函数的周期性和对称性解析版——王彦文

1、函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后 就要研究对称性(中心对称、轴对称)，并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联 系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步准确求岀函数的周期性；第三步运用函数的周期性求解实际问题 .例 1 (1)函数f(x)对于任意实数x满足条件1，若 f =一5，贝U f(f(5) =f(x 2fA.-5B【答案】D考点

2、：函数的周期性. 已知f X在R上是奇函数，且满足f x 5 二一f x，当i0,5 时,f x = x2 - x，贝U f 2016 =()A、-12【答案】A、-16、-20试题分析：因为f x 5 - - f x，所以 f x 10 - - f x 5 i= f x ，f x的周期为10，因此f 2016 = f 4 = -f 4 = - 164 = -12，故选 A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.【点评】(1)函数的周期性反映 了函数在整个 定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在

3、 R上的函数f(x)满足f(-x)二-f(x)，f(3-x)二f(x)，贝U f(2019)=()A. -3B . 0 C . 1 D . 3【答案】B【变式演练2】定义在R上的函数f x满足f x 2 f X=O,X：= 0,2时，f x =3x-1，则f 2015的值为()A.-2 B.O C.2D.8【答案】A试题分析：由已知可得f(x4) =-f(x 2) = f(x)=. f x的周期T =4= f 2015 = f (3)=- f (1) = -2，故选A.考点：函数的周期性.b = f(；)，【变式演练3】定义在R上的偶函数y = f(x)满足f(x2) - - f(x)，且在x

4、-2,0上为增函数，c = f (g 8)， 则下列不等式成立的是(2a. a b c b . b c a c . b a c d . cab【答案】B试题分析：因为定义在R上的偶函数 y = f(x)在X- -2,0上为增函数，所以在0,2上单调递减，又7i1、13f (x 4) = f(x)，所以 b = f( ) = f ,c = f (log 1 8) = f -3 二 f 1 ，又 ：1：，所以 b c a 22)222考点：1偶函数的性质；2函数的周期性.二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：a + b 第一类 函数f (x)满足f(X a

5、) = f (b - X)时，函数y = f (x)的图像关于直线 x对称；2第二类 函数f (x)满足f (x a) f (xc时，函数y二f(x)的图像关于点(a b, c)对2 2称；第三类 函数y=f(x，a)的图像与函数 y=f(b-x)的图像关于直线 x = b 一 a对称.2例2 (从对称性思考)已知定义在 R上的函数f (X)满足f(-x)=-f(x)，f(3-x)=f(x)，则f(2019) =()A. -3B . 0 C . 1 D 3【答案】B2 【易错点晴】函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则函数关于(0,)中心对称，f(3_x) = f(x),则函数关于3轴对称

6、，常用结论：若在R上的函数f(x)满足f (a x f ( x), f (b x - f(b x)，则函数f(x)以4|ab|为周期.本题中，利用此结论可得周期为4汇0-=6，进而f(2019) = f(3)， f (3)需要回到本题利用题干条件赋值即可f 3(3例3已知定义在 R上的函数f(x )的图象关于点._ _,0对称，且满足f(x)=_f.x + _f 一1 = 1, f 0 = -2,则 f 1 f 2 f 3. f 2008 二()A. 669 B . 670 C . 2008 D . 1【答案】D试题分析：由 f x - - fx 3 得 f X 二 f x 3，又 f -1

7、=1,f 0 = -2，2 f(-1H f(-1 3H f(2)，f(0)=f(3)， f x的图象关于点-3,0I 4丿对称，所以113f 一1 二一f (一2)=仁一2 2)= f (1)，f(1)f(2)f(3) = 0,由 f x = f x 3 可得f 1 f 2 f 3. f 2008 =669 (f 1 f 2 f 3)f(1)= f(1)= f(-1) = 1，故选 D.考点:函数的周期性；函数的对称性.2已知函数g(x)二ax1(x岂e, e为自然对数的底数)与h(x)二2ln x的图像上存在关于 x轴对称 e的点,则实数a的取值范围是(1A - 1, 2 2eB . 1,e

8、2 -2c.丄 + 2营_2eD. e2 -2,：)【答案】B 考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题3 3【变式演练4】定义在R上的奇函数f(x)，对于xR，都有f( x) = f(x)，且满足f(4)-2，4 4f (2)二m-?，则实数m的取值范围是m【答案】m ： -1或0 ： m : 3x=3对称，又f (x)是奇函数，因此它也43 3试题分析：由f(*x) = f( - x)，因此函数f (x)图象关于直线4 43是周期函数，且 T = 43，丁 f (4) . 2 , f ( /) = _ f (4) ： 2 ,二 f (2) = f (2 3 2) = f (4),43、

9、即 m 2，解得 x ： -1 或 0 ： x : 3.m考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】一_x +11.【2016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xR)满足f (X)= 2f(X)，若函数y与y = f(x)Xm图像的交点为(为，),&2，丫2),(xm，ym),则 7 (Xi y)二()i (A) 0( B) m(C) 2m( D) 4m【答案】Cx +11试题分析：由于f (一X )+ f(X ) = 2，不妨设f (x ) = X +1，与函数y = 1十一的交点为xX1,2 , -1,0，故 X! X2 y1 y 2，故选 C.考点：函数图象的性质a + b对称轴x =2

