能得到直角三角形吗

1、1.2 能得到直角三角形吗（一）教学目标( 一 ) 教学知识点1. 掌握直角三角形的判别条件.2. 熟记一些勾股数 .3. 能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.( 二 ) 能力训练要求1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.( 三 ) 情感与价值观要求1. 通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.2. 通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣， 克服困难的勇气； 体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.教学重点直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系

2、来判断一个三角形是否是直角三角形。教学难点用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题 .教学方法引导启发法 .教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.教具准备一根有 13 个等距的结的绳子.投影片两张：第一张：例题( 记作 1.2 a) ；第二张：随堂练习( 记作 1.2 b).教学过程1 . 创设问题情境，引入新课师下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.生 直角三角形有如下性质：有一个内角为直角；两个锐角互余；两条直角边的平方和等于斜边的平方.生在含30角的直

3、角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半.师很好，反过来，一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢？生如果有一个内角是直角，它就是直角三角形.生如果有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形.师我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的.前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a， b，斜边 c 具有一222我们是否也可以不用角， 而用三角形三边的关系来判定它是否为直定的数量关系即 a+b =c .角三角形呢？ . 讲述新课1. 古代埃及人作直角师其实，古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角. 下面我们一同演示一下 .我这儿有一根绳子，上面有13 个等

4、距的结，把这根绳子分成等长的12 段. 下面我让一个同学同时握住绳子的第(1) 个和第 (13) 个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4) 个结和第(8) 个结， ( 如下图所示 ) 拉紧绳子，大家观察可以发现什么？生得到一个直角三角形，在第(4) 个结处的角是直角.师我们再来看在第(1) 个结到第 (4) 个结是 3 个单位长度即ac=b=3；同理 bc=a=4；ab=c=5. 因为 32+42=52，所以 a2+b2 =c2. 那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试.2. 做一做下面四组数分别是一个三角形的三边长a， b， c：25

5、， 12， 13； 7，24， 25；8， 15，17； 5， 6， 7.(1) 这四组数都满足222a+ =c吗？b(2) 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？师生共析 (1)5 2+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=6172.所以这四组数，前三组满足a2+b2=c2，而最后一组不满足.师以 5， 12， 13 这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？生作法：作线段ab=5 个单位长度；分别以a、 b 为圆心， 12 个单位长度， 13个单位长度为半径画弧，交于线段 ab的同旁于一

6、点c；连结 ac、bc. abc就是以 5、12、13 为边长的三角形.师很好 . 下面同学们就以小组为单位来完成第(2) 小题 .( 让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件)生我们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一组数不满足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.师你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？生前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.师从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？生如果三角形的三边长a， b， c

7、满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.师刚才，我们只是从特例中猜想出来上面的结论. 可能有的同学会产生疑虑，果真如此吗？下面我用前面的知识解释一下这个结论，大家就会知道，我们的猜想是正确的.已知：在 abc中 ab=c， bc=a，ca=b，并且 a2+b2=c2.3求证： c=90222证明：作 abc，使 c=90， bc=a，ac=b，那么 ab =a +b ( 为什么？ ).由已知条件a2+b2=c2，可得 ab 2=c2，即 a b=c.( ab 0， c 0)在 abc和 ab c中有 bc=a=b c，ca=b=ca，ab=c=ab，则 abc abc. 所以 c=

8、 c=90.现在大家没有疑虑了吧. 同时也明白了古埃及人那样做的道理. 实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角. 直至科技发达的今天人类已跨入21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的规范操作. 所谓“归方” ，就是“做成直角” ，譬如建造房屋，房角一般总是成90，怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线mn上的一点 c作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处，固定在c点；另一人拿4 尺处，把尺拉直，在上定出a点；再由一人mn拿 9 尺处，把尺拉直，定出b点. 于是连结，就是的垂线 .bcmn建筑工人用了3，

9、 4， 5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生可以 . 例如 7， 24，25； 8，15， 17 等.师是的 . 如果三角形三条边满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数 . 那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整 数组的方法 .下面我们来了解一下这方面的情况.3. 读一读师同学们可以打开课本p11，阅读“读一读”勾股数组与费马大定理.( 读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题费马大定理 )现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性. 即2222求证： m n ，

