示】 本题是一道实数的综合计算题，主要考查立方根的计算、绝

7、对值的计算、负整数指数的计算等，解 答此类计算题，要依据各个计算法则逐步完成，不可跨越，否则易出现错误，避免此类问题错误的方法是做两次 计算，核实无误后，再填入相应的位置.【详细解答】解：|38-4卜（1 ） -2=|2-4卜=卜2卜4=-2 .2（2）2【解后反思】本题中的立方根的计算、 绝对值的计算是实数问题中的一个重点题型，但是分数负整数指数的计算是一个难点，容易出现错误，需要注意.运算规律：实数混合运算的基本思路是： 先将包含每个点运算计算出来， 再根据实数的运算顺序计算.【关键词】数的开方；立方根的概念及求法；绝对值；负整数指数幕4. 8.（ 2016湖南省郴州市，9, 3分）计算：

8、1+ . 4 =.【答案】1【逐步提示】 本题考查的是算术平方根的意义和有理数的加法，求4的算术平方根，就是求一个平方等于 4的正数，然后用这个数和-1相加，根据有理数的加法法则计算.【详细解答】解：原式 =1 + 2= 1.【解后反思】此类问题容易出错的地方是是把算术平方根定义与平方根定义相混淆.一个正数的算术平方根就是其正的平方根一个正数的平方根有两个，且互为相反数有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并 把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.【关键词】算术平方根；有理数的加法；5. （2016湖南湘西，3, 4分）使代数式.X -1

9、有意义的x取值范围是【答案】x 1【逐步提示】 本题考查了二 次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数为非负数.根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，可得关于x的不等式，解不等式即可.【详细解答】解： 由题意得x 1 0,二x 1，故答案为x 1.【解后反思】1对于求代数式或函数关系式中x的取值范围的问题，通常是关于二次根式和分式有意义的条件:名称有意义的条件分式A分式工有意义的条件是BhOB二次根式二次根式 ja有意义的条件是a X 02这类问题通常有三种考法，一是单独考查分式的意义，二是单独考查二次根式的意义，三是把两个综合起来考查，往往需要列不等式组求解，本类问题的基本方法都是

10、抓住其有意义的条件求解【关键词】二次根式有意义6. （ 2016江苏省淮安市，6，3分）估计.7 1的值A .在1和2之间 B. 在2和3之间 C . 在3和4之间 D . 在4和5之间【答案】C.【逐步提示】本题考查了二次根式的估值，找出与被开方数相近的两个完全平方数是解题的关键.小于7的最大的完全平方数是 4,大于7而最小的完全平方数是 9,然后再开方比较即可.【详细解答】解：479 、4 、. 7 v、9即 2 v、7 v 3 2+1 v、7 +1 v 3+1 3v .,7+1 v 4,故选择 C.【解后反思】先判断出与7最接近的两个完全平方数，开方比较后得出,7的范围，再利用等式的性质

11、得出结论.【关键词】二次根式的估值5 - 27. （2016江苏省南京市，10, 2分）比较大小：.5-3 A （填、” v”或号）2【答案】v【逐步提示】本题考查了实数的大小比较， 解题的关键是运用近似数代入估算和逼近法比较大小.因为2、53,所以通过计算 5-3与一5二2的值进行大小比较即可.2【详细解答】 解：由于2話3，使所以、5-30,5-3 v 5- 2 .故答案为v.2 2【解后反思】 确定无理数最接近的正整数的问题一般先确定这个无理数在哪两个正整数之间，再用逐步逼近法多取一个数位，从而求解.因为22 （ 5 ）232，或者 .5 沁2. 236,所以201、8. （2016江苏

12、泰州，7, 3分） 一一 |等于 3. xW 4.3W x 4,-304确定不等式组的解集的两种方法：（1）根据规律“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小，有等【解后反思】小无处找” .（2 ）借助数轴正确解不等式，注意是否要变号；在数轴上表示分两步，其一看是否含等号 号用实心圆点表示，无则用空心圆圈表示；其二看不等号方向，【关键词】一元一次不等式组的解法；数形结合思想.“v”开口方同向左，反之则开口向右.6.（2016 广东茂名，16, 7 分）计算：（1） 2016+J8-血（n 3.14) 0.【逐步提示】 本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、二次根式的化简、绝对值的

13、意义、零整数指数幕的值和同类二次根式的合并法则先分别计算（-1) 2016晶-罷、（n 3.14） 0的值，然后再进行实数、二次根式加减运算.【详细解答】 解：原式=1+2 2 2 1=2 2 2= 2 .【解后反思】 本题最容易出现差错的地方是没有正确区分-妈”与“（羽）”，事实上：_闷=2,（,2） = 2.【关键词】 绝对值；零整数指数幕；二次根式的化简求值7.（2016贵州省毕节市，21, 8分）计算：（n 3.14） +【逐步提示】 本题考查了实数的计算，涉及非 以及负数偶次幕等解题的关键是掌握相关概念、 再计算各部分值的和或差.2sin45 + ( 1)20160数的0次幕、负指数

