JGLXchap12力矩分配法

1、第十二章 渐近法,力矩分配法,第八章 渐近法(力矩分配法,81 力矩分配法的基本概念,82 多结点的力矩分配法,83 对称结构的计算,84 无剪力分配法及其推而广之,85 剪力分配法,3,渐近法的概念,1、渐近法建立于近似状态，逐次调整后收敛于真实状态，得到精确解。 2、渐近法不解联立方程，计算步骤单一。物理概念生动形象，计算结果直观。 3、基于位移法的力矩分配法，直接求得杆 端弯矩，精度满足工程要求，应用广泛。 4、适合于手算，与电算并存。 5、常见还有无剪力分配法、迭代法等,力矩分配法,4,林同炎与力矩分配法,预应力先生林同炎力矩分配法创始人， 为预应力技术发展作出极为巨大贡献。 世界名著

2、预应力混凝土结构物设计。 提出“荷载平衡法”。 求解预应力超静定结构。 设计第一座平面为弧形的勒克阿朱盖弧形斜拉桥(1979) ：ruck-a-chucky桥，全长400m，平弯45，跨过深150m的河谷，一百多根预应力索由悬崖悬挂，无墩。获全美设计比赛第一,力矩分配法,5,力矩分配法,6,力矩分配法,7,钢索锚固在深30m的岩洞里,结构的均衡与稳定,美国加利福尼亚勒克阿朱盖弧形斜拉桥,8,设计师:林同炎 从弧形斜拉桥的非对称的平衡中可体验到结构飘然失重的奇妙感觉,美国加利福尼亚勒克阿朱盖弧形斜拉桥,结构的均衡与稳定,9,10,福州出生的美籍华人学者。 美国国家工程科学院第一位华裔院士。 设计

3、的18层刚柔并济的高层建筑尼加拉瓜美洲银行大厦屹立于1972年马拉瓜大地震的废墟中（五百一十一个街区房屋建筑全被震毁，门前地面上下错动1/2英寸），仅电梯井联系梁开裂。 结构工程抗震的新概念已逐步纳入规范,力矩分配法,林同炎与力矩分配法(续,11,力矩分配法,12,试问： 那一幢破坏严重呢,马那瓜中央银行大厦,马那瓜美洲银行大厦,13,14,十四岁考入唐山交大，十八岁赴美深造。“我的科技基础，全是在祖国奠定的”。 二十岁创造“力矩分配法”，被命名为“林氏法”。当年的硕士论文： “a direct method of moment distribution,” proceeding asce,

4、december 1934 (also trans. asce, 1937, pp.561-605). 设计成渝铁路1000多座桥涵，奠定了工程实践基础,力矩分配法,林同炎与力矩分配法(续,81 力矩分配法的基本概念,计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计 算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解,这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同， 易

5、于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用,力矩分配法,返 回,81 力矩分配法的基本概念,力矩分配法为克罗斯(h.cross)于1930年提出，这一方法对连 续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便,1.劲度系数、传递系数,劲度系数(转动刚度)sij 定义如下：当杆件ab的a端转 动单位角时，a端(又称近端)的弯矩 mab称为该杆端的劲度系数，用sab 表示。它标志着该杆端抵抗转动能 力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承 情况有关，由转角位移方程知 远端固定时,a,b,ei,l,1,mab =4i,mba,a,b,ei,1,mab =

6、3i,sab=mab=4i,远端铰支时,sab=mab=3i,sab=3i,a,b,1,远端滑动支撑时,ei,mab =i,mba,sab=mab=i,sab=i,远端自由时,a,b,1,mab =o,ei,sab=mab=0,sab=0,sab=4i,力矩分配法,返 回,2) 传递系数cij,a,b,ei,l,1,mab =4i,a,b,ei,1,mab =3i,sab=mab=4i,sab=mab=3i,a,b,1,ei,mab =i,mba =-i,sab=mab=i,a,b,1,mab,ei,sab=mab=0,当近端a转动时，另一端b(远端) 也产生一定的弯矩，这好比是近端 的弯矩按

