高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲 理 苏教版

1、数学 苏（理,14.1几何证明选讲,第十四章 系列4选讲,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 在一条直线上截得的线段 ，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 . (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成,平行线,相等,相等,比例,2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 两角对应 的两个三角形 ； 两边对应成 且夹角 的两个三角形 ； 三边对应成 的两个三角形,相等,相似,比例,相等,相似,比例,相似,2)相似三角形的性质定理 相似三角

2、形的对应线段的比等于 . 相似三角形周长的比等于 . 相似三角形面积的比等于,相似比,相似比,相似比的平方,3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于，斜边上的高的平方等于. 4.圆中有关的定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数,该直角边在斜边上的,射影与斜边的乘积,两条直角边,在斜边上的射影的乘积,一半,它所对弧,3)切线的判定与性质定理 切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 的直线是圆的切线. 切线的性质定理 圆的切线 于经过切点的半径. (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长,垂直,垂直,相等,5

3、)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 . (6)相交弦定理 圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积 . (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积,一半,相等,相等,8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的 . (9)圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形判定定理 ()如果四边形的对角 ，则此四边形内接于圆； ()如果四边形的一个外角 它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,等比中项,互补,等于,圆内接四边形性质定理 ()圆内接四边形的对角 ； ()圆内接四边形的外角 它

4、的内角的对角,互补,等于,9,4,解析,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：ABCFCD,题型一相似三角形的判定及性质,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：ABCFCD,题型一相似三角形的判定及性质,证明DEBC，D是BC边上的中点， EBEC，BECD，又ADAC， ADCACD， ABCFCD,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEB

5、C，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：ABCFCD,题型一相似三角形的判定及性质,1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：ABCFCD,题型一相似三角形的判定及性质,解析,思维升华,2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角

6、形的性质证明,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,解析,思维升华,解过点A作AMBC，垂足为点M， ABCFCD，BC2CD,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,又

7、SFCD5， SABC20,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,解得AM4,解析,思维升华,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,解析,思维升华,1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，

8、就要证明三边对应成比例,2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明,例1如图，已知在 ABC中，点D是 BC边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若SFCD5，BC10，求DE的长,解析,思维升华,跟踪训练1如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，DECA，且交BA的延长线于E，求证：EDCDEABD,证明在梯形ABCD中，ABDC， ABCDCB. 又BCBC，ABCDCB. BACBDC,跟踪训练1如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，DECA，且交BA的延长线于E，求证：EDCDEA

9、BD,ACED，ADBC， EBACBDC，EADABCDCB， EADDCB,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,解在ABC中，设AC为x， ABAC，AFBC. 又FC1，根据射影定理,得AC2FCBC,即BCx2,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,再由射影定理，得A

10、F2BFFC(BCFC)FC,即AF2x21,在BDC中，过D作DEBC于E. BDDC1,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,又AFBC， DEAF,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,解析,思维升华,例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB

11、AC，AFBC，BDDCFC1，求AC,题型二直角三角形的射影定理,1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”. (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法,解析,思维升华,跟踪训练2如图所示，在ABC中，CAB 90，ADBC于D，BE是ABC的平分线， 交AD于F，求证：,证明由三角形的内角平分线定理得,跟踪训练2如图所示，在ABC中，CAB 90，ADBC于D，BE是ABC的平分线， 交AD于F，求证：,在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEE

12、B，且AD2 ，AE6. (1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系,题型三圆的切线的判定与性质,解析,思维升华,解取BD的中点O，连结OE. BE平分ABC， CBEOBE. 又OBOE， OBEBEO,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系,题型三圆的切线的判定与性质,CBEBEO， BCOE. C90， OEAC， 直线AC是BDE的外接圆的切线， 即直线AC与BDE的外接圆相切,题型三圆的切线的判定与性质,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C

13、 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系,题型三圆的切线的判定与性质,证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系,例3如图，在 Rt

14、ABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (2)求EC的长,解析,思维升华,解设BDE的外接圆的半径为r. 在AOE中，OA2OE2AE2， 即(r2 )2r262，解得r2 ， OA2OE,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (2)求EC的长,A30，AOE60. CBEOBE30,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (2)求EC的长,证明直线是圆的切线的方法

15、：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径,解析,思维升华,例3如图，在 RtABC中，C 90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2 ，AE6. (2)求EC的长,跟踪训练3(2013广东改编)如图，AB是圆O的 直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD， 过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2， 求BC的长,解C为BD中点，且ACBC， 故ABD为等腰三角形.ABAD6， 所以

