苏教版六下数学第四单元比例教材分析

1、【第四单元比例】本单元的教学内容是：图形的放大与缩小，比例的意义与性质。两个内容分别属于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。在一个单元里同时教学两个领域的知识，这样的教材很少遇到。本单元把图形的放大与缩小、比例的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。图形放大或缩小的过程中，大小变了，但形状与结构都保持不变，比例能够准确地揭示图形放大或缩小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。比例是表示两个比相等的式子，这个相当抽象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念。全单元编排七道例题，具

2、体安排见下表：例1、例2 图形放大与缩小的含义 在方格纸上把图形放大或缩小例3 比例的意义例4 比例的性质例5 解比例例6、例7 比例尺的意义 比例尺的实际应用从表格里可以看到，图形放大与缩小、比例的意义，这两个知识的教学靠得很近，能充分发挥它们互相利用、互相支持的作用。把比例的性质和解比例结合起来教学，能及时应用比例的基本性质，并且解决有关的实际问题。把比例尺及其应用编排在本单元教学，是因为它和图形的放大与缩小有联系，和比例也有联系。如果把一片地面看作一个图形，那么从地面到它的平面图相当于图形的缩小，从平面图到它对应的地面相当于图形的放大。比例的意义和性质一直是小学数学的重要内容，已经积累了

3、许多教学经验。图形的放大与缩小是本世纪进入小学数学的内容，它的教学方法需要教材和教师共同创新。（一） 选择有利于形成正确概念的实例，教学图形放大与缩小数学里图形放大与缩小的含义，和生活中的放大、缩小不是完全相同的。生活中往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作缩小。数学里的图形放大与缩小，它的每一条边都按相同的比变化，即所有边的长度都放大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一。所以，教学图形的放大与缩小，必须选择数学含义鲜明的素材，使学生形成正确的、图形放大与缩小的概念。例1教学图形放大、缩小的含义，呈现在电脑上放大长方形图片的现象。给出的第一幅照片是放大前的长方形（长8厘米、宽5厘米），第二幅

4、照片是放大后的长方形（长16厘米、宽10厘米）。先利用给出的数据，分别研究长方形放大后与放大前长的关系、宽的关系，从“倍”的角度和“比”的角度，描述图形的变化。然后联系长方形放大的事实，揭示图形放大的含义。教材依次讲了三句话：第一句是“长方形的每条边放大到原来的2倍”，这是对长放大到原来的2倍，宽也放大到原来2倍的概括。第二句是“放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是21”，用比描述图形放大时边的长度变化。这里把放大前、后两个长方形的长称为对应边，宽也称为对应边，必须把放大后图形的边的长度作为比的前项，原来图形的边的长度作为比的后项。第三句是“把原来的长方形按21放大”，让学生体会由于放大后

5、与放大前两个长方形对应边的长度关系是21，因而把这样的图形放大说成21，示范了规范表达图形放大的语言。从教材讲述长方形放大的数学含义，可以看到概念的关键是图形变化后与变化前对应边的长度比。所以，安排学生研究两张照片的“长有什么关系”“宽有什么关系”时，要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的几倍，写出第二张照片和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把第一张照片的长度和第二张照片比，以免对新概念产生干扰。关于图形缩小的概念，在初步认识图形放大的基础上，引导学生进行迁移，主动体会图形缩小的含义。通过回答“豆荚”卡通的问题“如果要把原来的图形按12缩小，长和宽应该是原来的几分之几？各是多

6、少厘米？”，理解图形按12缩小，缩小后长方形的长是原来长方形长的1/2，缩小后长方形的宽也是原来长方形宽的1/2，初步形成图形缩小的概念。例题先教学图形放大的含义，再教学图形缩小的含义。课堂上还要把图形的放大与缩小综合起来，帮助学生形成完整的图形变化的认识。可以让他们比一比，图形按21放大和图形按12缩小的含义，理解图形放大与图形缩小在概念上的不同。可以让他们比一比，表示图形放大的21和表示图形缩小的12，理解两个比的前项都是变化后图形的长度，后项都是变化前图形的长度。比的前项大于后项，表示图形放大；比的前项小于后项，表示图形缩小。图形放大或缩小，必须是每一条边的长度都按相同的比变化。练习六第