7、一定比例传到远端一样， 故将b端弯矩与a端弯矩之比称为由 a端向b端的传递系数，用cab表示。 即,或 mba=cabmab,远端固定时,cab=0.5,远端铰支时,cab=0,远端滑动支撑,cab=1,由表右图或表(101)可得,mba =2i,力矩分配法,返 回,2. 一般荷载作用下单结点的力矩分配法,现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理,1,2,3,4,q,p,a,1,2,3,4,b,mp图,图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角 z1，其典型方程为,r11z1+r1p=0,绘出mp图（图b,可求得自由项为,r1p,r1p是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚

8、臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和,即各固端弯矩所不平衡的,差值，称为结点上的不平衡力矩,r1p,1,r1p,力矩分配法,返 回,r11,式中s1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和,1,2,3,4,c,图,2i12,4i12,3i13,i14,绘出结构的,图（见图c,计算系数为,解典型方程得,z1,然后可按叠加法 m,计算各杆端的最后弯,弯矩,4i12+3i13+i14,s12+s13+s14,s1j,力矩分配法,返 回,m12,m13,m14,以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按劲度系数大小的

9、比例分配给近端， 因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数， 其计算公式为,1j,81,结点1的各近端弯矩为,力矩分配法,返 回,1j,81,显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即 1j =1,各远端弯矩如下,m21,m31,m41,各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动z1 角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩,力矩分配法,返 回,得出上述规律后，便可不必绘 mp 、 图，也不必列出典型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程分为两步求解,1)固定结点,即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有

10、不平衡力矩，它暂时由刚臂承担,2)放松结点,即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各 自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传 递弯矩,力矩分配法,返 回,例 81,试用力矩分配法作刚架的弯矩图,a,b,c,d,30kn/m,50kn,a,解,1)计算各杆端分配系数,ab,ac,ad,ab=0.445 ac=0.333 ad=0.222,2)计算固端弯矩,据表(101,ei,2ei,ei,4m,2m,2m,4m,12,ql2,12,q

11、l2,8,3pl,8,pl,3)进行力矩的分配和传递,结点a的不平衡力矩为,a,c,d,杆 端,ab,ac,ad,ba,ca,da,0.445,0.333,0.222,分配系数,固端弯矩,40,40,0,75,25,0,35,分配弯矩,15.5,11.7,7.8,7.8,0,7.8,32.2,55.5,最后弯矩,11.7,67.2,32.8,0,b,55.5,60,11.7,67.2,32.8,m图 (kn.m,b,32.2,4)计算杆端最后弯矩并作矩图,35,力矩分配法,返 回,82 多结点的力矩分配法,对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称 无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述

12、方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计 算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即 每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这 样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递， 直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次 渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明,力矩分配法,返 回,例82 用力矩分配法计算图示多结点连续梁,0,1,2,3,25kn/m,400kn,25kn/m,解,固定1 2结点。列表计算如下,12m,6m,6m,12m,分配系数,10,12,21,23,固端弯矩mf,300,300,600,600,300,450,0,150,结点1分配传递,150,150,75,75,结点2分

13、配传递,129,96,64,0,结点1分配传递,32,32,16,16,结点2分配传递,9,7,5,0,0.5,0.5,0.571,0.429,结点1分配传递,2,3,1,1,结点2分配传递,1,0,最后弯矩m,208,484,484,553,553,0,ei,ei,ei,225,225,力矩分配法,返 回,例83 用力矩分配法计算图示连续梁,1.5kn/m,8kn,4kn,5m,8m,3m,5m,5m,1.5kn/m,8kn,4kn,4knm,0.375,0.625,0.5,0.5,0.375,0.625,mf,0,4.69,8,8,9.38,5.62,2,4,分 配 及 传 递,4.76,

14、2.86,2.38,0,a,b,c,d,e,f,i,2i,2i,i,0.8i,i,i,0.8i,1m,a,b,c,d,e,1.24,2.07,0,1.03,1.37,1.36,0.68,0.68,0.43,0.25,0.21,0.25,0.43,0.21,7.62,3.31,2.73,0.42,0.21,0.21,0.11,0.11,0.04,0.07,0.03,0.07,0.04,0.03,0.03,0.03,0.02,0.02,0.01,0.01,0.01,0.01,m,0,5.63,5.63,10.40,10.40,1.16,1.16,4,力矩分配法,返 回,1.5kn/m,8kn,4k