16、AE4，DE2,跟踪训练3(2013广东改编)如图，AB是圆O的 直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD， 过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2， 求BC的长,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC,题型四与圆有关的比例线段,解析,思维升华,证明连结AB，AC. 由题设知PAPD， 故PADPDA. 因为PDADACDCA,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为P

17、C的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC,题型四与圆有关的比例线段,解析,思维升华,PADBADPAB， DCAPAB， 所以DACBAD,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC,题型四与圆有关的比例线段,因此BEEC,解析,思维升华,1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相

18、交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC,题型四与圆有关的比例线段,解析,思维升华,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC,题型四与圆有关的比例线段,解析,思维升华,2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,解析,思维升华,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与

19、O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (2)ADDE2PB2,解由切割线定理得PA2PBPC. 因为PAPDDC， 所以DC2PB，BDPB. 由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB2,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (2)ADDE2PB2,解析,思维升华,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.

20、证明： (2)ADDE2PB2,解析,思维升华,1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等,2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,例4(2014课标 全国)如图，P 是O外一点， PA是切线，A为切 点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (2)ADDE2PB2,解析,思维升华,跟踪训练4如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N

21、点的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2PAPC,证明连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB， PMNOMB90OBN， PNM90ONB,跟踪训练4如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2PAPC,PMNPNM，PMPN. 根据切割线定理，有PN2PAPC， PM2PAPC,跟踪训练4如图，O的半径OB垂直于直径 AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N， 过N点的切线交CA的延长线于P. (2)若O的半径为2 ，OA OM，求MN的长,延长BO交O于点D，连结DN,跟踪训练4如

22、图，O的半径OB垂直于直径 AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N， 过N点的切线交CA的延长线于P. (2)若O的半径为2 ，OA OM，求MN的长,MNBNBM642,答题模板系列10 与圆有关的几何证明问题,典例：(10分)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点.若CFAB，证明： (1)CDBC,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论,证明因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以DEBC. 又已知CFAB， 故四边形BCFD是平行四边形，

23、所以CFBDAD. 而CFAD，连结AF， 所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF. 因为CFAB，所以BCAF，故CDBC,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构

24、造所需要的角. (4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,2)BCDGBD,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,先证BCD和GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,证明因为FGBC，故GBCF. 由(1)可知BDCF，所以GBBD， 所以BGDBDG. 由BCCD知CBDCDB， 又因为DGBEFCDBC， 所以BCDGBD,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,处理与圆有

25、关的比例线段的常见思路： (1)利用圆的有关定理； (2)利用相似三角形； (3)利用平行线分线段成比例定理及推论； (4)利用面积关系等,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相

26、等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角. (4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换,2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用,失 误 与 防 范,1.在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例,2.在解决相似三角

27、形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错,2,3,4,5,6,1.如图，ABC中，BFAC于点F，CEAB 于点E，BF和CE相交于点P，求证： (1)BPECPF,证明BFAC于点F， CEAB于点E， BFCCEB90. 又CPFBPE， CPFBPE,1,1.如图，ABC中，BFAC于点F，CEAB 于点E，BF和CE相交于点P，求证： (2)EFPBCP,又EPFBPC， EFPBCP,2,3,4,5,6,1,3,4,5,6,1,证明E是RtADC斜边AC的中点， AEECDE. EDCECD，又EDCBDF,2,EDCCBDF. 又ADBC且BAC90， BADC， BADBDF

28、， DBFADF,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3.(2014江苏)如图，AB是圆O的直径，C，D是 圆O上位于AB异侧的两点.证明：OCBD,证明因为B，C是圆O上的两点， 所以OBOC.故OCBB. 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 故B，D为同弧所对的两个圆周角， 所以BD.因此OCBD,3,4,5,6,1,2,4.(2013江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于 点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC. 求证：AC2AD,证明连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点 D，C,3,4,5,6,1,2,所以ADOACB90. 又因为AA， 所以RtADORtAC

29、B,又BC2OC2OD，故AC2AD,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,证明四边形ABCD是平行四边形， AC，ABCD. ABFCEB. ABFCEB,3,4,5,6,1,2,2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积. 解四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD. DEFCEB，DEFABF,3,4,5,6,1,2,SDEF2，SCEB18，SABF8. S四边形BCDFSCEBSDEF16. S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824,3,4,5,6,1,2,6.(2014课标全国)如图，四边形ABCD是O的 内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点 E，且CBCE. (1)证明：DE,证明由题设知，A，B，C，D四点共圆， 所以DCBE， 由已知CBCE得CBEE， 故DE,3,4,5,6,1,2,2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形. 证明如图，设BC的中点为N，连结MN， 则由MBMC知MNBC， 故O在直线MN上. 又AD不是O的直径，