7、1题为加强图形放大、缩小的概念而设计。方格纸上的图形长6格、宽2格，图形长3格、宽2格，图形的长和图形的长的比是12，宽的比是11，两个比不相同，图形不是图形缩小后的图形。图形长3格、宽1格，图形的长和图形的长的比是12，宽的比也是12，图形是图形缩小后的图形。同样的原因，图形不是图形缩小后的图形。图形的长9格、宽3格，图形的长和图形的长的比是32，宽的比也是32，图形是图形放大后的图形。（二） 画出一个图形放大或缩小后的图形，进一步体会图形放大与缩小的含义例2要求在方格纸上画出一个长方形按31放大后的图形以及按12缩小后的图形。画图前需要理解31和12的含义，从两个比得出长方形长、宽的长度变

8、化，这就加强了图形放大、缩小的概念。“利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大和缩小”是课程标准的要求，因为方格纸上能直观显示每条边的变化情况，操作比较方便。例题问“放大后的图形长和宽各是几格？缩小后的图形呢？”引导学生先理解表示图形放大和缩小的比的含义，确定放大（缩小）后图形的长与宽，再画出放大（缩小）的图形。教学这道例题，要把力量放在放大、缩小后图形长多少、宽多少上，让学生说说自己的思考，实现例题的编写意图。观察原来的长方形、放大后的长方形、缩小后的长方形三个图形，发现它们的大小不同，形状相同。要再次体会图形放大或缩小，所有边的长度都按相同的比变化。“试一试”要求在方格纸上画出一个直角三角

9、形按21放大后的图形。原来三角形的两条直角边分别长4格和1格。通常的画法是先画出放大后三角形的两条直角边，一条长是8格，另一条长是2格，然后连线围成一个三角形。教材要求学生量一量放大后与放大前三角形斜边的长度，引导他们发现放大后的斜边长度也是放大前斜边长度的2倍，再一次体会图形放大，它所有边的长度都按相同的比变化。练习六第2题，要求先按21的比画出给定正方形放大后的图形，再按12的比画出给定长方形缩小后的图形。这道题除了画图以外，还有两点可以利用：一点是比较21与12这两个比，进一步体验图形按21放大和按12缩小的含义。另一点是分别比较正方形与它放大后的图形、长方形与它缩小后的图形，从正方形放

10、大后仍然是正方形，长方形缩小后仍然是长方形，体验图形放大、缩小，只改变其大小，不改变其形状。（三） 以图形放大与缩小为素材，教学比例的意义表示两个比相等的式子叫作比例。教学比例的意义，要找到比值相等的比，而且把两个比值相等的比写成等式。教材联系图形放大与缩小教学比例的概念，写出的比以及比值有现实的含义，两个比组成的等式有具体意思可以解释。在现实背景下，学生理解比例的意义能够容易一些、深刻一些。例3呈现把一张长方形照片放大的情景，分别给出了放大前长6.4厘米、宽4厘米，放大后长9.6厘米、宽6厘米这两组条件。根据图形放大的含义，学生能写出长方形照片放大后与放大前长的比、宽的比，知道这两个比的比值

11、相等。例题没有要求他们写已经熟悉的比，而是写出每张照片长和宽的比。由于学生对每张照片长和宽的比不太了解，所以有研究这两个比，理解含义和发现比值相等的活动空间。他们会像三个小卡通那样，分别写出照片放大前长和宽的比6.44，照片放大后长与宽的比9.66；算出这两个比的比值，发现两个比的比值相等，都是1.6；理解比值1.6表示照片的长是宽的1.6倍，体会到长方形照片放大，它的长与宽的比的比值不变。这些都是对图形放大的新认识，也是学习比例意义的可用资源。上面写出的两个比的比值都是1.6，表示两个比相等。教材说：“这两个比可以写成等式6.449.66或者写成6.4/49.6/6”，指出“表示两个比相等的

12、式子叫作比例”，突出比例是两个比值相等的比组成的等式。这一段教学是例题的重点，学生从两个相等的比写成等式，明白这样的等式是比例，意义建构了比例的概念。接着，教材要求分别写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这是学生很熟悉的比，还知道这两个比相等。联系刚学习的比例意义，作出这两个比能够组成比例的判断，并且写出组成的比例，这就消化了比例的意义，内化了比例的概念。“练一练”第1题给出四组比，如果同组两个比的比值相等，就可以组成比例；如果同组两个比的比值不相等，就不能组成比例。让学生进行这些判断，也是为了巩固比例的概念。除了图形放大与缩小，常见的数量关系中也能找到比例。“练一练”第2题，所有商品一律八