14、幕、实数的绝对值、特殊角的三角形函数值性质、公式，并能熟练地应用.先将每一部分的值算出来；【详细解答】解：原式=1+2 1 LV22X 2 +1= 1 、. 2 .2【解后反思】 此类问题容易出错的地方是概念不清、计算粗心导致结果出错对于实数的计算没有捷径，需要认 真计算，各个击破.需注意的是：（1）实数的运算顺序；（2）运算律的灵活应用；（3）乘方、立方根，零指数幕, 负指数幕，三角函数值等知识的灵活应用.【关键词】 0指数幕；负整数指数幕；绝对值；锐角三角形函数值；乘方8.( 2016 河北省，20 , 9 分)和用垃圧樽冇时能进行閒便计星井：I 9SX12 =(100-2)x12 = 1

15、200-24 = 1176：例 2-(6x233 + (7x233 = (-16 + 17)x233 233 .丿请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算:(1) 999 X( -15 );4 13(2) 999 X 118 -+99 9 x( ) -999 X 18-.5 55【逐步提示】(1)将原式化为(1000 - 1)X( - 15),再应用乘法分配律进行计算；(2)逆用乘法分配律进行计算【详细解答】解：(1)原式=(1000- 1)X(- 15)=-15000+15=-14985.4 13(2)原式=999X 118+()-185 55=999X 100=99900.【解后反思】

16、对于乘法分配律，不但正用可以简化计算，有时逆用也可以简化计算.【关键词】乘法分配律；有理数的运算9.( 2016 湖北省黄石市，17 , 7 分)计算：(1)2016 +2si n 60打 + n0 .【逐步提示】 本题考查了实数的运算，解题的关键是正确理解乘方的意义，特殊角的锐角三角函数值，绝对厂值，零次幕的意义根据乘方的意义，得(_1)2016 = 1 ；由特殊角的锐角三角函数值，得sin60 =弓；根据绝对值的意义，得|;根据零次幕的意义，得 n0 = 1.【详细解答】解：原式=1 + 2 X-3 - , 3 + 1= 2.2【解后反思】 实数的混合运算，涉及的运算常见的有 6种：绝对值

17、、负整数指数幕、0次幕、-1的奇偶次幕、 特殊角三角形函数、算术平方根或立方根运算.计算时要根据实数的运算顺序计算：先乘方，再乘除，后 加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行计算.【关键词】 实数的四则运算；绝对值；特殊角三角函数值的运用.10. (2016湖北省荆州市，19, 7分)计算：紜|+掐汉(丄)亠石疋(丄(兀1) .2V 2实数的四则运算，绝对值，算术平方根的概念及求法，二次根式加减法，二次根式乘法，有理数的乘方(1)实数的运算顺序要清楚；(2)特【逐步提示】 分别根据零指数幕与负整指数幕、二次根式的化简、实数的绝对值的性质计算出各数，再根据实数 混合运算的

18、法则进行计算即可.【详细解答】解：原式=2 3 2 _2 云-1 = 2 =5.【解后反思】 实数的计算没有捷径，需要认真计算，各个击破需注意的是:殊角的三角函数值要记牢；绝对值、二次根式，乘方，零指数幕，负指数幕等要会化简，且能灵活应用；（3）运算律要会灵活应用.【关键词】 绝对值；算术平方根的概念及求法；二次根式加减法；二次根式乘法；有理数的乘方11. （2016 湖北宜昌，16，6 分）计算：（-2）2（1-3）4【逐步提示】 本题考查了有理数的加减法运算，解题的关键掌握有理数的运算法则方法一：根据有理数的运算 法则，方法二：也可以根据有理数乘法对加法的分配律3【详细解答】解：方法一：原

19、式 =4 （1一3）41=4 4=13方法二：原式=4 （1 - ）43=4 1-4 4=4-3=1【解后反思】 两个有理数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；减去一个数等于加上这个数的相反数，从1而将减法运算转化为加法运算；a=n （n为正整数，0） ； a =1 （a工0）.a【关键词】 实数；有理数的加减法；有理数的乘方运算；乘法运算12. （2016 湖南常德，17, 5 分）计算：-14、12si n60 _ （丄），-（二-、5）2【逐步提示】 本题考查了实数的运算法则根据平方根、特殊锐角三角函数值、零指数幕、负指数幕的规定和乘 方的意义分别计算各项，再将所得结果相加减.【详细

20、解答】解：原式=-1 2 3 4 -1 = -1 3 4 -1 =52【解后反思】：对于实数的计算需注意的是：（1）实数的运算顺序；（2）运算律的灵活应用；（3）乘方，负整数指数幕，零次幕，算术平方根，特殊角的三角函数值等.【关键词】实数的运算13.（ 2016湖南省郴州市,17, 6分）计算:2016+ (T)J3 +2sin 60 【逐步提示】 本题考查了零次幕的意义、乘方、绝对值以及三角函数，关键是掌握基本的运算法则根据零指数 幕、乘方、绝对值、特殊角三角函数值分别进行计算，然后再进行有理数的加减.【详细解答】解：原式=1+ 13 +3 = 2,故答案为2【解后反思】 实数的运算，需注意

