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文档简介

1、空间中的垂直关系 习题课,教学目标 1线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 2线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用,基础知识,两条相交直线垂直,垂直于,基础知识,垂线,基础知识,交线,变式:如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA面ABC,问:图中共有多少个Rt,分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直,思考1 线线垂直问题,如图所示,PA面ABC, BC面PAC,则图中有哪几个直角三角形,变式:如图所示,PA面ABC, 在ABC中,BCAC, 则图中直角三角形的个数是,解析】PA面ABC, PAAC,PABC,PAAB. AB为圆O的直径,ACBC. 又ACBC,P

2、ABC,PAAC=A, BC面PAC. PC 平面PAC,BCPC. 故图中有四个直角三角 形:PAC,PBC,PAB,ABC,典例探讨】 例1、如图所示,在空间四边形 ABCD中,ABAD,CBCD, 求证BDAC,典例探讨】 例1、如图所示,在空间四边形 ABCD中,ABAD,CBCD, 求证BDAC,证明:取BD的中点E, 连接AE、CE, ABAD,AEBD, 又CBCDCEBD, 又AECEE,AE 平面ACE,CE 平面ACE, BD平面ACE. 又AC 平面ACE, BDAC,评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的

3、重要依据,例2、平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外, 且PAPC,PDPB,判断PO与平面ABCD的位置关系,并加以证明,证明:PO平面ABCD. O为平行四边形ABCD对角线的交点, OAOC. 又PAPC, POAC. 同理POBD. 又ACBDO,AC 平面ABCD,BD 平面ABCD, PO平面ABCD,线面垂直问题,评析】证明线面垂直的方法:证明一个面过另一个面的垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线与添加辅助线解决,例3如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,

4、点P为DD1的中点求证:平面PAC平面BDD1,面面垂直问题,证明:长方体ABCDA1B1C1D1中, ABAD1, 底面ABCD是正方形, ACBD, 又DD1平面ABCD,AC平面ABCD, DD1AC, 又DD1BDD, DD1平面BDD1,BD平面BDD1, AC平面BDD1, 又AC平面PAC, 平面PAC平面BDD1,跟踪练习: 如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC于点A,ADBC于点D,求证:平面PBC平面PAD,证明:PA平面ABC,且BC平面ABC, PABC, 又ADBC,PAADA, 且AD平面PAD,PA平面PAD, BC平面PAD, BC平面PBC, 平面P

5、BC平面PAD,评析】当有面面垂直时,一般是在一个面内找(作)交线的垂线,则有线垂直于面; 在证面面垂直时,一般可先从现有的直线寻找平面的垂线,若没有,可作辅助线解决,2、要证明想判定,由已知想性质,探究:如图,已知PA平面ABC,平面PAB平面PBC, 求证:BC平面PAB,探究:如图,已知PA平面ABC,平面PAB平面PBC, 求证:BC平面PAB,E,证明:过点A作AEPB于E, 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PBC=PB, AE 平面PAB , AE平面PBC. BC平面PBC, AEBC,PA平面PAB,AE平面PAB, 且PAAE=A, BC平面PAB,PA平面ABC,BC平面ABC, PABC,答案: 1、A 2、 3、证明:作SOBC,垂足为O,连接AO, 侧面SBC底面ABCD, 平面SBC平面ABCD=BC, 且SO平面SBC, SO底面ABCD. AO,BO平面ABCD, SOAO,SOBO.

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