15、n,a,b,c,d,e,f,i,2i,2i,i,m,0,5.63,5.63,10.40,10.40,1.16,1.16,4,5.63,4.69,1.88,12,1.16,15,0,4,8.06,m图,0,10.40,3.98,返 回,力矩分配法,28,图21.4,力矩分配法,29,图21.5,力矩分配法,30,图21.6,力矩分配法,31,83 对称结构的计算,力矩分配法,返 回,解】因该封闭框架的结构和荷载均有x、y两个对称轴，可以只取四分之一结构计算如图(b)所示。作出该部分弯矩图后，其余部分根据对称结构承受对称荷载作用弯矩图亦应是对称的关系便可作出。 (1) 计算固端弯矩 由表6-2查得

16、各杆的固端弯矩为：mf1a=-ql2/3=-7.5knm mfa1=-ql2/6=-3.75knm 写入图(c)各相应杆端处,例】用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆ei等于常数,32,力矩分配法,返 回,例】用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆ei等于常数,2) 计算分配系数 转动刚度：s1a=i1a=ei/1.5s1c=i1c=ei/1=ei 分配系数：1a=s1a/(s1a+s1c)=0.41c=s1c/(s1a+s1c)= 0.6 将分配系数写入图(c)结点1处,33,力矩分配法,返 回,3) 进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。 结点力的约束力矩mf

17、1=mf1a+mf1c=-7.5knm，将其反号并乘以分配系数，便得到各杆近端的分配弯矩。 将各杆分配弯矩乘以传递系数便得到远端的传递弯矩(c1a=c1c=-1)。 最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩(或传递弯矩)相叠加即可得到各杆端的最后杆端弯 矩。在最后弯矩下画双横线。 以上工作均在图(c)所示图上进行。 (4) 作弯矩图 根据对称关系作出弯矩图如图(d)所示,34,力矩分配法,返 回,35,84 无剪力分配法,力矩分配法,返 回,1适用范围：（单跨对称刚架在反对称荷载作用下） 无剪力分配法适合计算某些特定条件下的有侧移刚架，即刚架是由两类杆件组成： （1）无侧移杆，两杆端无相对线位移。 各

18、梁：两端结点没有相对线位移（也就是无垂直杆轴的相对位移），称为两端无线位移的杆件。 （2）剪力静定杆。 各柱：两端结点虽有侧移，但剪 力是静定的，称剪力静定杆件（柱）。 应用条件：刚架中除两端无相对 线位移的杆件外，其余的杆件全 是剪力静定杆件。（单跨对称刚 架在反对称荷载作用下可化成此 结构,36,力矩分配法,返 回,2计算步骤 （1）固定结点。只加刚臂阻止结点的转动，而不加链杆阻止结点的移动，如图9-9b所示。对剪力静定杆来说，相当于一端固定、一端滑动的梁，计算固端弯矩,结点b的不平衡力矩暂时由刚臂承受,37,2）放松结点。为了消除刚臂上的不平衡力矩，现在来放松结点，进行力矩的分配和传递。

19、此时，结点b不仅转动z1角，同时也发生水平位移。柱ab为下端固定上端滑动，当上端转动时，柱的剪力为零因而处于纯弯曲受力状态，这实际上与上端固定下端滑动而上端转动同样角度时的受力和变形状态完全相同。故可知其转动刚度为i，而传递系数为-1。于是,图9-9,力矩分配法,38,结点b的分配系数为,其它计算如图。 在整个力矩的分配和传递过程中，柱中原有剪力将保持不变而不增加新的剪力，故这种方法称为无剪力力矩分配法，简称无剪力分配法。 以上计算方法可以推广到多层刚架的情况。 不论有多少层，每一层的柱子均可视为上端 滑动下端固定的梁，计算固端弯矩时，除了柱身承受本层荷载外，柱顶还承受剪力，其值等于柱顶以上各

20、层所有水平荷载的代数和。计算时，各柱的转动刚度应取各自的线刚度i，而传递系数为-1（指等截面杆,力矩分配法,39,例 试用无剪力分配法计算图中所示刚架。 解：计算分配系数时注意各柱端的转动刚度应等于其柱的线刚度。各柱的固端弯矩，对于ac柱为,对于ce柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力10kn,故有,力矩分配法,40,对于eg柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力20kn,故有,其余计算如图所示，m图如图b所示,力矩分配法,41,力矩分配法,42,85 剪力分配法,力矩分配法,水平荷载作用下刚架结构的内力和侧移可用结构力学的剪力分配法计算，常用的近似算法有迭代法、反弯点法、d值法和门架法等,1水平荷

