第七章第六节空间向量及其运算

1、A组考点能力演练1. （2015深圳模拟）已知三棱锥 O-ABC,点M , N分别为AB, OC的中点，且OA = a,1A. 2(b+ c a)1C2( a b + c)OB = b, OC = c,用 a, b, cB.2(a + b c)1D2(c a b)解析：MN = IMA + AO+ ON = 2(c a b).答案：D. - .2.已知四边形 ABCD满足：AB BC0 , BC CD0, CD DA0, DA AB0,则该四边形A 平行四边形B 梯形C.长方形D 空间四边形解析：由AB BC0 , BCCD0, CD DA0, DA AB0，知该四边形一定不是平面图形,故选D

2、.答案：D3.已知 a= （2,数入等于（）1,3), b= (- 1,4, - 2), c= (7,5, 若 a, b, c 三向量共面，则实A 62r 63B.y60C6065D.y解析：由题意得c= ta+ b (2t禺一t + 4 禺 3t 2(_),rt= 33 5 = t+ 4i17= 7 ,-X= 3t 2 i65=65答案：D4.(2016东营质检)已知A(1,0,0) , B(0 , 1,1) , O)A + 沅与觅的夹角为120贝V入的值为(B.fC.S66D . 土. 6角为解析：O + DB = (1 ,入为,cos 120 = j= 2,得 X= 66.1 + 2 入

3、 226经检验入=不合题意，舍去， X= 答案：C5.设 A(3,3,1) , B(1,0,5), C(0,1,0) , AB53A JA. 43+ 1 解析：设M(x , y , z),则x=的中点为M ,则|CM |等于()53巧133+ 031 + 52 =2，y= 2 = 2，z= 2,2 0 2+ 1 2 + 3 0 2=号故选 C.答案：C=3,即 M2 , 3 , 3 , |CM|6.(2016 合肥模拟)向量 a = (2,0,5), b= (3,1, 2), c= (- 1,4,0)，则 a+ 6b 8c=解析：由 a = (2,0,5), b= (3,1 , 2) , c=

4、 ( 1,4,0) ,a + 6b 8c= (28 , 26 , 7).答案：(28 , 26 , 7)7.已知向量 a , b满足条件：|a|= 2 , |b|= 2 ,且a与2b a互相垂直，贝U a与b的夹解析：由于a与2b a互相垂直，则a (2b a)= 0 ,即2a b |a|2= 0,所以2|a|b a ,b |a|2= 0,则4 2滌 a , b 4= 0,则 a , b =于,所以a与b的夹角为45答案：45&空间四边形 OABC中，OB= OC ,且/ AOB = Z AOC=扌，贝则CQ5 O, BC 的值为cos OA OB .解析： OA BC = OA (OC OB

5、) = OA OC OA OB= |OA|QC OA , OC |OA|OBn -即OA1Bc, OA, BC = 0.OB = OC ,ZAOB = ZAOC = 3,QA BC = 0,答案：09. (2016 唐山模拟)已知空间三点 A( 2,0,2), B(- 1 , 1,2), C( 3,0,4)，设 a= AB, b =AC(1)求a和b夹角的余弦值.设|c|= 3, c/ BC, 求 c的坐标.解：(1)因为 AB = (1,1,0), AC = ( 1,0,2),所以 a b = 1 + 0+ 0 = 1, |a|= 2, |b|= .5.a b -1-1010-所以迹a, b

6、=|a|b|=2八 5 =(2)BC = ( 2, 1,2).设 c= (x, y,z)，因为 |c|= 3, c/BC,所以- .x2+ y2+ z2 = 3 ,存在实数x=- 2 入入使得c = ABC ,即y=人联立解得ABC-A1B1C1,底面 ABC 中，CA= CB = 1, / BCAC,J1x= 2,x= 2,y= 1,y= 1,或iz= 2,z= 2,FA= 1 ,=1,所以c= 2,1,2).求证：AiB丄CiM.解：如图，建立空间直角坐标系.依题意得 B(0,1,0) ,N(1 ,0,1),所以 | BN | =1- 0 2+ 0- 1 2 + 1 - 0 2= 3.依题

7、意得 A1(1,0,2), B(0,1,0), C(0,0,0), B1(0,1,2).所以 BA1 = (1 , - 1,2), CB1 = (0,1,2), BA1 CB1= 3, |BA1|= 6,|CB1|= .5,所以 cos BA1, CB1BA1 CB1|BA1|CB1|=10 30.(11、 B(3)依题意，得 C1(0,0,2), M 2，2，2 , A1B = ( 1,1,-1 1所以 A1B C1M = 2 + 0= 0,所以 A1B JC1M.所以 A1B JC1M.B组高考题型专练1. (2014高考广东卷)已知向量a= (1,0, 1)，则下列向量中与a成60。夹角

8、的是()A . (- 1,1,0)B . (1, - 1,0)C. (0, - 1,1)D . ( 1,0,1)1 解析：经检验，选项 B中向量(1, - 1,0)与向量a= (1,0,- 1)的夹角的余弦值为？，即它们的夹角为60故选B.答案：B2. (2014高考江西卷)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB = 11, AD = 7, AA1= 12.一质点从顶点 A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反 射服从光的反射原理)，将第i 1次到第i次反射点之间的线段记为 Li(i = 2,3,4), L1 = AE,将线段L1, L?, L3, L4竖直放置在同一水平线

9、上，则大致 的图形是()1坯InM1Ai13X解析：由对称性知质点经点 E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处.在坐标平面xAy 中,直线AEi的方程为y= 4x,与直线DC的方程y= 7联立得F普，7, 0 由两点间的距离公式 得 EiF = 5,tan 左 2E1F = tan ZEAEi =号,L3E2F = EiF tan/E2E1F = 4.E2F1 = 12 4= 8. 匚E1E2E2E3E2F =E2F1=1=2.故选c.j?芦答案：c、i3. （2015高考浙江卷）已知ei, e2是空间单位向量， e2= ?.若空间向量b满足b ei= 2,5b e2= 2，且对于任意x

10、, y R, |b (xei + ye2)| |b (xoei + yoe2)|= 1(x0, W R)，贝V x =, y0=, |b|=10. (2016太原模拟)如图，直三棱柱=90 棱 AA1= 2, M , N 分别是 A1B1, A1A 的中点.(1)求BN的模.求 cos BA1, CB1 的值.11解析：-ei,e2是单位向量，eie2 = 2,cosei,e2= 2，又-/0O= 60不妨把ei, e2放到空间直角坐标系O-xyz的平面xOy中，设ei= (1,0,0),则 e1 2 = ,宁，0，再设 OB = b= (m, n, r),由 b ei = 2, b e2=号，得 m= 2, n = . 3，则 b=(2 , , 3, r).而 xei + ye2 是平面 xOy 上任一向量，由 |b (xe