双线性函数ppt课件

1、一、双线性函数,二、度量矩阵,10.3 双线性函数,三、非退化双线性函数,四、对称双线性函数,一、双线性函数,设 是数域 上的 维线性空间，映射,1、定义,为 上的二元函数,即对,根据 唯一地对应于 中一个数,如果,具有性质,其中,则 称为 上的一个双线性函数,对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一个双线性函数,注,例1.线性空间 上的内积即为一个双线性函数,2、例题讲析,例2. 上两个线性函数,定义,证明: f 是V上的一个双线性函数,证,例3.设 是数域 上的 维线性空间,令,则 为 上的一个双线性函数,若,则,事实上，或是数域 上任意上的 维线性 空

2、间 上双线性函数 的一般形式,设 为数域 上线性空间V的一组基,设,则,令,则,其中,设 是数域 上任意上的 n 维线性 空间V上一个双线性函数， 为V的一组 基，则矩阵,称为 在 下的度量矩阵,二、度量矩阵,1、定义,命题1在给定基下, 上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间存在11对应,证：取定 的一组基,双线性函数,令,则 与 对应,即 与 在 下的度量矩阵对应,2、性质,且不同双线性函数对应的在 下的 度量矩阵不同,事实上，若 在 下的度量矩阵分别为,且 时,即,则对任意,有,矛盾,反之，任取,对V中任意向量,定义函数,则 f 为V上的一个双线性函数,在 下的度量矩阵即为,命题1 线性

3、空间V上双线性函数空间 与 同构,证：取定V 的一组基,作映射,则 为 到 的11对应,事实上，任取,则,为满射,是V上的一个双线性函数,若双线性函数 但,设,则,为单射,令,易证 仍为V上双线性函数,并且,命题2 维线性空间V上同一双线性函数， 在V 的不同基下的矩阵是合同的,证：设 在V 的基 与 下的度量矩阵分别为,即 A与B 合同,注： 若矩阵 A与B合同，则存在一个双线性函数 及V上两组基，使 在这两组基 下的度量矩阵为,1、定义,设 是线性空间V上的一个双线性函数， 如果从 可推出 则称 是非退化的,命题3 双线性函数 是非退化的 的度量矩阵为非退化的,三、非退化双线性函数,2、性

4、质,证：设双线性函数 在基 下 度量矩阵为,若 对任意 均成立,即对任意 均有,必有,而 只有零解,即 即 非退化,推论： 由 可推出,则 非退化,例、设 定义 上的一个二元函数,1) 证明 f 是 上得双线性函数,2) 求 在基,下的度量矩阵,3、例题讲析,1) 证,所以度量矩阵为,2）解,四、 对称双线性函数,1、定义设 为数域P上线性空间V上的一个 双线性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为对称双线性函数,2、定义设 为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为反对称双线性函数,命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 是对称的（反对称的） 在V

5、的任意 一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的,证：任取V的一组基,则,3、 对称双线性函数的有关性质,同样,定理5设V是数域P上n 维线性空间. 是V上对称双线性函数，则存在一组基 ，使 在这组基下的度量 矩阵为对角形,证：只需证能找到一组基 ，使,1）若 则,2）若 不全为0，先证必有,否则，若 则对 有,所以这样的 是存在的,对 用归纳法,时成立,假设 维数上述结论也成立,将 扩充为V的一组基,令,则,易证 仍是V的一组基,考察由 生成的线性子空间,有 且,把 看成 上的双线性函数,仍是对称的,由归纳假设， 有一组基 满足,故 是V的一组基，且满足,由于,若 在基 下的度量矩阵为对角矩阵,

6、则对,注,推论1 设V是复数域上 n 维线性空间. 为 V上对称双线性函数.则存在V的一组基 对,推论2 设V是实数域上 n 维线性空间. 为V 上对称双线性函数.则存在V的一组基 对,为正惯性指数,定理6 设 为 n 维线性空间V上反对称 双线性函数（即 ） 则存在V的一组基 使,2,4、 反对称双线性函数的有关性质,即 在这组基下的度量矩阵为,证：首先 是反对称的,若 为函数，则 V的任意一组基皆可取作,结论成立,时，若 不是函数,否则若有 则,所以可取适当 使,令 即有,假设维数 时结论成立,将 扩充为V的一组基,则,令,易证： 仍为V的一组基,令,则,于是,由归纳假设， 看作 上,双线性函数仍是反对称的. 于是有,的基 满足（2,由于,都有,故 满足（2,不同双线性函数可能导出同一个二次函数,如：设两个双线性函数 在基,下的度量矩阵为,但可,则 对应的二次齐次函数相同,如,一个对称双线性函数只能导出一个二次型,此即为以前学过的二次型,此时,而二次型与对称矩阵1-1对应,命题3 为V上反对称双线性函数,证,对,为V上对称双线性函数，若 非退化的，则有V的一组基 满足 这样的基叫做V的对于 的正交基