将军饮马的六种模型

1、将军饮马的六种常见模型将军饮马问题一一线段和最短一六大模型A、B，在直线I上求作一点P,使FA+PB最小。2.如图，直线I和I的同侧两点A、B，在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。OM，ON上作点A，B。使 PAB的周长最小OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小6.如图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目Parti、三角形1. 如图，在等边 ABC中，AB = 6, AD丄BC, E是AC上的一点，M 是AD 上的一点，AE=2,求EM+EC 的最小值解：点C关于

2、直线AD的对称点是点B,连接BE，交AD于点M，则ME+MD 最小, 过点B作BH丄AC于点H ,贝U EH = AH - AE = 3 - 2 = 1,BH = . BC2 -CH 2 = . 62 -32 =3 3在直角 BHE 中，BE = BH EH=心3)2 i2=2、72. 如图，在锐角厶 ABC中，AB = 4 2，/ BAC= 45，/ BAC的平分线交 BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点， 解：作点B关于AD +MN的最小值在等腰贝U BM+MN的最小值是.的对称点B，过点B作B E丄AB于点E,RtA AEB中，根据勾股定理得到，BE =交AD于点F，则线段B E

3、长就是BM43. 如图， ABC中，AB=2，/ BAC=30,若在 AC、AB上各取一点 M、N,使 BM+MN的值最小，则 这个最小值解：作AB关于AC的对称线段 AB，过点B作B N丄AB,垂足为N，交AC于点M,则B N = MB+ MN =MB+MN. B N 的长就是 MB+MN 的最小值，则/ B AN = 2/BAC= 60, AB = AB = 2, / ANB= 90,/ B =30。 AN = 1，在直角厶AB N中，根据勾股定理 B N = 3Part2、正方形1.如图，正方形 ABCD 的边长为8, M 在DC 上，且DM = 2, N是AC上的一动点，DN + MN

4、的最小 值为。D即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。解：故作点 D关于AC的对称点B,连接BM，交AC于点N。贝U DN + MN = BN+ MN = BM。线段BM的 长就是 DN + MN的最小值。在直角厶 BCM中，CM = 6, BC = 8,贝U BM = 10。故DN +MN的最小值是 102.如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2石 B. 2尿C. 3 D.拆解：即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小。点D关于直线 AC的对称点是点 B, 连

5、接BE交AC于点P,贝U BE = PB+PE = PD+PE, BE的长 就是PD+PE的最小值 BE=AB = 2. 33.在边长为2 c血的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,UA PBQ周长的最小值为 cm （结果不取近似值）解：在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小点B关于AC的对称点是D点，连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ，故 DQ 的长就是 PB+PQ的最小值在直角 CDQ中，CQ=1 , CD=2，根据勾股定理，得，DQ=、54. 如图，四边形 ABCD是正方形， AB = 10cm, E

6、为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；1.如图，若四边形 ABCD是矩形, 的一个动点，求 PC+PD的最小值；B解：连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在直角 ABE中，求得AE的长为5、5Part 3、矩形AB = 10cm, BC = 20cm, E为边 BC上的一个动点， P为BD 上BD于点P,贝U C E就是PE+PC的最小值直角 BCD中,CH=20,5直角 BCH中,BH=8.5解：作点C关于BD的对称点C，过点C, 作C B丄BC,交 BCC的面积为：BH X CH = 160 C EX BC = 2X 160 贝U CE =16Pa

7、rt 4、菱形1. 如图，若四边形 ABCD是菱形， AB=10cm,Z ABC=45, E为边BC上的一个动点，P为BD上的 一个动点，求 PC+PE的最小值；DC解：点C关于BD的对称点是点 A, 过点A作AE丄BC, 交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰 EAB中，求得AE的长为5、2Part 5、直角梯形1.已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, AB丄BC, AD=2, BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当 PA+PD取 最小值时， APD中边AP上的高为（）172 .17A、B、it 17解：作点A关于BC的对称点A，连接A D，交BC于点P 则A D = PA+

