半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场

1、第 23 卷第 3 期声 学 学 报ov l. 3 2 , n o . 32 0 0 7 年 5 月a c t aa c u s t ic am ya , 2 0 0 7半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场 *张碧星(中国科学院声学研究所北京1 0 0 0 8 0)2 0 0 6 年 6月 2 6 日收到2 0 0 6 年 1 1 月 2 1日定稿摘要研究了半无界层状介质 自由表面任意形状的面源产生的弹性波场。 首先, 我们将层状介质 中的传递矩阵理论从二 维推向三维空间, 在频率域研究 了任意面源激发 的三维弹性波理论问题。 然后, 深入 研究 了 r ay lei g h 波和 l o

2、v e 波的激发与传播特性, 发现 r ay le 咭h 波和 l o ve 波的传播速度在与自由表面平行的平面内与传播方位角 0 无关, 但其激发强度却强烈地依赖于 传播方位角 0 。 最后, 我们具体研究了矩形源、 无穷长条形源和圆盘激励 出的弹性波场, 并通过数值计算给出了 r a y lei gh波和 l o ev 波 的位移指向性分布图。pa c s 数:4 3 2 0 , 4 3 . 3 5e la s t ie w va ee x e it e db y a p la n e s o u r e e o nt h es u r fa e eo f a m u lt ilsy e

3、r e d m e d iu mz h a n gb ix in g(爪s t to teof a e o 。 。t 坛e s , th e ch : 。e s e a e a d e m ,of s e 云e o e e sb e jiin g1 0 0 0 8 0 )evr e e e id ju n2 6 ,2 0 0 6a btte las ti w avxeitdybp lanr e v is e d n vo2 1 ,2 0 0 6yh 叩thir afmltil手d md imw ithb itsr a cee seeae s o u r e ea na rra rse o ne

4、sue e oaua吧r eeuh av e b e e ns t u d ie d . a t if r s t , zd e las t ie w av e fi e ld in a m u lt il叮e r e d m e d iu m15 e x t e n d e d t o 3 ds p a e e , a n d t h e p r o p a g a t io no f e las t ie w av e 15 s t u d ie d in t h e fr e q u e n e y d o m a in . t h e n , t h e e x e ita t io

5、n a n d p r o p a g at io n o f t h e r 即le ig h a n d l o v e w av e s a r e a n a ly z e d fu r th e r it 15 fo u n d t h ta t h e p r o p a g at io n v e lo e it y o f t h e r 叮le ig h a n d lov e w av e s d o e s n o t d e p e n d o n t h e p r o pa g a t io n a z im u th 8 in th e p la n e p a

6、r a lle l to t h e rf e e s u r af e e o f t h e m u lt il叮e r e d m e d iu m w h ile t he d is p la e e m e tna mp lit u d e o f t h e r 叮le ig h a n d l o v e w av e s 15s t r o n g ly d e p e n d e nto n t h e a z im u t h 8 . f in a lly , t h e e la s tie if e ld s e x e ite d 饰a r e e t a n g l

7、e s o u r e e , s t r ip s o u r e e w it h in fi n it e le n g t h , a n d e ir e u la r d isk s o u r e e a r e st u d ie d , a n d th e o r e t ie a l r e p r e se tn a t io n a n d n u m e r ie a l r e su lts o f t h e d isp la e e m e n t d ir e e tiv ity d is t r ib u t io n b o th o f th e r

8、叮le ig h a n d l o ev w va e s a r e o b t a in e d层状介质中弹性波的传播在无损检测 (n d t ) 、薄膜检测、 超声成像、 地球物理等领域都是十分重要的研究课题。 传递矩阵法是研究层状介质弹性波传表面一个无限长 的压电条或压电圆盘沿厚度和宽度方向振动时产生的弹性波, 汪承颧 【2”, l0s 等研究了均匀半空间压电晶体表面任意面元激发的声场。 我们知道 , 层状介质是一维结构, 而任意源 在层状介质中的弹性场是一个三维波场, 然而到 目前为止, 所有关于播的一个重要而又有效的方法,大部分研究者都采层 状介质的参考文献研究的都是二维波场,