13、折出售，任意一件商品现价与原价的比的比值都是0.8，利用给出的四件商品的原价与现价，能够组成比例。题目要求“从中选择两组数据，组成一个比例”，应该理解“两组数据”在这里指的是什么，体会每一件商品的原价与现价就是“一组数据”，两件商品的原价与其对应的现价就是“两组数据”。练习六第3题，一辆汽车上午行驶的路程和时间的比与下午行驶的路程和时间的比，能够组成比例。因为上午与下午行驶的速度相等。上午和下午行驶的路程比与上午和下午行驶的时间比，也能组成比例。因为上午行驶路程是下午行驶路程的倍数，与上午行驶时间是下午行驶时间的倍数相等。第6题，行驶的路程与时间的比，在速度相等的前提下，能够组成比例；铅笔总价

14、和数量的比，在单价相等时能组成比例。正方形周长和边长的比一定能组成比例，因为比值总是4（四条同样长的边）。正方形面积和边长的比一定不能组成比例，因为两个边长不同的正方形，面积与边长的比不相等。教材联系常见的数量关系认识比例，以丰富的素材，加强对比例的理解，也为以后教学正比例作些铺垫。练习六的后面编排一次“动手做”。先观察两幅图，左图中的两个长方形之间有放大与缩小关系。如果着眼于大长方形，它的每一条边都缩短至原来的1/2，大长方形按12的比缩小成小长方形；如果着眼于小长方形，它的每一条边都延长至原来的2倍，小长方形按21的比放大成大长方形。右图中的两个平行四边形之间也是放大与缩小关系。如果着眼于

15、大平行四边形，它的每一条边都缩短至原来的1/3，大平行四边形按13的比缩小成小平行四边形；如果着眼于小平行四边形，它的每一条边都延长至原来的3倍，小长方形按31的比放大成大平行四边形。然后要求照（上面的）样子分别把三角形和四边形按21的比放大。这次“动手做”让学生在画图实践中，深入体验图形放大、缩小的含义，深入体验图形放大、缩小是因其边的长度变化而发生的。学生能否画出放大后的三角形和四边形，关键在于能否从长方形、平行四边形的放大中习得延长图形边的操作方法。所以，观察两个长方形，应重点关注小长方形放大成大长方形，大长方形的边是怎样画的，观察两个平行四边形，要关注把小平行四边形放大成大平行四边形，

16、边是怎样画的，并且把这些画法应用到放大三角形和四边形上。（四） 在图形缩小或放大的情境中，发现并应用比例的性质教学比例的性质，能够更好地理解比例的意义，还能解决有关的实际问题。例4教学比例的性质，大致分五步进行：第一步，在按比例缩小三角形的情境里写出一些比例，为研究比例的基本性质准备充分的素材；第二步，教学比例的内项和外项，这是认识比例性质必须具备的概念；第三步，观察已经写出的几个比例，初步发现这些比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积；第四步，再写出一些比例，看看是否具有同样的规律，并在字母表示的比例上概括这样的规律；第五步，指出发现的规律是比例的基本性质，并在写成分数形式的比例上体会比例的

17、性质。把三角形按比例缩小，根据图形缩小的含义，联系在例1和例3里习得的经验，可以想到缩小后与缩小前两个三角形底的比和高的比相等，或者高的比和底的比相等；还可以想到缩小前、后每个三角形底与高的比相等，或者高与底的比相等。于是，交流中出现四个不同的比例。教材指出“组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。”并且选择一个比例，指出6342里，3和4是比例的内项，6和2是比例的外项。还要求学生说说其他三个比例的内项和外项各是几，掌握比例的项的知识。观察四个比例，能够发现，6和2总是同时做比例的内项，或者同时做比例的外项。3和4也是同时做比例的外项，或者同时做比

18、例的内项。如果6和2是比例的内项，那么3和4是比例的外项；如果6和2是比例的外项，那么3和4是比例的内项。从而体会这四个比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。除了这四个比例，其他比例也是“两个内项的乘积等于两个外项的乘积吗”？可以再写出一些比例来验证，检验前面四个比例里的规律是不是具有普遍意义。尽管，小学数学只能选择一部分比例来验证，但也体现了严谨的学习态度。通过比较丰富的实例，可以确认“两个外项的积等于两个内项的积”是所有比例的共同规律。把比例用四个字母表示成abcd，比例的两个外项的积等于两个内项的积可以写成adbc。教材用字母式子表示这个规律，出于两点考虑：一是符号化能够提升对比例性

