2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 81 空间几何体的结构三视图和直观图 理

1、8.1,空间几何体的结构、三视图和直观图,基础知识,自主学习,课时作业,题型分类,深度剖析,内容索引,基础知识,自主学习,1,多面体的结构特征,知识梳理,互相平行,平行于底面,全等,公共顶点,相似,2,旋转体的形成,几何体,旋转图形,旋转轴,圆柱,矩形,所在的直线,圆锥,直角三角形,所在的直线,圆台,直角梯形,所在的直,线,球,半圆,所在的直线,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,1,三视图的名称,几何体的三视图包括,2,三视图的画法,在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线,三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的,方,方,方观察到的几何体的正投影图,3,空间几何体的三

2、视图,正视图,侧视图,俯视图,正前,正左,正上,空间几何体的直观图常用,画法来画，其规则是,1,原图形中,x,轴,y,轴,z,轴两两垂直，直观图中,x,轴,y,轴的夹,角为,z,轴与,x,轴和,y,轴所在平面,2,原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍,平,行于,x,轴和,z,轴的线段在直观图中保持原长度,平行于,y,轴的线段,在直观图中,4,空间几何体的直观图,斜二测,垂直,平行于坐标轴,不变,长度变为原来的一半,45,或,135,1,常见旋转体的三视图,1,球的三视图都是半径相等的圆,2,水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形,3,水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯

3、形,4,水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形,知识拓展,2,斜二测画法中的,三变,与,三不变,三变,坐标轴的夹角改变,与,y,轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变,三不变,平行性不改变,与,x,z,轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变,判断下列结论是否正确,请在括号中打,或,思考辨析,1,有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,2,有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥,3,夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是,棱台,几何画板展示,几何画板展示,几何画板展示,4,正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同,5,用两平行平面截圆

4、柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱,6,菱形的直观图仍是菱形,1.,教材改编,下列说法正确的是,A,相等的角在直观图中仍然相等,B,相等的线段在直观图中仍然相等,C,正方形的直观图是正方形,D,若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行,考点自测,答案,解析,由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的,平行性不变,2.(2016,天津,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个,棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何,体的侧视图为,答案,解析,几何画板展示,3.,教材改编,如图，直观图所表示的平面图形是,答案,解析,A,正三角形,B,锐角三角形,C,钝角三角形,

5、D,直角三角形,由直观图中,A,C,y,轴,B,C,x,轴,还原后原图,AC,y,轴,BC,x,轴,直观图还原为平面,图形是直角三角形,故选,D,4.(2016,长春三模,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,A.20,B.18,C.14,2,3,D.14,2,2,答案,解析,5,某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是,_,14,3,答案,解析,题型分类,深度剖析,题型一,空间几何体的结构特征,例,1,给出下列命题,棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形,在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱,为直四棱柱,存在每个面都是直角三角形的四面体,棱台的侧棱延长

6、后交于一点,其中正确命题的序号是,_,答案,解析,思维升华,1,解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的,结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断,2,解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的,几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概,念类的命题进行辨析,跟踪训练,1,1,以下命题,以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥,以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台,其中正确命题的个数为,A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,命题错，

7、因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥,命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰,命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故,2,给出下列四个命题,有两个侧面是矩形的图形是直棱柱,侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥,侧面都是矩形的直四棱柱是长方体,底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱,其中不正确的命题为,_,答案,解析,对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错,对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,如图,故,错,对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定,侧棱垂直于底面，故正确,题型二,简单几何体的三视图,命题点,1,已知几何体，识别三视图,

8、答案,解析,例,2,2016,济南模拟,如图，多面体,ABCD,EFG,的底面,ABCD,为正方形,FC,GD,2,EA,其俯视,图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是,几何画板展示,例,3,2016,全国乙卷,如图，某几何体的三视图是三,个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径,若该,几何体的体积是,则它的表面积是,命题点,2,已知三视图，判断几何体的形状,28,3,答案,解析,A.17,B.18,C.20,D.28,命题点,3,已知三视图中的两个视图，判断第三个视图,例,4,2016,石家庄质检,一个三棱锥的正视图和俯视图如,图所示，则该棱锥的侧视图可能为,答案,解析,由题图可知，该几何

