新人教B版2019届高三单元测试13必修5第二章《数列》

1、数学试卷新人教B版2019届高三单元测试13必修5第二章数列（时间：120分钟；满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知数列an满足a1= 3, an an+1+1 = 0（n Nk），则此数列中 a。等于（）A. 7B. 11C. 12D. 6解析：选C.易知an为等差数列，且公差为1,10= 3 + （10 1） x 1= 12.2. 数列an是由实 数构成的等比数列，S= a1+ + an,则数列S中（）A. 任一项均不为0B. 必有一项不为0C. 至多有有限项为 0D. 或无一项为0，或有无穷多项为 0解析：选 D.如

2、在数列2, 2,2 , 2中，S = 2, S = 0, $= 2, S= 0，如果一一 项为0,那么就会有无限多项为0.3. 已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：选B.由S偶一 S奇=30 15= 5d得d= 3.4. 已知an是公比为q的等比数列，且 a1、a3、a2成等差数列，则q =（）1A. 1 或一B. 121C. 2D. 2解析：选A. an为等比数列且公比为 q,且a1, a3, a2成等差数列， 贝U 2a1 q2= a1 + aq,2 1即 2q q 1 = 0, q= 1 或 q= ?.5.

3、 等差数列an的公差为d,前n项和为S,当首项a1和d变化时，a2 + a+ an是一个 定值，则下列各数也为定值的是（）A. S7B. SC. S13D. Si5解析：选 C.由 a2 + a8+ an = 3a1 + 18d = 3（ a1 + 6d） = 3a7,知 a7为一个定值， a1 + a13- Si3=2= 13 a7也为疋值.6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进 表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是 进制数&国转换成十进制数的形式是（）A. 217 2B.C. 216 2D.”，如32101X2 + 1X2 + 0X2 + 1X2 = 13,（11

4、01） 2那么将二16.2 115.2 1215+解析：选B.题目虽然比较新，但是我们仔细分析题目中的条件，按照其规律有:14131 216162 + 2 + 1 = 1 2 = 2 1.7.在Rt ABC中，已知ab na1nanB. S nanna1C. na S nanD. nan S na解析：选C.利用S S-1= an求出an,再进行作差比较三者的关系.112. 数列an的通项公式为an=，已知它的前 n项和S= 6,则项数n等于勺 n+1+7nB. 7D. 491( )A. 6C. 48解析：选 C.将通项公式变形得：an= =彳n+1 + 寸 n pn+1 + 寸 n彳 n +

5、 1 y nn+ 1 n,则 Sn=( ,2 . 1) + ( ,3 . 2) + (, 4 ,3) +( . n+ 1, n) = . n+ 11,由 S = 6,则有-Jn+ 1 1 = 6, n= 48.二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)1 一13.等比数列an中，ai = 512,公比q =用n n表示它的n项之积：n n= ai a2 a3an, n n取得最大值时 n = .解析：法一：令 y = log 2n n= log 2(ai a2 a3an) = log 2ai + log 2a2 + log 2a3 + log 2an,1而log 2an构成公差为log

6、 2q= log空=-1的等差数列，则我们可以用等差数列前n项和公式得：y= 9n+ -打 “ = g(n 罟)2+ 31,又 ae= 1 ,当 n= 9 或 10 时， n n最大.1 n 1法二：an= 512 ( 2),当 n = 10 时，an= 1, nW9 时，an 1,n 10 时，0 v anv 1, n n最大时，n取9或10.答案：9或10an 114.数列an中，a1= a, an=(n2)( a*0)，贝U an =.nan-1 +1an 1111解析：由 an=，可得一=n+(n2)，令 bn=，贝U b2 = 2 + b,nan-1+1anan1anb3= 3+ b

7、2,，bn = n+ bn 1，各式相加，得 bn= b+ (2 + 3+ n)1nn+12a=a+2 J, an = 6 = nn+ a+ 2.答案： n-n+2 a+215. 个数列 an，其中a1= 3,a2= 6,an+ 2= an+1 an,那么这个数列的第5项是.解析：a3= a2 a1= 3, a4 = a3 a2 = 3,a5= a4 a3 = 6.答案：616. 蜜蜂被认为是自然 界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有 7个蜂巢，第三个图 有19个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第n幅图的蜂巢总数

8、，则 f(4) =; f( n)=解析：1 = 1,7 = 1 + 1X 6,19 = 1 + 1X 6+2X 6,贝 Uf (4) = 1 + 1X 6+ 2X 6+ 3X 6= 37.f(n) = 1 + 1X6+ 2X6+-+ (n 1) x6= 1 + 6(1 + 2+-+ n 1) = 1+ 3n(n 1). 答案：371 + 3n(n 1)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .在等差数列an中，a10= 30, a20= 50.(1) 求数列an的通项an；(2) 令bn = 2an 10,证明数列bn为等比数列.解：(1)设等差数列an的公差