19、质的概括程度。这里四个字母组成的比例代表所有的比例，字母表示的两个积相等，是所有比例的共同性质。二是有利于应用。以后解比例，都要根据比例性质写出两个外项相乘等于两个内项相乘，才能继续求解，应该让学生学会这个写法。“试一试”应用比例的基本性质，判断3.61.8和0.50.25能否组成比例，1/31/4和1824能否组成比例。在教学比例意义时，判断两个比能否组成比例，要看它们的比值是不是相等。而这里应用比例性质进行判断，思考线索应该是：如果这两个比能组成比例，那么3.60.25的积会和1.80.5的积相等；如果这两个比不能组成比例，那么3.60.25的积与1.80.5的积不相等。所以，解决这个问题

20、要分别计算3.60.25和1.80.5，并比较两个积的大小。至于组成的比例，可以是3.61.80.50.25，或者是0.50.253.61.8。“练一练”是“试一试”的延伸。第1题中一列火车从甲城开往乙城，在行驶速度与相应时间的三组数据中选择两组，写出一个“速度时间=速度时间”的式子，并改写出一个比例。这道题与“试一试”是“接轨”的。第2题要求在（）6=4（）和5（）=（）8的括号里填数，可以有多种思考。这里应突出“根据比例的基本性质”，想“几与几相乘的积是24”，找到前一个比例的两个外项；想“几和几相乘的积是40”，找到后一个比例的两个内项。练习七第2题给出四组数，每组四个数。要求先判断哪几

21、组中的四个数可以组成比例，再把组成的比例写出来。如5、7、15和21这四个数，由于521715，所以这四个数能够组成比例。5和21可以同时做比例的外项，7和15同时做比例的内项；5和21也可以同时做比例的内项，7和15同时做比例的外项。一共可以写出8个不同的比例。对于每一个学生来说，只要求正确写出一个比例，并在交流时知道还能写出其他比例就可以了，不必要求每个学生都写出8个比例。（五） 应用比例的基本性质解比例，解决有关图形放大或缩小的实际问题例5创设照片放大的情境，给出原来照片的长和宽，以及放大后照片的长，要求放大后照片的宽。解决这个实际问题涉及两个内容：一是根据图形放大的含义列出含有未知数的

22、比例，二是利用比例基本性质解比例。教材通过“玉米”卡通的问题“你是怎样理解按比例放大的？两张照片长与宽的比能组成比例吗？为什么”给学生以思路的引导。从图形放大的意义，引出长与宽的比组成的比例；从比例里有一个未知项，教学解比例。根据“两张照片的长与宽能组成比例”，得出模型“放大前的长宽=放大后的长宽”。这个比例中，三个项是已知数，一个项未知，因此设放大后的照片宽x厘米，列出比例6413.5x。这个比例也是一个方程。教材写出了解方程的第一步6x413.5，让学生思考“这一步计算的依据是什么”，理解这里应用了比例的性质，体会比例性质可以用来求比例中的未知项。接着的解方程没有新知识，交给学生独立完成。

23、教材告诉他们，求比例中的未知项叫作解比例。“试一试”和“练一练”都是解比例的专项练习。因为用比例解决实际问题离不开解比例，解比例应该成为学生的计算能力。“试一试”解写成分数形式的比例，帮助学生进一步熟悉比例的外项和内项。要留心学生是怎样应用比例性质，并写出两个外项相乘等于两个内项相乘式子的。“练一练”解的三个比例分别由整数组成、分数组成和小数组成，分别需要应用整数、分数和小数的乘、除法计算。教材没有出现由分数和小数组成的比例，因为小学数学不要求进行小数和分数的乘、除计算。练习七第5题要求“根据比例的基本性质”写出比例中的某个未知项，第6题要求“解比例”，这是教材的有意安排。显然第5题是为第6题

24、作准备，为解比例打基础的。加强对比例基本性质的理解，有助于解比例的顺利进行。完成第6题后再回顾第5题，对比例性质可以解比例的体验就深刻了。应用解比例不仅能解决图形放大、缩小的问题，也能解决其他情境的实际问题。练习七第8题，解决调制蜂蜜水应加入多少蜂蜜的问题，第9题解决合唱组男生和女生的人数问题。这些问题以前曾经用其他数学知识解答过，现在应用比例性质解答，体现出解比例有广泛的实际应用。（六） 以图形放大与缩小为认知基础，教学比例尺平面图是把现实的物体形状按一定的比例缩小绘制而成的。从平面图想象物体的实际形状相当于把图形放大，比例尺刻画了平面图和实际的物体形状之间的缩小和放大关系。本单元教材在图形

