2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科

1、2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z满足，则z在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）若集合，Bx|1x2，则AB（）A2，2）B（1，1C（1，1）D（1，2）3（5分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，且经过点P（，4），则双曲线的方程是（）ABCD4（5分）在ABC中，则（）ABCD5（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.

2、98%3.82%1.10%净利润占比95.80%0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（）A该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6（5分）将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数g（x）的图象关于点对称B函数g（x）的周期是C函数g（x）在上单调递增D函数g（x）在上最大值是17（5分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A

3、，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆离心率是（）ABCD8（5分）某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A36种B44种C48种D54种9（5分）函数f（x）x2+xsinx的图象大致为（）ABCD10（5分）如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A2对B3对C4对D5对11（5分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰

4、富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A7B8C9D1012（5分）函数f（x）exe1xb|2x1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是（）AB（1e，0）（0，e1）CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S416，则数列an的公差d 14（5分）若，则cos2+cos

5、 15（5分）若a+b0，则的最小值为 16（5分）已知半径为4的球面上有两点A，B，球心为O，若球面上的动点C满足二面角CABO的大小为60o，则四面体OABC的外接球的半径为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC，ABC的面积Sabc（）求角C；（）求ABC周长的取值范围18（12分）如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF（）求证：ABCG；（）若BCCF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值19（12分）某种大型

6、医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（）求X的分布列；（）以所

7、需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20（12分）已知抛物线C：x22py（p0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10（）求抛物线C的方程；（）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|BQ|的取值范围21（12分）已知函数f（x）a（x+1）ln（x+1）x2ax（a0）是减函数（）试确定a的值；（）已知数列an，Tna1a2a3an（nN*），求证：请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应

8、的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为24sin3（）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|3x+2|（）求f（x）1的解集；（）若f（x2）a|x|恒成立，求实数a的最大值2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z满足，则z在复平面

9、内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，z在复平面内的对应点为（2，2），位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）若集合，Bx|1x2，则AB（）A2，2）B（1，1C（1，1）D（1，2）【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|2x1，Bx|1x2；AB（1，1）故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算3（5分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，且经过点P（，4），则双曲线

10、的方程是（）ABCD【分析】求得双曲线的渐近线方程可得2，代入点P的坐标，可得a，b的方程组，解方程即可得到所求双曲线的方程【解答】解：双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，可得2，由双曲线经过点P（，4），可得1，解得a，b2，则双曲线的方程为1故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题4（5分）在ABC中，则（）ABCD【分析】根据即可得出：，解出向量即可【解答】解：；故选：B【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算5（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家

11、电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（）A该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项【解答】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公

12、司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确故选：B【点评】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题6（5分）将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数g（x）的图象关于点对称B函数g（x）的周期是C函数g（x）在上单调递增D函数g（x）在上最大值是1【分析】直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不

13、变），得到函数g（x）2sin（2x+）1的图象，故：函数g（x）的图象关于点对称，故选项A错误函数的最小正周期为，故选项B错误当时，所以函数的最大值取不到1故选项D错误故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7（5分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆离心率是（）ABCD【分析】如图所示，以线段F1A为直径的圆的方程为：+y2，化为：x2（ac）x+y2ac0直线F1B的方程为：bxcy+bc

14、0，联立解得P点坐标，利用F2BAP，及其斜率计算公式、离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，以线段F1A为直径的圆的方程为：+y2，化为：x2（ac）x+y2ac0直线F1B的方程为：bxcy+bc0，联立，解得PkAP，F2BAP，化为：e2，e（0，1）解得另解：F1A为圆的直径，F1PA90F2BAP，F1BF2902a2（2c）2，解得e故选：D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率与离心率计算公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，

