数量积及应用举例

1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,a|b|cos,a|b|cos,0,a|cos,b在a方向上的投影,a|cos,0,a|b,a|b,ba,a(b,ab,ac+bc,联系,向量问题,向量运算,几何关系,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2 =0,3. （2011嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹 角为150，则它在x轴上的投影为,基础达标,2,2.解析：ab(3,5)，ab(5,5)， cosab，ab,3.解析：a在x轴上的投影为 |a|cos 15010,4.解析：令 则a(2,0)，b(1,2)， 所以 b(ab)3,5. (教材改编题)已知a=(1,6),

2、b=(2,k),若ab,k= ;若ab，则k=,12,经典例题,题型一 平面向量的数量积,例1】已知a,b是非零向量. （1）若ab，判断函数f(x)=(x a+b)(x b-a)的奇偶性； （2）若f(x)为奇函数，证明：ab,解：（1）f(x)=x2ab+(b2-a2)x-ab, ab,ab=0， f(x)=(b2-a2)x. 当|a|b|时，f(x)为奇函数； 当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于xR恒成立，所以f(0)=0,即-ab=0,又a,b是非零向量，故ab,变式1-1 已知向量a=(cosx,sinx),b

3、=(3,-1),且f(x)=ab，求f(x)的最大值,解：f(x)=ab= cosx-sinx=2（ cosx- sinx）, f(x)=2sin（ -x）,f(x)max=2,题型二 模与垂直问题,例2】（2010广东改编）已知向量a=(1,1)，b=(2，5)， c=(3，x). (1)若|2a+b-c|=1,求实数x的值； (2)若(8a-b)c，求实数x的值,解：(1)2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1,7-x).又|2a+b-c|=1, ,(7-x)2=0,x=7. (2)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3). 由(8a-b)c,得18+3x=0,x=

4、-6,变式2-1 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)k为何值时，(a+2b)(ka-b),解：由已知,ab=48-（ ）=-16. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|= . |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464 =3162,|4a-2b|= . (2)若(a+2b)(ka-b),则 (a+2b)(ka-b)=0, ka2+(2k-1)ab-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7,题型三 夹角问题,变式3-1 (2

5、011北京模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且b(a+b),求向量a,b的夹角a,b,解：|a|=2|b|,b(a+b), ba+b2=0,ab=-|b|2. 又cosa,b= 又a,b0,a,b=,易错警示,例】已知a,b均为单位向量，且ab,若向量a+b与a+2b的夹角为钝角，求的取值范围,错解：|a|=|b|=1,ab=0,(a+b)(a+2b)= a2+(2+2)ab+2b2=+2=3. 又a+b与a+2b的夹角为钝角， (a+b)(a+2b)0,30,0,错解分析 cosa,b0a,b ,本题中a+b,a+2b为钝角，故须 a+b,a+2b=时的的值舍去,正解：a+b与a+2b的夹角为钝角， (a+b)(a+2b)0,即0, 且 , . 综上，的取值范围为(-,- )(- ,0,链接高考,2. （2010安徽）设向量a=(1,0)，b=（ , ）,则下列结论中正确的是( ) A. |a|=|b| B. ab= C. a-b与b垂直 D. ab 知识准备: 1. 向量的长度及数量积的坐标运算公式； 2. 向量平行、垂直的坐标判定方法,2.