21、载作用下框架结构的受力及变形特点,2d值法,1）层间剪力在各柱间的分配,该式即为层间剪力vi在各柱间的分配公式，它适用于整个刚架结构 同层各柱之间的剪力分配。可见，每根柱分配到的剪力值与其侧向刚度 成比例,43,框架第2层脱离体图,2）框架柱的侧向刚度d值：一般规则框架中的柱,力矩分配法,44,m图,pl/5,2pl/5,2pl/5,用剪力分配法作图示结构弯矩图,点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退,85 剪力分配法,力矩分配法,45,r,3ql/8=30kn,r=30kn,6kn,24kn,30kn,48,96,96,m图 (kn.m,128,点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。

22、 重新播放请点,重新播放,46,作业: 习题：8-1、8-4、 8-6 、8-8、8-9、8-10、8-12、8-13,力矩分配法,47,渐近法的概念,1、渐近法建立于近似状态，逐次调整后收 敛于真实状态，得到精确解。 2、渐近法不解联立方程，计算步骤单一。 物理概念生动形象，计算结果直观。 3、基于位移法的力矩分配法，直接求得杆 端弯矩，精度满足工程要求，应用广泛。 4、适合于手算，与电算并存。 5、常见还有无剪力分配法、迭代法等,力矩分配法,48,林同炎与力矩分配法,预应力先生林同炎力矩分配法创始人， 为预应力技术发展作出极为巨大贡献。 世界名著预应力混凝土结构物设计。 提出“荷载平衡法”

23、。 求解预应力超静定结构。 设计第一座平面为弧形的斜拉桥(1979) ： ruck-a-chucky桥，全长400m，平弯45，跨过深150m的河谷，一百多根预应力索由悬崖悬挂，无墩。获全美设计比赛第一,力矩分配法,49,力矩分配法,50,力矩分配法,51,钢索锚固在深30m的岩洞里,结构的均衡与稳定,美国加利福尼亚勒克阿朱盖弧形斜拉桥,52,设计师:林同炎 从弧形斜拉桥的非对称的平衡中可体验到结构飘然失重的奇妙感觉,美国加利福尼亚勒克阿朱盖弧形斜拉桥,结构的均衡与稳定,53,54,福州出生的美籍华人学者。 美国国家工程科学院第一位华裔院士。 设计的18层刚柔并济的高层建筑尼加拉瓜美洲银行大厦

24、屹立于1972年马拉瓜大地震的废墟中（五百一十一个街区房屋建筑全被震毁，门前地面上下错动1/2英寸），仅电梯井联系梁开裂。 结构工程抗震的新概念已逐步纳入规范,力矩分配法,林同炎与力矩分配法(续,55,力矩分配法,56,十四岁考入唐山交大，十八岁赴美深造。“我的科技基础，全是在祖国奠定的”。 二十岁创造“力矩分配法”，被命名为“林氏法”。当年的硕士论文： “a direct method of moment distribution,” proceeding asce, december 1934 (also trans. asce, 1937, pp.561-605). 设计成渝铁路1000

25、多座桥涵，奠定了工程实践基础,力矩分配法,林同炎与力矩分配法(续,57,8.1 力矩分配法的概念,杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的符号规定：顺时针转为正（无侧移）。 结点力偶、不平衡力矩 转动刚度sab、分配系数aj、传递系数cab,力矩分配法,58,8.2 单结点力矩分配,基本运算： 原结构结点加约束（夹紧，相当于固端，产生固端弯矩和约束反力矩） 放松结点约束（真实状态，相当于加上反向的约束反力矩） 反向约束反力矩由各杆端共同承担（根据各杆端转动刚度分配，再传递给远端） 该方法仅适用于无侧移刚架或连续梁,力矩分配法,59,例1 用力矩分配法计算连续梁的弯矩图，ei = 常数,先约束求反力矩,后放松分配,力矩分配法,60,解：计算固端弯矩（得数写在各杆端下方,计算b结点各杆转动刚度及分配系数,分配系数,b结点不平衡力矩,力矩分配法,61,校核,分配系数写入框内,分配及传递（画出计算图式,力矩分配法,62,作弯矩图（利用所求