人教版高中数学选修4-4课件：1.1平面直角坐标系 (1)

1、第一讲坐标系 一平面直角坐标系,自主预习】 1.直角坐标系 (1)数轴. 定义:规定了原点、正方向和_的直线. 对应关系:数轴上的点与_之间一一对应,单位长度,实数,2)直角坐标系. 定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条 数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系. 相关概念: 数轴的正方向:水平放置的数轴_的方向、竖直放 置的数轴_的方向分别是数轴的正方向,向右,向上,x轴或横轴:坐标轴_的数轴. y轴或纵轴:坐标轴_的数轴. 坐标原点:坐标轴的_. 对应关系:平面直角坐标系内的点与_ _之间一一对应,水平,竖直,公共原点O,有序实数对,x,y,公式: 设平面直角坐标系中,点P1(x1

2、,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表,2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 :_的作用下,点P(x,y)对应到点P(x, y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 伸缩变换,即时小测】 1.函数y=ln|x|的图象为(,解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又y=lnx在(0,+)上为增函数,故选D,2.曲线C经过伸缩变换 后,对应曲线的方程 为:x2+y2=1,则曲线C的方程为(,解析】选A.曲线C经过伸缩变换 后,对应 曲线的方程为x2+y2=1, 把代入得到: +9y2=1,知识探究】 探究点

3、平面直角坐标系中点的位置 1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点? 提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号,2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗? 提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限,归纳总结】 1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台.建立平面直角坐标系,常常利用垂直直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征,2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括

4、点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置,类型一坐标法求轨迹方程 【典例】已知ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程,解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么? 提示:建系-设点-列条件-得方程、整理,解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的 直线为x轴建立直角坐标系,如图所示, 则A(-a,0),B(a,0). 设C(x,y), 则线段BC的中点为 因为|AE|=m,所以,化简得(x+3a)2+y

5、2=4m2. 由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2 =4m2(y0).(建系不同,轨迹方程不同,方法技巧】 1.建立平面直角坐标系的技巧 (1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点. (2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴,特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上,2.运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴. (2)建模选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的

6、点的坐标和曲线的方程,3)运算通过运算,得到所需要的结果. (4)回归回归到实际问题作答,变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围,解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限, 则5-m0,且3-2m0,解得 m5, 故点(5-m,3-2m)不在第四象限时, 实数m的取值范围是m 或m5,2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2,证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=

7、x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2,所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2, PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2. 故PA2+PC2=PB2+PD2,类型二伸缩变换公式与应用 【典例】求曲线x2+y2=1经过: 变换后得到的 新曲线的方程,解题探究】如何求变换后的新曲线的方程? 提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程,解析】曲线x2+y2=1经过: 变换后, 即 代入到圆的方程,可得 即所求新曲线的方程为,延伸探究】 1.若曲线C经过 变换后得到圆x2+y2=

8、1,求曲线 C的方程,解析】将 代入到方程x2+y2=1, 得 即曲线C的方程,2.若圆x2+y2=1经过变换后得到曲线 求变换的坐标变换公式,解析】设: 代入到C中得 与圆的方程比较得=5,=4. 故的变换公式为,方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法 (1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲线方程的方法:利用伸缩变换用(x,y)表示出(x,y),代入变换前的曲线方程,2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利用伸缩变换用(x,y)表示(x,y),代入变换后的曲线方程. (3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后的方程变形,确定出(x,y)与(x,y)的关系

9、即为所求的伸缩变换,也可用待定系数法,补偿训练】1.(2016蚌埠高二检测)在同一平面直 角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线 x2+y2=1,则曲线C的方程为(,解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按 : 变换后的对应的坐标为P(x,y),代入 x2+y2=1,得16x2+9y2=1,2.将曲线y=sin(2016x)按: 变换后的曲线 与直线x=0,x=,y=0围成图形的面积为_,解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按变换后的对应点的坐标为P(x,y), 由: 代入y=sin(2016x),得2y=sinx,所以y= sinx, 即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=,y=0围成图,形的面积为S= 答案:1,自我纠错伸缩变换公式的应用 【典例】将曲线 按照: 变换为曲线 求曲线y=cos4x在变换后 的曲线的最小正周期与最大值,