15、任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A36种B44种C48种D54种【分析】根据题意，分3种情况讨论：，任务A排在第一位，则E排在第二位，任务A排在第二位，则E排在第三位，任务A排在第三位，则E排在第四位，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，任务A必须排在前三项执行，分3种情况讨论：，任务A排在第一位，则E排在第二位，将剩下的2项任务全排列，排好后有3个空位，将B、C安排在3个空位中，有A22A3212种不同的执行方案，任务A排在第二位，则E排在第三位，BC的安排方法有4A228种，将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置，有A222种安排方法，则有8216种安排方法，任务A排

16、在第三位，则E排在第四位，BC的安排方法有4A228种，将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置，有A222种安排方法，则有8216种安排方法，则不同的执行方案共有12+16+1644种；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题9（5分）函数f（x）x2+xsinx的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决【解答】解：函数f（x）x2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）x+sinx，g（x）1+cosx0恒成立，g（x）在R上单调递增，g（0）0，f（x）xg

17、（x）0，故排除D，当x0时，f（x）xg（x）单调递增，故当x0时，f（x）xg（x）单调递减，故排除C故选：A【点评】本题考查了函数图象识别和应用，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题10（5分）如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A2对B3对C4对D5对【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用面面垂直的判定的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：根据几何体得到：平面SAD平面SCD，平面SBC平面SCD，平面SCD平面ABCD，平面SAD平面SBC故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，

18、面面垂直的判定定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A7B8C9D10【分析】由题意可得第n层的货物的价格为ann（）n1，根据错位相减法求和即可求出【解答】解：由题意可得第n层的货物的价格为ann（）n1，设这

19、堆货物总价是Sn1（）0+2（）1+3（）2+n（）n1，由可得Sn1（）1+2（）2+3（）3+n（）n，由可得Sn1+（）1+（）2+（）3+（）n1n（）nn（）n10（10+n）（）n，Sn10010（10+n）（）n，这堆货物总价是万元，n10，故选：D【点评】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题12（5分）函数f（x）exe1xb|2x1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是（）AB（1e，0）（0，e1）CD【分析】利用换元法设tx，则函数等价为y2b|t|，条件转化为2b|t|，研究函数的 单调性结合绝对值的应用，利用数形结

20、合进行求解即可【解答】解：f（x）exe1x2b|x|，设tx，则xt+，0x1，t，则函数f（x）等价为y2b|t|，即等价为y2b|t|在t上有两个零点，即2b|t|有两个根，设h（t），则h（t）（）h（t），即函数h（t）是奇函数，则h（t）+0，即函数h（t）在t上是增函数，h（0）0，h（）e1，h（）1e，当0t，若b0，则函数f（x）只有一个零点，不满足条件若b0，则g（t）2bx，设过原点的直线g（t）与h（t）相切，切点为（a，），h（t）+，即h（a）+，则切线方程为y（）（+）（xa），切线过原点，则（）a（+），即+aa，则（a+1）（a+1），得a0，即切点为（0，

21、0），此时切线斜率kh（0）2若22b，则b，此时切线y2x与h（t）相切，只有一个交点，不满足条件当直线过点（，e1）时，e12bb，此时直线g（t）2（e1）x，要使g（t）与h（t）有两个交点，则be1，当b0时，t0时，g（t）2bx，由2b2得b，当直线过点（，1e）时，1e2b（）b，要使g（t）与h（t）有两个交点，则1eb，综上1eb或be1，即实数b的取值范围是，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13（5分）设等差数列an的前n项

22、和为Sn，若a23，S416，则数列an的公差d2【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：由a23，S416，a1+d3，4a1+6d16，联立解得a11，d2，故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）若，则cos2+cos【分析】根据三角函数的诱导公式求出cos的值，结合二倍角公式进行转化求解即可【解答】解：，cos，则cos2+cos2cos21+cos21+，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用诱导公式以及二倍角公式是解决本题的关键15（5分）若a+b0，则的最小值为【分析】