10、【名师点睛】如果函数 f (x)，-x D，满足-X- D，恒有f (a x) = f (b -X)，那么函数的图象有；如果函数f (X),-X D，满足-D，恒有f (a -X)= - f (b X)，那么函数的图象有对称中心2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当 x0时,f(x) =X3 -1 ； 当f (X)= f(X)；当 x = 1 时,1 1f(x 2)-2).则 f(6)=()(A)?2(B)?1(C) 0(D) 2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数.本题具备一定难度.本题能较好的考查考生【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶

11、性与周期性，是高考常考知识内容 解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化 分析问题解决问题的能力、基本计算能力等3. 【2016年高考四川理数】已知函数 f (X)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0V x V 1时，f(X)=4X ,5则 f (-) f (1) =2【答案】-2f(-5)和f(1)，利用奇偶性2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把x a, x 0,2x ,0 兰 x v1,5与周期性化为(0,1)上的函数值即可.5.【2016高考江苏卷】设f(X)是定义在R上且周期为2的函数，

12、在区间-1,1)上, f(X)= 5 9其中a R.若f( ) = f()，则f(5a)的值是222【答案】-55 1911123【解析】f( )=f( ) = f()=f()：；aa =222222 5532因此 f (5a) =f (3) = f(1) = f(1) = -1 -55考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数

13、学，理4】设函数y = f (x)定义在实数集 R上，则函数y=f(a-x)与 y=f(x-a)的图象()A.关于直线y =0对称 B关于直线x=0对称c.关于直线y =a对称 D.关于直线x = a对称【答案】D2. 【2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数f x是定义在R内的奇函数，且满足 f x 4 = f x，当 x 0,2 时，f X 二 2x2，则 f 2015 二()A. -2 B2 C . -98 D . 98【答案】A试题分析：由 f x 4 = f x 得 f x 的周期 T =4= f 2015= f (3) = f (T) = - f (

14、1)= -2，故选 A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文 8】定义在R上的偶函数f(X)满足f(X-3)=-f(X)，对Vx1, X2 引0,3且捲 H x2，都有 f (xJ - f (xo，则有()x( _x2A. f(49) ： f (64) ： f(81)B. f (49) ： f (81) ： f (64) C. f (64) ： f (49) ： f (81)D. f(64) ： f (81) ： f (49)【答案】A【解析】试题分析：因为f(x_3) = -f (x)，所以f(x-6) =-f(x-3) = f x，及

15、f x是周期为6的函数，结合f (x)是偶函数可得，f (49) = f 1 , f(64) = f -2=f 2 ,f(81)= f -3=f 3，再由- “x? 0,3且 x,%，dd o 得 f(x)在0,3上递增，因此 f ：f (2) ： f (3)，即x -x2f (49) ： f(64) ： f (81)，故选 A.考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在 R上的函数f (x)满足：y=f(X-1)的图象关于(1,0)点对称，且当f (x)二ex -1，则31x _ 0 时恒有 f (x -)=

16、f (x )，当 0,2)时,22f(2016) f (-2015)二()一1 edA. 1 -eB31f (x - )= f (x )即函数f x的周期为2 .所以f(2016) f(-2015)=f 0 - f 1=1-e.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数.5.【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理211】已知函数f (x) = a - x (1二x = 2)与g(x) = x 2的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是(99A一，二)B .044【答案】CC. -2,0D2,4【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围【答案】A试题分析：

17、y = f(x-1)的图象关于(1,0)点对称，则f x关于原点对称.当x_0时恒有6.【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数 m和任意实数X，等式(x m)二1 f(x)1-f(x)成立，则下列说法正确的是(A.函数f (x)是周期函数，最小正周期为 2mc.函数f (x)是周期函数，最小正周期为 4m【答案】cB.函数f (x)是奇函数，但不是周期函数D.函数f (x)是偶函数，但不是周期函数考点：函数的周期性.7.【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷,文10】函数f (x)的定义域为 R，以下命题正确的是(同一坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y

18、=f(1x)的图象关于直线 X=1对称;x，又有 f(x 3)2-f (x)，则f (x)的图象关3函数f(x)的图象既关于点(-,0)成中心对称，对于任意43于直线x 对称；2函数f (x)对于任意x，满足关系式f (x 2) =-f(-x 4)，则函数y = f(x 3)是奇函数.A.B C D【答案】D【解析】试题分析： 正确，因为函数 y = f x与y = f l.-x关于y轴对称，而y=fx-1和y=f1-x都是y = f x与y = f -x向右平移1个单位得到的，所以关于直线x =1对称；f 3 、f 3、3 正确，因为函数关于点，成中心对称，所以f x f(x)，而f(x+ ) = f(x)，所以J 4丿J 2丿2f 3、f3、3f 一一 x |= f . + x ，即 f (一x )= f (x )，又根据 f (x+)= f (x)，可得函数的周期 T = 3,又有I 2丿(2丿2f ( X )