9、即使是用这 种方法 卜” , 早期的传递矩阵法存在高频有效数三维场,也只是建立在体系具有轴对称性的情况 , 这字丢失现象a b【 和 mk l 提 出了一 种时的波场可以在柱坐标系下严格给出对于处在层状,o 一 z en a , 0e n e , 。避免高频有效数字丢失的方法,后来一些其它方法介质半空间 自由表面上的平面压电源 (例如矩形源)也不 断地被提出 l2 一“7 , 使层状介质中的弹性波理论激励出的弹性波场,还未见到有关的研究报道,这种逐渐地得到了完善。情况下的弹性波场在科学技术快速发展的今天显得在超声 n d t中,通常用一个压电换能器在介质越来越重要,也将是以后的一个重要发展方

10、向,层状表面进行激发,换能器在电信号 激励下沿厚度或宽介质表面任意形状面源激励出的弹性波场研究将为度方向产生振动mli re 【无损检测或其它应用领域提供重要的理论基础。* 国家自然科学基金资助项 目 l( 30 7 4 90 )519 4声学在本论文 中, 我们在 a b o- z e n a o 、 me n k e 川 和 zh an sl g 的基础上 首次研究了层状 介质表面任意形状面源激励的三维弹性波场, 并深入分析了 r ya iel hg 波和 l o ve 波的位移指向性分布函数。1 传递矩阵考虑由 n 层均匀各 向同性弹性固体介质组成的层状半空间。 我们采用直角坐 标系 (

11、x , y , 司, 其 / 轴方向指 向介质内部, / = 0 为第一层 介质的 自由表面 (图 )l , 第 j 层介质处在平面 / = 勺 一 ; 和 / = z , 之间, 其厚度、 纵 波速度、 横波速度和 密度分别用 h , ,岭,vs ; 和 巧 表示 ,为方便, 在不引起混淆的情况下我们将下标 j 省去。学报20 0 7 年其中 k;=、/ 岭, k 3 = 、 / vs , 、 为角频率。引入关 于x和军 的二维傅里 叶变换:j了戈o加了i关 了o叨了产 j 产舟几沪x夕二)=飞/ 价(kk: )e (k+ k) d k d k ,(,/厂一厂二 ,。, “二,例司(, k

12、,;)e , ( “! + “ ”) d k 二 d 无。,x ,y ,=砂k 二灭(x梦: ) =义(kk)() d 儿 d 、,二 ,:。“之 + 无“ “二。,一 (一 c 心(3 )其中 k 二 和 k , 分别为 x 和 夕 方 向的波数, 我们将在波数域 (k二 , k , ) 研究弹性波场。从方程 (2 ) 和 (3 ) 不难得到:( + k :p )必(k ! , k 一, 一 。,月 , 2/ 护_。、_少,戈4)又刁 人厕劝“如 一 。+ “)j+ “:r月全之,2、(“一”一, 一 o ,其中从, 习每而, 一 斌砰邢, 称 = 训买爵可为x o 夸 平面内的波数, 棍;

13、 和 棍, 分别为 p 波和 s 波在i图 1层状介质模型由下式引入 位移势纵波) 、劝(s v 波) 和 斌s h:方向上的波数。从而, 位移势可表示为:苗劝义xk棍二, k , , z ) = a e 儿 ; + 刀。一 k 二 “二,k , , 之) = e k 二 + d e 一 , k 二 , 无、 , 之 ) =刀e “ 二 “ + f e 一 火二 = 价+ + 沪一 ,= 劝+ + 劝一 ,(5 )= 义+ + 义一波 )v 价+ vx(灭e 二 ) + vxvx(劝e : ).(1 )在频率域位移势满足:这里,价+ , 劝+ 和 x + 表示沿: 轴正方 向传播的波, 而扩