23、根据题意，由基本不等式的性质可得a2+b2，进而可得+，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，若a+b0，即ab，则有a2+b2，则+2，即的最小值为；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是构造基本不等式成立的条件16（5分）已知半径为4的球面上有两点A，B，球心为O，若球面上的动点C满足二面角CABO的大小为60o，则四面体OABC的外接球的半径为【分析】由球面动点C想到以O为顶点，以A，B，C所在球小圆O为底面的圆锥，作出图形，取AB中点E，OEO60，进而求得高和底面半径，列方程求解不难【解答】解：如图，设A，B，C所在球小圆为圆O，取AB中点E，连接

24、OE，OE，则OEO即为二面角CABO的平面角，为60，由OAOB4，AB，得AOB为等腰直角三角形，OE，设OABC的外接球球心为M，半径为r，利用RtBOM列方程得：，解得：r故答案为：【点评】此题考查了圆锥外接球，二面角等，综合性较强，难度较大三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC，ABC的面积Sabc（）求角C；（）求ABC周长的取值范围【分析】（）由已知利用三角形的面积公式可得2csinC，由正弦定理化简已知等式可得a2+b2+abc2由余弦定理得，即可得解

25、C的值（）由（）知2csinC，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+csin（A+）+，由范围，可求，利用正弦函数的图象和性质可求ABC的周长的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（）由，可知：2csinC，sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C由正弦定理得a2+b2+abc2由余弦定理得，（5分）（）由（）知2csinC，2asinA，2bsinBABC的周长为，ABC的周长的取值范围为（12分）【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（1

26、2分）如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF（）求证：ABCG；（）若BCCF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值【分析】（）取BC的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG为平行四边形，从而CGDF，DFBC，CGBC进而CG平面ABC，由此能证明CGAB（）连结AD由ABC是正三角形，且D为中点得，ADBC由CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值【解答】证明：（）取BC的中点为D，连结DF由ABCEFG是三棱台得，平面A

27、BC平面EFG，从而BCFGCB2GF，四边形CDFG为平行四边形，CGDFBFCF，D为BC的中点，DFBC，CGBC平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF，CG平面ABC，而AB平面ABC，CGAB解：（）连结AD由ABC是正三角形，且D为中点得，ADBC由（）知，CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，DB，DF，DA两两垂直以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz设BC2，则A（），E（），B（1，0，0），G（1，0），设平面BEG的一个法向量为由可得，令，则y2，z1，设AE与平面BEG所成角为，则直线AE与平面BEG所成角的

28、正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0

29、123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（）求X的分布列；（）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【分析】（）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算【解答】（本小题满分12分）解：（）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，X的分布列为X0123456P（）选择延保

30、方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P（元）选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P（元）EY1EY2，该医院选择延保方案二较合算【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知抛物线C：x22py（p0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10（）求抛物线C的方程；（）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|BQ|的取值范围【分析】（）可得抛物线的准

31、线为，解得，p2，即可得抛物线的方程（）设l：ykx+1设A（），B（x2，），可得同理可得，即可得|AP|BQ|的取值范围【解答】解：（）已知M（m，9）到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10抛物线的准线为，解得，p2，抛物线的方程为x24y（5分）（）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：ykx+1设A（），B（x2，），由消去y得，x24kx40，x1+x24k，x1x24由于抛物线C也是函数的图象，且，则令y0，解得，P，从而同理可得，k20，|AP|BQ|的取值范围为2，+）（12分）【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合

32、应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）a（x+1）ln（x+1）x2ax（a0）是减函数（）试确定a的值；（）已知数列an，Tna1a2a3an（nN*），求证：【分析】（）求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f（x）是定义域内的减函数转化为f（x）aln（x+1）2x0恒成立再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a值；（）由f（x）是减函数，且f（0）0可得，当x0时，f（x）0，得到f（n）0，即2（n+1）ln（1+n）n2+2n两边同除以2（n+1）2得，即得到Tn，则然后利用导数证明 即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（1，+），f（x）aln（x+1）2x由f（x）是减函数得，对任意的x（1，+），都有f（x）aln（x+1）2x0恒成立设g（x）aln（x+1）2x，由a0知，当时，g（x）0；当时，g（x）0，g（x）在上单调递增，在上单调递减，g（x）在时取得最大值又g