21、：（1）实数的运算顺序；（2）特殊角的三角函数值，绝对值、乘方、零指数幕， 负指数幕等知识的灵活应用；（3）运算律的灵活应用.此类问题容易出错的地方是算错负数的奇次幕为正，记错特殊角的三角函数值等.【关键词】 零次幕；幕的乘方；绝对值；特殊角的三角函数值；实数的四则运算14. （ 2016 湖南省怀化市，15, 8 分）计算：20160+ 2|1 sin30 （丄厂 J、16.3【逐步提示】此题考查实数的运算，解这个实数运算题时，要先根据相关的运算法则， 分别计算2016、|1 sin30。卜（丄厂1、,16，然后进行有理数的加减运算即可31【详细解答】解： 原式=1+ 2X_ 3+4= 3.

22、2【解后反思】 此题考查实数的运算，涉及的知识点有零指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幕、1算术平方根等，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则负整数指数幕的运算是易错点，如计算（丄）13【关键词】负整数指数幕；零指数幕；特殊角三角函数值的运用；平方根的概念及求法；绝对值15. （2016 湖南湘西，19, 5 分）计算：（* 2016 -3） 2sin 30 4【逐步提示】 本题考查了二次根式、0指数幕、特殊角的三角函数的化简逐项计算，然后合并即可.【详细解答】解：（J2016 - 3） 2sin 30 3x +2【逐步提示】本题考查了实数的运算，以及解不等式组实数的运算需要先算出零

23、次幕，绝对值以及负整数指数幕，这是解题的关键，解不等式的关键是如何求两个不等式的公共解集. 1(1) 先求出(的+1)0 =1, -2 =2 , 3二=,然后再做加减运算；(2)先分别解两个不等式，然后求两个不3等式公共解.1【详细解答】解： 原式=1+2-丄3=8=3(2) 解：解不等式1,2x-x5-1x2x2不等式的解集为2x4【解后反思】1有关实数的运算需按下列步骤进行：(1) 先算出各个部分的值，主要包括绝对值，零次幕，负整数指数幕，特殊角的三角形函数值，幕的运算，数 的开方等，；(2) 做加减运算.2 .解不等式时要注意正确运用不等式的性质3,即在不等式两边同时除以或乘以一个负数时

24、，不等号要改变方向,这是极易错的一步.【关键词】实数的运算；解不等式组；20. ( 2016江苏省连云港市，17， 6分)计算:厂1 12-：3 25 .【逐步提示】本题考查了实数的运算，先分别算出(_1)2016 =1 ； 2 - 3 025 =5,再进行加减运算.【详细解答】解：原式 =1-1+5=5.【解后反思】有关实数的运算需按下列步骤进行：1 先算出各个部分的值，主要包括绝对值，零次幕，负整数指数幕，特殊角的三角形函数值，幕的运算，数的 开方等，；2 做加减运算.【关键词】实数的运算21.(2016江苏省无锡市，19 (1), 4分)计算：(1)-5 -(-3)2-(7)0 【答案】

25、5;【逐步提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值、乘方、零次幕的计算要领本题可先逐一求出巧、(-3)2、(-J7)0 的值.【详细解答】解：原式= 5 9 1 = 5，故答案为5.【解后反思】实数运算：(1) 是要熟练运用各个运算法则如乘方、算术平方根的化简、0指数与负整数指数、特殊角的三角函数值 等计算；(2) 注意运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算.无论何种运算，都要注意先定符号后运算【关键词】绝对值；乘方；零次幕； ；19.(2

26、016江苏省无锡市，19 (2), 4分)计算：2(2) (a -b) -a(a -2b).【答案】b2.【逐步提示】 本题考查了整式的化简，解题的关键是掌握完全平分公式和单项式乘以多项式法则，本题的思路是先求出(a - b)?和-a(a - 2b)，然后合并同类项.【详细解答】解：原式=a22ab b2 -a2 2ab = b2，故答案为b2.【解后反思】初中数学中的乘法公式有：平方差公式(a + b)(a b) = a2 b2,完全平方公式(a)2= a2?ab + b2,应牢固地掌握.整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减.整式加减的实质就是合并同类项.对于化简求值题，常 常先

27、化简再求值.【关键词】整式加减乘除；完全平方公式；22. (2016 江苏省宿迁市，17, 6 分)计算：2sin30 3J C.2-1)0 - =4【逐步提示】根据特殊角的三角函数值，负指数、零指数幕的运算及算术平方根分别计算即可 【详细解答】1 1解：原式=2 X 1-223=3【解后反思】实数的运算是每一份中考试卷必考题.通常会结合一些特殊角的三角函数值、整数指数幕 (包括正整数指数幕、零指数幕、负整数指数幕 )、二次根式、绝对值等来考查.运算时应先各个击破”，准确记忆特殊角的三角函数值及相关运算的法则，女口 a +但工0) a0= 1(a0)a【关键词】特殊角的三角函数；负指数、零指数幕的运算；算术平方根；1 -123. (2016 江苏盐城，19 (1), 4