10、m+n ， 2mn( m n，m， n 是正整数 ) 是直角三角 形的三条边长 .4 生共析要 明它 是直角三角形的三 ，首先 判断 三条 段是否 成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它 是否是一个直角三角形的三 . 明： ， 、是正整数 .mnm n22222( m n )+(m+n )=2 m 2mn.2222即 ( m n )+(m+n ) 2mn.又因 222( m n )+2 mn=m+n(2 m n)而 2m n=m+( m n) 0，所以2222 三条 段可 成三角( m n )+2 mn m+n，由此可知，形.又因 22224222244224222.

11、( m n ) +(2 mn) =m+4mn 2mn +n =m+2mn+n =( m+n )2222222则 ( m n ) +(2 mn) =( m+n) .由直角三角形的判定条件，可知： 三条 段 成的三角形是直角三角形 . 你能用 个方法找到5 勾股数 ？生可以，如下表mn勾股数 m、 n 是正整数222mn2+2mnm nm=2，n=1345m=3，n=251213m=4，n=372425m=5，n=494041m=3，n=18610下面我 利用直角三角形判定的条件来看几个例 .4. 例 解出示投影片 ( 1.2a)例 1一个零件的形状如下 所示，按 定 个零件中a和都 直角 . 工

12、人 傅dbc量出了 个零件各 尺寸，那么 个零件符合要求 ？5分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.222a 是直角 .解：在 abd中， ab+ad=9+16=25=bd，所以 abd是直角三角形，在中，2+ 2=25+144=169=132=2，所以是直角三角形，是直角 .bcdbd bccdbcddbc因此这个零件符合要求. . 随堂练习1.( 课本 p ) 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.11(1)9 ，12， 15；(2)15， 36，39；(3)12 ， 35， 36；(4)12， 18，22.解：根据直角三角形的判定条件.(1)9 2+12

13、2=152； (2)15 2+362=392 ，所以 (1) 、 (2) 两组数可以作为直角三角形的三边；但(3)12 2+352 362， (4)122+182 322，所以 (3)(4) 两组数不能作为直角三角形的三边.2.( 补充练习 ) 出示投影片 ( 1.2 b)(1) 判断以 a=10， b=8， c=6 为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为 a2+b2 =100+64=164 c2即 2+2c2，所以由a， ，不能组成直角三角形 .abb c请问：上述解法对吗？为什么？(2) 已知：在 abc中， ab=13 cm， bc=10 cm， bc边上的中线ad=12 cm. 求

14、证： ab=ac.(1) 解：上述解法是不对的. 因为 a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2. 即 b2+c2=a2.所以由 a，b，c 组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a， b， c 可构成直角三角形，其中a 是斜边， b、c 是两直角边 .评注：在解题时， 我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边. 往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.(2) 证明：根据题意，画出图形. ab=13 cm， bc=10 cm.62ad是 bc边上的中线bd=cd=5 cm.在 abd中，

15、ad=12 cm，bd=5 cm，ab=13 cm，ab=169，2222ad+bd=12 +5 =169.222所以 ab=ad+bd. 则 adb=90. adc=180 adb=180 90 =90 .222222在 rt adc中， ac=ad+cd=12 +5 =13 .所以 ac=ab=13 cm. . 课时小结这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最后我们还介绍了求勾股数组的方法. . 课后作业1. 课本 p12，习题 6.3 ；2. 熟记几组常用的勾股数 . . 活动与探究给出一组式子：32+42=52， 82+62=102， 152+82=17

16、2， 242+102=262(1) 你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5 个式子；(2) 请你证明你所发现的规律 .过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左 边 是 平 方 和 的 形 式 ， 右 边 是 一 个 数 的 平 方 . 很 显 然 ， 我 们 发 现 的 规 律 一 定 是2222222“( )+() =( )”的形式 . 然后再观察每一项与序号的关系. 如 3 ， 8 ， 15， 24与序号有何关系，可知32=(2 2 1) 2， 82=(3 2 1) 2， 152=(4 21) 2， 242=(5 21) 2；所以我们可推