9、为d,a1 + 9d= 30,a1 = 12,则解得a1 + 19d= 50,d= 2.an = 12+ 2（ n 1） = 2n+ 10.证明：由（1）得2n nbn= 2an 10= 2 = 4 ,bn + 1bn.n + 14=4. bn是首项是4,公比q= 4的等比数列.118. (2019年济南高二检测)数列 an的前n项和为 S,且a1= 1, an+1=S, n1, n3 N+.求（1）数列an的通项公式；（2）a2 + a4 + a6 + 十 g” 的值.1解：（1）由 a1= 1, an+1 = S, n= 1,2,3，,e111得 a2=3S = 3a1=彳11an+1 a

10、n= 3（ S S 1） = 3an（ n2）, 334 an+1 = 3an（ n2）,31亡严 r、f14 n 2a2= 3 所以an=彳耸）（n2）,数列an的通项公式为:1an= f 1 4I3 3n 214 2 由(1)可知a2, a4,，a2n是首项为3，公比为(才，且项数为n的等比数列, 所以a2 + a4 + ae+十a2n4一34 一 32n32”:=3【（3）1-4 2”19在等差数列an中，ai= 1,前”项和S满足条件=, ”= 1,2 ,Si”十 1(1)求数列an的通项公式； 记b”= a”pa”( p 0)，求数列b”的前”项和T”. 解: (1)设等差数列an的

11、公差为d,由41十2,Si”十 1a1 十 a2得 =3,所以 32= 2，即卩 d= a2 a1= 1. a14n+ 2 ”十1a”+ nd+ 312X2 nan+ ai2an+ nd + aa卄a12an 十 n+ an +1，所以an= n.（2）由 bn = anpan, 得 b = npn,所以23n 1n= p+ 2p 十 3p 十十（n 1） p 十 np , , n n+1当 p= 1 时，Tn=2；当pl时，23 亠 4nn + 1pTn= p + 2p + 3p + (n 1) p + np ,n2,3,. n 1nn+1 P Pn+1一，得 (1 p)Ti= p+ p +

12、 p+ p + p np = np .pn+ 1所以Tn =p 1 pnnp20. 等比数列an中，已知a1= 2, a4= 16.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和S.解：(1)设an的公比为q.由已知得 16 = 2q3，解得 q= 2.二 an= aq 1 = 2n.设bn的公差为d,则有b1 + 2d= 8, b1 + 4d= 32 ,(2)由(1)得 a3 = 8, a5= 32，贝U b3= 8, b5 = 32.b = 16, 解得td= 12.从而 bn= 16 + 12(n 1) = 12n

13、28.n 4 I *1 O n J 口所以数歹y bn的前 n项禾廿S= = 6n222n.21. 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2,是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r 0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a。+ r)n1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r)n2, ,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1) 写出Tn与Tn 1(n2)的递推关系式；(2)

14、求证：Tn = A + B,其中An是一个等比数列，B是一个等差数列.解：(1)由题意知 Tn= Tn1(1 + r) + an(n2).(2)证明：T1 = a1，对n2反复使用(1)中的关系式，得T=耳1(1 + r) + an= Tn 2(1 + r) + an 1(1 + r) + an= = a(1 + r)+ 比(1 + r)+ an1(1 + r) + an.在式两端同乘1+ r，得(1 + r )Tn= a*1 + r) + a2(1 + r)+ an1 (1 + r) + an(1 + r).，得drTn= a1(1 + r)n+ d(1 + r)n 1+ (1 + r)n2

15、+-+ (1 + r) an= d【(1 + r)n 1 r + a1(1、n+ r) an,即Tn =ar +d n d(1 + r) dna1r + d2ra1r + d na1r + d d如果记 A= -4-(1 + r)n, B= -4- -n,rr r则 Tn= A+ Bn,a1r + da1r + d其中A是以孑(1 + r)为首项，以1 + r(r 0)为公比的等比数列； B是以一dd；为首项，以一为公差的等差数列.22.已知数列an满足a1= 1, a2= 2,an+ an+ 1n N+.(1)令bn = an + 1 an，证明: bn是等比数列; 求an的通项公式.解：(1)证明：b1 = a2- a1= 1,an - 1 + an当 n2 时，bn= a +1 - an =2 - an1 1=-2( an an- 1)=