25、放大与缩小的基础上教学比例尺，学生有比较好的认知背景，他们在理解比例尺知识的同时，形象思维也能得到很好的发展。例6主要教学比例尺的意义和表示形式。教材创设了把长50米、宽30米的长方形草坪按比例缩小，画成长5厘米、宽3厘米的平面图的情境，唤醒学生头脑里图形缩小的知识经验。例题要求分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比。首先要识别图上距离和实际距离，懂得平面图上边的长度是图上距离，草坪上边的长度是实际距离。其次应理解要写出哪两个比，一个是平面图的长和草坪实际长的比，另一个是平面图的宽和草坪实际宽的比。然后要统一图上距离和实际距离的长度单位，使用相同的单位便于写比和化简比。有了这些思想准备，写

26、比就顺利了。统一图上距离和实际距离的长度单位，可以把实际距离50米改写成5000厘米，也可以把图上距离3厘米改写成0.03米。只要图上距离和实际距离的长度单位相同，都能写出比。但是，写出的都不是最简单的整数比，都要化简。通过交流，体会把实际距离改写成厘米作单位的数量，写出的是整数比，化简较方便；把图上距离改写成米作单位的数量，写出的是小数比，化简较麻烦。由此得到经验，通常应使用图上距离的长度单位来组成比。例6的教学重点是比例尺的概念。教材指出，图上距离和实际距离的比叫作比例尺。由于学生已经两次写出这样的比，所以建立比例尺的概念是感性认识的抽象提升。教学应该强调两点：首先，比例尺是一个“比”，比

27、的前项是图上距离，后项是实际距离。其次，比例尺应该是最简整数比，前项一般化简为1（本单元不涉及前项不是1的比例尺）。教材讲解比例尺的意义时，还用数量关系式表示比例尺的含义和计算方法，同时出现“图上距离实际距离比例尺”和“图上距离/实际距离比例尺”两种形式的式子。学生可以根据这两个数量关系式理解和记忆比例尺的意义，并根据这两个关系式求平面图的比例尺。比例尺除了写成比的形式，还经常用线段的形式表示，就是平常说的“线段比例尺”。一般来说，写成比的比例尺（下面称为数值比例尺）容易表达图上距离和实际距离的倍数关系，即图上距离是实际距离的几分之一，实际距离是图上距离的几倍。画成线段的比例尺以“平面图上1厘

28、米的长度表示实际距离若干米（或千米）”的形式出现，能直观地表示图上距离和实际距离的关系。教材从数值比例尺11000引出线段比例尺，先解释这个比例尺表示的意思，要学生说出图上距离是实际距离的1/1000，实际距离是图上距离的1000倍，消化对比例尺11000的认识。然后从图上距离和实际距离的倍数关系，得出图上距离1厘米表示实际距离10米（1000厘米10米）。如果用线段表示这个比例尺，就是图上长1厘米的线段表示实际距离10米，图上长2厘米的线段表示实际距离20米，图上长3厘米的线段表示实际距离30米这就是线段比例尺。两种形式的比例尺是相通的，可以互相转化。“练一练”第1题的每一幅平面图上都有两种

29、形式的比例尺，让学生分别解释数值比例尺和线段比例尺的具体含义，能体会它们的内在联系，感受它们的相互转化。如根据比例尺1可以知道图上距离1厘米表示实际距离厘米（22千米），就能画出线段比例尺；根据线段比例尺图上距离1厘米表示实际距离15米（1500厘米），写成数值比例尺就是11500。第2题中，荷花村到杏树村的实际距离是15千米，图上距离是3厘米。如果写出数值比例尺是3，化简为1；如果画线段比例尺是图上距离1厘米表示实际距离5千米。（七） 应用比例尺的意义，灵活解决求图上距离和求实际距离的问题根据平面图的比例尺，可以把图上距离换算成实际距离，也可以把实际距离换算成图上距离。虽然这两种换算的方向相

30、反，却都要遵循比例尺的意义。例7已知图上距离，求实际距离，教学换算的原理；“试一试”已知实际距离，求图上距离，引导学生创造性地应用换算的方法。教材的编排，既体现了教对学的主导作用，也体现了学的主体地位。例7呈现一幅表示明华小学、少年宫、体育馆相互位置关系的平面图，比例尺是18000。已知明华小学到少年宫的图上距离是5厘米，求实际距离是多少米。进行图上距离和实际距离的换算，关键在理解比例尺的具体含义。根据给出的比例尺18000，学生中会有不同的思考。有人像“萝卜”卡通那样想到实际距离是图上距离的8000倍，于是用58000计算实际距离。有人会像“蘑菇”卡通那样想到图上1厘米表示实际距离8000厘米（80米），图上5厘米表示实际距离5个8