17、想， 第一项一定是 (2 1) 2.( 其 1，n为整数 ). 同理可得第二项一定是(2 ) 2，等式右nnn边一定是 ( n2+1) 2( 其中 n1， n 为整数 ).(1) 解：上面的式子是有规律的，即 ( n2 1) 2+(2 n) 2=( n2+1) 2( n 为大于 1 的整数 ).第 5 个式子是n=6 时，即 (6 2 1) 2+(2 6) 2=(6 2+1) 2 化简，得 352+122=372.7(2) 证明：左边 =( n2 1) 2+(2 n) 2=( n4 2n2+1)+4 n2=n4+2n2+1=( n2+1) 2=右边 . 证毕 .板书设计1.2能得到直角三角形吗

18、（一）一、古埃及人作直角的方法二、做一做下面三组数能作出直角三角形吗？1.7 ， 24， 25； 2.8 ，15， 17；3.5 ， 6，7；三、由特例猜想：直角三角形用边的关系来判定的条件：如果三角形三边长为a，b， c 且满222足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形 .四、 1.勾股数 .2. 求勾股数的方法：2222其中 m n， m、n 是正整数 ).m+n ， m n ， 2mn(3. 读一读 .五、例题 ( 略 )六、随堂练习同步练习( 一 ) 选择题1. 小红要求 abc最长边上的高，测得ab=8 cm， ac=6 cm， bc=10 cm，则可知最长边上的高是a.4

19、8 cmb.4.8 cmc.0.48 cmd.5 cm答案： b2. 满足下列条件的 abc，不是直角三角形的是a. b2=c2 a2b. a b c=3 4 5c. c= a bd. a b c=12 13 15答案： d83. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是a.5 ， 6， 7b.1 ， 4， 9c.5 ， 12， 13d.5 ， 11， 12答案： c4. 若一个三角形的三边长的平方分别为：32， 42， x2 则此三角形是直角三角形的x2 的值是a.4 2b. 52c.7d.5 2 或 7答案： d(注意有两种情况 ( )3 2+42=5 2， ( )3 2+7=42)2

20、2那么5. 如果 abc的三边分别为 m 1， 2 m， m+1( m1)a. abc是直角三角形，且斜边长为2m+1b. 是直角三角形，且斜边长2 为mabcc. abc是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定d. abc不是直角三角形答案： a( 二 ) 解答题1. 已知 a，b，c 为 abc三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断 abc的形状 .解：由已知得( a2 10a+25)+( b2 24b+1 44)+( c2 26c+169)=0222( a 5) +( b 12)+( c 13)=0由于 ( a 5) 2 0，( b 12) 20， ( c

21、 13) 2 0.所以 a 5=0，得 a=5；b 12=0，得 b=12；c 13=0，得 c=13.又因为 132=52+122，即 a2+b2=c2所以 abc是直角三角形 .2. 阅读下列解题过程：已知a， b，c 为 abc的三边，且满足a2c2 b2c2=a4b4，试判定 abc的形状 .222244解： a c b c =a b c2( a2 b2)=( a2+b2)( a2 b2)9 c2=a2+b2 abc是直角三角形 ：上述解 程，从哪一步开始出 ？ 写出 步的序号：_； 的原因 _；本 正确的 是_.答案：a2 b2 可以 零abc 直角三角形或等腰三角形相关文章费尔马 出身于法国的一个皮革商人家庭. 由于家境富裕，父 特意 他 了两个家庭教 ，不入校 在家里接受系 教育，小 候的 称不上是神童，可也算 明. 费尔马父 比 开通，不 孩子，因此， 学 十分努力，文科理科都不差，不 他最喜 的功 是数学. 是一个不追名逐利的人， 因此平 比 清 ， 空余 他常看些古 ， 尤其 看古希腊的数学 名著 . 他不 做些 目， 作些数学研究，与当 的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、 利斯