9、体为如图所示的三棱锥,其中平面,ACD,平面,BCD,故选,D,几何画板展示,思维升华,三视图问题的常见类型及解题策略,1,由几何体的直观图求三视图,注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示,2,由几何体的部分视图画出剩余的部分视图,先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式,当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否,符合,3,由几何体的三视图还原几何体的形状,要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图,跟踪训练,2,1)(2016,全国

10、丙卷,如图，网格纸上小正,方形的边长为,1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为,A.18,36,5,B.54,18,5,C.90,D.81,答案,解析,由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为,3,3,45,几何体的表面,积,S,3,6,2,3,3,2,3,45,2,54,18,5,2,如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,则该几何体的侧视图为,答案,解析,由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面,P,AD,且,EC,投影在面,P,AD,上，故,B,正确,几何画板展示,例,5,1,已知正三角形,ABC,的边长为,a,那么,ABC,的平面直观图,A,B,C,的面积

11、为,题型三,空间几何体的直观图,A,3,4,a,2,B,3,8,a,2,C,6,8,a,2,D,6,16,a,2,答案,解析,2,如图，矩形,O,A,B,C,是水平放置的一个平面图形的直观图，其,中,O,A,6 cm,O,C,2 cm,则原图形是,A,正方形,B,矩形,C,菱形,D,一般的平行四边形,答案,解析,如图，在原图形,OABC,中，应有,OD,2,O,D,2,2,2,4,2(cm,CD,C,D,2 cm,OC,OD,2,CD,2,4,2,2,2,2,6(cm,OA,OC,故四边形,OABC,是菱形,故选,C,思维升华,用斜二测画法画直观图的技巧,在原图形中与,x,轴或,y,轴平行的线

12、段在直观图中与,x,轴或,y,轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图,中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用,平滑的曲线连接而画出,跟踪训练,3,如图所示,A,B,C,是,ABC,的直观图,且,A,B,C,是边长为,a,的正三角形，则,ABC,的面积,为,_,答案,解析,6,2,a,2,典例,将正方体,如图,1,所示,截去两个三棱,锥，得到如图,2,所示的几何体，则该几何,体的侧视图为,空间几何的三视图,现场纠错系列,10,确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的,投影位置，要学会区分三视图中的实虚线,错解展示,现场纠错,

13、纠错心得,几何画板展示,课时作业,1,牟合方盖,是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过,程中构造的一个和谐优美的几何体,它由完全相同的四个曲,面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个,扣合,牟合,在一起的方形伞,方盖,其直观图如图,1,图,2,中四,边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图,完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是,答案,解析,A,a,b,B,a,c,C,c,b,D,b,d,图,2,图,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.(2016,全国甲卷,如图是由圆柱与圆锥组合而成的几,何体的三视图

14、，则该几何体的表面积为,答案,解析,A.20,B.24,C.28,D.32,2,3,2,2,2,由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为,4,圆锥的母线长,l,4,所以圆锥的侧面积为,S,锥侧,4,4,8,圆柱的,侧面积,S,柱侧,4,4,16,所以组合体的表面积,S,8,16,4,28,故选,C,1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,3.(2016,大连一模,如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,P,是棱,CD,上一点，则三棱锥,P,A,1,B,1,A,的侧视,图是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.(2015,

15、北京,某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长,为,A.1,B,2,C,3,D.2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2017,黄山质检,一个正方体截去两个角后所得几何体,的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为,答案,解析,6,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为,如图所示的一个正方形，则原来的图形是,_,填序号,由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为,1,对角线长为,2,所,以原图形为平行四边形，位于,y,轴上的对角线长为,2,2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

16、7,如,图,在,正,方,体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,P,是上,底面,A,1,B,1,C,1,D,1,内一动点，则三棱锥,P,ABC,的正视图与侧视图,的面积的比值为,_,如题图所示,设正方体的棱长为,a,则三棱锥,P,ABC,的正视图与侧视图,都是三角形，且面积都是,1,2,a,2,故面积的比值为,1,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2015,北京改编,某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是,_,2,2,5,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9,某几何体的三视图如图所示,1,判断该几何体是什么几何体,该几何体是一个正方体切掉两个,1,4,圆柱后得到的几何体,解答,2,画出该几何体的直观图,直观图如图所示,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10,某几何体的