14、,劝一 和 x 一表示沿 : 轴负方 向传播的波。定义下述位移 一 应力矢量 s 和位移势矢量 毋了/、ti u ,u ,t , ,丁, , u ,l _丁, ,(vz + k勇)功二 0 ,(甲2 + k 了)灭 = o ,(v z + k 彗)劝二 0 ,s =几丁毋l二lx一补饰夕(甲 一 1 )户(守一 l )一 脚补lx门补lxl。l、一 脚介l,一用知l。(2 )一 lx 守,1一户勺守。户(守 一 l )lx一 l。甲占户(守 一 1 )l,”一 气渝舒示,示,渝求少一 )e(一,一 ,+,一,一(,(护沪、 k、 “扩、.l)不难发现:(7 )l。l。00产,oo价守(8 )户

15、(守 一 1 )l二一刃守,l, / 2脚守3 2, / 2l,守,一l,一 l,户(守 一 l)l,脚, j i二 / 2一用守。 l二 / 2其中,=2 嵘/ 心,补一 办异五万/rk, 一、撅不可/ tk,k : p二ki 二 孙, 棍。 = 呱 守, , l二 二 无二 / 林, l, = 无, / 丸二 ,z呈十 l蓦 1 。 方程 (s) 表明三维空间的弹性波场比二维时复杂得多 。, “ , 9 , 2 1 。如果波是沿着 x轴传播 (l 。 = 0 , z二 = l) , 那 么3期张碧星: 半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场1 9 51一守p)l_ 。p(几呱 =m iv

16、 一 妙=守一,一户勺饰00这里 几么 即 为二维情况下相应的矩阵 l0 可以发现:m = a m 6,、/lx0o01上0o 0一 l。0o一z.1了龟、刀、,.1、与lx01饰户(年 一 1 )不均守p00, 1 1 , 1 ”, “l(1 0 )甲“100r飞o0一户勺守s户守守s009户(守 一 l ) 户(守 一 1 )00( )00一 1一10o用守,/ 2一用守s / 2保持不变, 而 (二二 , 二。) 和 (几二 , 几 、) 由绕 : 轴旋转角度 。 = t an 一 (l, / l二 ) 的旋转矩阵相联系。 因此逆矩阵a 一 l 表示绕 : 轴旋转角度 一。 的变换。.口

17、了龟/.0 0o0o0、 0o一0上lx与勺几 lx乙口,(1 1 )01 o00o00v0000。一 1 =010o一o0oolx几与xl(1 2 )o0军o000夕这 表明矩阵 m 能够 由 从b 通过 绕 :轴旋转角度a和 a 一 与介质参数无关, 只依赖于旋转角度。a 二 t an 一 1 伪/ l二 ) 而得到, 在这个变换中,。二 和 爪 :从而逆矩阵 m 可 表示为:m 一 = 从厂a 一 生上p2知(13 )2守一守 一 1110o2 补一2 用p年守 一 1122为2用p甲 一 1守1呵于1 =2守s22 门s2 p1 4)守 一 1一11(02甲2 守s2 用s2 p11q

18、,土户勺守s1卿子 守s不难发现()()( )从而,在 := o 和 / 二 : n 一 l 处的位移 一 应力矢量由式联系毋 勺= 入毋 勺一 i,15下:其中:s:一 1)z 、一 1 , : 。: 0)(、= p() (=s;。 . (19 )入 = d ia g 只 p 一 1 ,q , q 一 1 , q ,q 一 1 ,。 “、一 1 ,: 。 a 一 15()叩 ()( )p = 。 一、 称h , q =。 一、称h ,h 二 勺 一 勺 一 卜因此,s (之, )= m 毋(: , )= m 入毋(勺一 1 ) =m 入ms ()二 p (勺 )s (勺 ) (16 )一 z

19、,一 1;,一 1一 1,p (勺 , 勺 一 1 )= m 入m 一 = a p 。(勺 , 勺 一 l )a 一 ,(2 7 )p 。(勺 , : , 一 1 )= m0 入m j i .(15 )其中州勺 , : ; 一 : ) 和 po (勺 , 勺 一 1 ) 分别为三维和二维情况下的传递矩阵,方程 (1 7 ) 对于层状介质中的任意两点都是有效的。传递矩阵 p 。(勺 , 勺一 1 ) 是一个准对角矩阵, 然而,在三维情况下,传递矩阵 叫:, , 勺 一 1 )不再是一个准对角矩阵。2 位移场当 / 趋向无 穷大时波场应趋于零,这表示第 n层介质中不存在沿负 : 轴传播的波,因此:

