质心与质心运动定理课堂

1、质心与质心运动定理,关于动量定理的回顾,P,d,dt,F,动量定理的微分式,出发点：牛顿第二定律,d,d,p,F,t,r,r,特例,F,ma,v,c,r,r,1,单个质点的动量定理,2,2,1,1,2,1,t,P,t,P,I,Fdt,dP,P,P,动量定理的积分式,定义冲量,1,2,2,1,P,P,dt,F,I,t,t,2,质点系的动量定理,对两物体系统,12,f,u,u,v,1,F,u,v,1,v,u,v,10,v,v,2,F,u,v,21,f,u,u,v,2,v,u,u,v,20,v,v,m,1,m,2,分别对,m,1,m,2,应用动量定理,0,0,t,t,F,dt,P,P,矢量和,相加,

2、0,1,2,10,20,1,2,t,t,F,F,dt,P,P,P,P,m,2,0,0,2,20,2,10,2,12,2,1,t,t,t,t,F,dt,f,dt,P,P,m,v,m,v,m,1,0,0,1,10,1,10,1,21,1,1,t,t,t,t,F,dt,f,dt,P,P,m,v,m,v,0,0,t,t,F,dt,P,P,u,v,u,v,v,系,系,矢量和,0,F,P,u,v,v,系,矢量和,恒矢量,推广,n,个物体组成的系统，仍然有,当且,对质点系而言,空间总存在一点,C,质心,M,C,F,a,v,v,矢量和,一、质心与质心运动定理,1,M,n,i,i,m,其中,1,质心的计算,以两

3、质点系统为例,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2,d,F,m,v,m,v,dt,d,m,r,m,r,dt,v,v,v,v,v,矢量和,1,F,u,v,2,F,u,v,1,m,2,m,1,r,v,2,r,v,c,r,v,O,1,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,2,c,c,c,m,m,m,m,m,r,m,r,d,dt,d,P,d,M,M,a,dt,dt,r,v,v,u,u,v,v,v,即,称作,质心运动定理,其中质心,加权平均值,M,C,F,a,v,v,矢量和,1,2,1,2,1,2,c,m,r,m,r,r,m,m,v,v,v,1,2,F,F,F,u,v,u,v,v,矢量和,i,i,i

4、,i,i,i,C,i,i,m,r,m,r,r,m,M,v,v,v,1,n,i,i,F,F,u,v,v,矢量和,推广,对,n,个质点组成的系统,质点组,连续分布,i,i,i,C,i,i,i,i,i,i,i,i,C,C,i,i,i,i,i,i,i,C,i,i,m,x,x,m,m,r,m,y,r,y,m,m,m,z,z,m,v,v,C,C,C,C,xdm,x,dm,rdm,ydm,r,y,dm,dm,zdm,z,dm,v,v,质心位置的计算（直角系中的分量式,1,质心,的位矢并不是各个质点的位矢的,几何平,均值,而是它们的,加权平均值,质心的性质只有在,系统运动与外力的关系中才体现出来,因此,质心,

5、并不是一个几何学或运动学概念，而是一个,动力,学,概念,2,体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心,与体系内各个质点,质元,的相对位置与坐标的选取,无关,说明,3,质量均匀的规则物体的质心在几何中心,4,质心与重心不一样，物体尺寸不十分大,时,质心与重心位置重合,c,i,a,M,F,表明：不管物体的质量如何分布，也不管外,力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是,物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都,集中作用其上的一个质点的运动一样,2,质心运动定理,C,O,X,Y,抛手榴弹的过程,M,C,F,a,v,v,矢量和,dt,p,d,dt,v,dM,dt,r,d,M,dt,v,d,M,a,M

6、,F,c,c,c,c,c,2,2,质心的速度,M,v,m,M,dt,r,d,m,m,r,m,dt,d,dt,r,d,v,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,c,c,二、质心系,t,v,a,c,c,d,d,i,i,i,m,t,v,m,d,d,i,i,i,m,a,m,质心的加速度,恒量,或,恒量,即动量守恒表现为,当,c,c,c,c,v,p,dt,p,d,dt,v,d,M,F,0,0,质心系（动量中心系，零动量系,质心参考系的坐标原点在质心，在质心系中,v,c,0, P,c,0,相对于质心系，质点系的总动量为零，所以又,叫零动量系,质心的动量,就是系统的总动量,i,i,i,c,c,v,m,

7、v,M,p,说明,1,系统的动量守恒和质心保持匀速直线运,动等效；在质心系，即质心速度不变,2,质心系的优点在于它具有最大的对称性,例,1,一质量,m,1,50kg,的人站在一条质量为,m,2,200kg,长度,l,4m,的船的船头上。开始时船静止,试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻,力不计。,o,1,x,1,x,2,x,2,x,d,x,y,b,c,b,c,解,设,c,b,表示船,本身的质心,当人站在船的左端时,2,1,2,2,1,1,m,m,x,m,x,m,c,x,当人站在船的右端时,2,1,2,2,1,1,m,m,x,m,x,m,c,x,对船和人这一系统,在水平方向上不受外,力，

8、因而在水平方向,的质心速度不变。又,因为原来质心静止,所以在人走动过程中,质心始终静止，因而,质心的坐标值不变,c,c,x,x,o,1,x,1,x,2,x,2,x,d,x,y,b,c,b,c,2,2,1,1,2,2,1,1,x,m,x,m,x,m,x,m,2,2,2,1,1,1,x,x,m,x,x,m,l,d,d,8,0,2,1,1,m,l,d,m,m,m,o,1,x,1,x,2,x,2,x,d,x,y,b,c,b,c,例,长为,l,总质量为,m,的柔软绳索放在水平台面上,用手将绳索的一端以恒定速率,v,0,向上提起,求当提起高度为,x,时手的提力,x,l,F,v,0,v,u,u,v,x,dx

9、,o,N,v,x,两项的意义很明显,解法一,利用单个物体的动量定理,0,dm,dx,v,dt,m,l,以,dt,时间内上升（由静止变为运动）的绳索为研究对象,忽略重力和地面的支持力,2,0,m,x,v,mg,l,l,2,1,0,x,x,F,F,mg,v,mg,l,l,2,1,0,F,v,由单个物体的动量定理,F,v,0,v,u,u,v,x,dx,o,N,v,x,dt,v,dm,v,dt,F,2,0,0,1,0,F,v,0,v,u,u,v,x,dx,o,N,v,x,解法二,利用物体系的动量定理,0,x,P,m,v,l,t,t,0,x,dx,P,m,v,l,以整条绳子为研究对象,设,t,时刻提起,x,时，体系的总动量为,在,时刻，提起,x,d,x,体系的总动量为,而,0,m,F,N,mg,dt,P,P,v,dx,l,由体系的动量定理,0,dx,l,x,v,N,mg,dt,l,2,0,m,x,F,v,mg,l,l,2,0,m,x,F,v,mg,l,l,解法三,利用质心运动定理,以绳子,体系,为研究对象，提起,x,时，绳,子的质心坐标为,2,0,2,2,c,l,x,x,x,x,x,m,m,m,l,l