8、 PD = FA+PD A D的长就是 PA+PD 的最小值SA APD = 4在直角 ABP中,AB = 4，BP = 1，根据勾股定理，得 AP=-、万 AP上的高为:2 IM1717Part 6、圆形 1已知O O的直径CD为4,/ AOD的度数为60,点B是AD的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.解：在直线 CD上作一点P,使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A，连接AB,交CD于 点P,贝U A B的长就是FA+PB的最小值连接OA , OB，则/ A OB=90, OA = OB = 4根据勾股定理，AB=4.22. 如图，MN是半

9、径为1的O O的直径，点 A在O O 上,/ AMN = 30, B为AN弧的中点，P是直 径MN上一动点，贝U PA+ PB的最小值为()A. 2/2B. 42C. 1D. 2解：MN上求一点P,使PA+PB的值最小 作点A关于MN的对称点A,连接A B，交MN于点P,则 点P就是所要作的点 AB的长就是PA+PB的最小值 连接OA、OB，则 OAB是等腰直角三角形 /A B=2Part 7、一次函数 20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0) , B (0, 4).(1) 求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为 C、D, P为OB上一

10、动点，求 PC+ PD的最小值，并求 取得最小值时P点坐标.0kA ?cr CA解：(1)由题意得：0=2x+b, 4=b解得 k=- 2, b=4,/ y=- 2x+4(2)作点C关于y轴的对称点 C，连接C D，交y轴于点P贝U C / D=C P+PD = PC+PDC D就是PC+PD的最小值连接 CD，贝U CD=2，CC =2在直角 C CD中，根据勾股定理Cz D=2.2求直线C D的解析式，由C(- 1, 0) , D(1, 2)有 0=- k+b, 2=k+b解得 k=1, b=1, y=x+1当 x=0 时，y = 1，贝U P(0, 1)Part 8、二次函数1.如图，在

11、直角坐标系中，点A的坐标为(-2, 0),连结0A,将线段OA绕原点0顺时针旋转120。,得到线段OB.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点。使厶BOC周长最小？若存在求出点 C坐标；若不存在， 请说明理由解：(1)B(1 , 、3)(2) y =(3) v点O关于对称轴的对称点是点 A，则连接AB, 交对称轴于点 。，则厶BOC的周长最小当x=-1时,.33- C(- 1,2.如图，在直角坐标系中,A, B, C的坐标分别为(-1, 0), (3, 0), (0, 3),过 A, B, C 三点的抛物线的对称轴为直线

12、I , D为直线l上的一个动点,(1) 求抛物线的解析式；(2) 求当AD+CD最小时点 D的坐标；(3) 以点A为圆心，以AD为半径作圆A;X解：(1)证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。(2)连接 BC，交直线 I 于点 D,贝U DA+DC = DB + DC = BC，BC的长就是AD+DC的最小值BC : y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1, 2),3. 抛物线y = ax2+bx+c(a丰0)对称轴为x = - 1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C,其中A(- 3, 0)、C(0, -2)(1) 求这条抛物线的

13、函数表达式.(2) 已知在对称轴上存在一点P,使得 PBC的周长最小.请求出点 P的坐标.(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点 0、点C重合).过点D作DE/ PC交x轴于点E,连 接PD、PE.设CD的长为, PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式. 试说明S是否存在最 大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.(1)由题意得3一22=12a*9a3b+c = 0,解得 gb抛物线的解析式为 y =2x234x 一23(2)点B关于对称轴的对称点是点 设直线AC的解析式为则3k b,解得-2 二bk=2 , b=-23A,连接AC交对称轴于点 卩，则厶PBC的周长最小.y= kx + b，/ A(- 3, 0) , C(0, -2),直线AC的解析式为4把 x=-1 代入得 y =p(- 1,3(3) S存在最大值/ DE/ PC,OE/OA = OD/OC，即 OE/3 = ( 2-m)/ 23 3OE=3- m , AE=OA - OE=m22方法一，连接OP