20、价+0砂+ k 二 二一 , : 。: 。) =0二 几蝠 p (、)s (2 0 )x +oz = 名 n _ l + 0 。 :一 1 ,: 。一 ,(0m )凡p( 、)as (句)19 6为方便,我们引入w一 “一 一二二+,u ,z之“ 一,l廿几, 一 (,lltik ,k 二 公2一.,一,、 tlz( )芝卫l如竺l 红卫里生 、竺二二二丝全三三当二丝生石 , 2福冬;,2/1,一二 , ,孟胃和 o:一 : ,:。h 二 (0m )凡p(,)(2 2 )学2 0 0 7 年着 p一 sv 和 sh 波, 方程 (02 ) 表明:(; 淤5 )(淤)声洪6)淤)一 (24 )矩

21、阵 h 能够表示为:.sewl了slew.、i 4/0.,0。0ho0、1上工土从场hl崛如成 slh崛成s6hh 2 4oh340h =4h 40(2 3 )05h506h5矩阵 h 的意义和二维情况下相同,/、犁一砂酬望卫职酬0一.飞召、了/ lw哄 /、夕.一o0一成崛可以证明 l , 例:/、户、.、了/了矛/、lr、饥眺、肠和?夕这里 从只三 4 , j 兰 4 ) 和 从。(乞4 , ,4 ) 分别对应箭带望酬一影嵘一 会,;影xl其中月l) , 宾l) , 宾l) 和 属, , 的意义见文 献 1 1献 19 . 因此由 (21 ) 式可以得到:竺互三耐沪/、了、.,(2 6 )

22、了域1)十几6、,l 一工二二一 .乙,一, 二二、只玉月6 51一、 o/分母为属, 和 场。 的矩阵元分别对应着 p一 sv 波和sh 波。如果弹性场是由自由表面上的应力分量 几:激发的,那么:黔()j7粉2、,.了u7肠 。万 一之名勿劣之这时 p 一sv 场和 s h 场都存在。 在得到自由界面上的位移应力分量后, 由传递矩阵就可得到任意一点的位移应力分量, 由于篇幅的限制, 以下只讨论 / 二 0面上 的位移应力分布, : o 时的位移应 力分布具有类似的结果。3 场的空间分布首先, 我们考虑 几二 激发的情况, 由 (2 7 ) 式, 自由表面 : 二 o 上的位移分量在空间域可写

23、为:这时只有的, 那么:j、.里了u廿 名工材甘p一 sv如果场是由应力分量 几 二 激发厂望, 2、 塑12 、壳r戈畔,场5 一 丫丁几 ,了瓦凡、尽二)16、典二 ,=十-(2 8)l 一 一六二二二/珍、凡 ,月6 5k 二 砚,一i 、 2 或1 ) xl 几x ,越兰豁刀二j) z二 几二 e i ( 儿 +无“ 夕) d k 二 d k 、,硕wmj寻l。几二 e i( 人二 + 儿 夕) d 无二 d 无, ,坷艺争几之 e i (k + k y ”)d 无, d 丸、(2 9 )3 期张碧星:半无界分层介质表面任意面源激发的弹性波场19 7在极坐标下表示则更为方便二址(洲了

24、, 、二(“一 、)、(一 , d 、毛r冬2 刀 、l )/。s“,二了兰一, 21。(、1 )如认,户州 6u一 、了争d 天了二(凡一, 5 1“r r c 。甲一 “d 一o八07; 却“明了,、.一 、了军d 无j (、一, “r 个 c “s ( 一“d 沪,其中 (0)和 恤司分别为空间域和 波数域 中的坐和 l ove波) 的各个模式为以下的分析方便: ,r ,。,03) 式中包含了纵波横波和导波(yaiel30的改coco 即标 在 (g hk一。、r将 ()式对r积分为从到,:。二 (: ,。(: ,二二 (, ,巾砂谁ijso产二,r c s二 ,产j r。)一 扁/v

25、o s 沪d 钾 /玲一减 爪 (k 二口+ 钾)e 无od 无一)一i 沪d沪 厂鲜黑 爪(0)甲d 、(3 1 )。s n砚二k+ 沪 e k乡嵘二二 ,子 “0 二,j石么产一 一.j 仪夕厂。一s户嵘砚) 二二 ,无r c o s 二 .)赤 d 护砚,几(k0 +沪)ed 天这一推导过程可参见附录 1 。: 二 0 上的位移空间分量由 (2 5) 式进行类似的推导过我们再来考虑几二 激发 的情况,这时自由界面程可 以得到:二二 (: , 0 )=二。(: , 0 )=1j 广下瓦)l_侧/。沪11首 ()一d 沪+五 c o s以+ 沪一 二 / 2众 l石6二/ 2c 。s (。、

26、 、)s in (。、 、)d 、 /共 /甲一jj一 二 / 2从。(1。()石拼s in ) 卖0 +爷无几二 k 二 , 0 +钾 e , 凡 ” r c 。 ” 沪 d k 二 , 1 6 5(霎j j、)(,李; 二 (*一二二 , 。+ 、 id “一32力6的/一。二 (: , 8 )=i公2二 / 2一(“+ 、)d 、 fe 二)_。f二凡: 几 (口 + 沪, “伍 比 甲kd 二,一 / 2剪4 导波(31 ) 和 (32 ) 式中的 无r 积分 (从 一 co 到 o ) 沿着无二 平面上的实轴, 如果用 f 表示 (31 ) 和 (32 ) 式中的被积函数, 我们在实

27、轴和上半平面上构筑一个围道积分rfd“ +fd k二 ,并令 r丹 co,心 升 oc,了一 rcf尺如果j了二生4oc o(3 3 )以 fd kc厂,那 么, 与实轴和上半平面内极点对应的各个模式对弹性波场的贡献就可 由极 点的留数给出。 这里, 我们只 讨论处在实轴上对应于 导波的极点的贡献, 这些导波又可分为 r ay lei gh 波和 l o ve 波, 它们分别属于p 一s v和 s h 波。一般情况下, 由于位移场积分函数中包含指数因子 e k r r “ 0 5 甲 帅 任 卜二/ 2 , 二/ 2), 从而条件 (3 3 ) 式自然得到满足, 事实上, 有限大小的声源激发的

28、声场在空间是收敛的。在几二 激发下, 只 有 p 一sv 波 场 存在, 这时r ya iel g h 波位移由相应极 点的留数给出:19 82 0 0 7 年二 介(: , 0 )二。舒(r , 0 )=t7,巾z2t叮耐佗2砚/.卜,几(k0 + 甲)e o s 沪e 儿d 爷嵘可川:, r c o s,、 z a 砚)/ a 、砚几ko + 沪s in 沪e , 无沪d 沪诚矛 ):(二 ,)rr c o s,、,。砚 / 。k二(3 4 )门 n,_ :。2。 (l)r c o s, l,_ 一一了1 1 几,j山 匕爪:k二 ,0+,d 沪,、一je i 无甲注t l lj(树“ 火j一,户一万不刃,一一2人/ 月 乙r胃月尸 戈 j口召6/口丹这里,k r 不再是积分变量,而是一个与频率有关的量,具下式来确定:体由成, =o ,(3 5)上式即为 r ya iel g h 波频散方程,与波的传播方位角e 无关, 这 表明 r ya iel g h 波的频散特性不 依赖于传播方位, 然而 r ya iel g h 波的位移却强烈地依赖于传7t无莽砚, , 派长砂户。几二 (k 二 ,、 2 。砚/ 。、7t k 尹砚)几二 (k 二 ,、z a 万;/ 。、播方位。 在二维面元激励下 , 在不同方位