13-3-2四边形综合.讲义学生版

1、四边形综合例题精讲、四边形综合【例1】 如图1，四边形ABCD是正方形，点 G是BC上任意一点， DE _ AG于点E , BF _ AG于点F . 求证：DEBF=EF .当点G为BC边中点时，试探究线段 EF与GF之间的数量关系， 并说明理由. 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图 2中画出图形，写出此时 EF之间的数量关系（不需要证明）.CDCDE、 BF、【例 2】 如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD，/BCD =90，且 AB =1 , BC =2 , tan ./ADC =2.求证：DC =BC ;E是梯形内一点，F是梯形外一点，且ZBEC =135 时，求 si

2、n/BFE 的值.ZEDC ZFBC , DE=BF,当 BE : CE =1:2 ,F【例3】 已知：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB =DC，点E , F ,G分别在 AB , BC , CD上， 且AE =GF =GC .(1) 求证：四边形 AEFG是平行四边形；(2) 当.FGC =2. EFB时，求证：四边形 AEFG是矩形.【例4】 正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点(不与点D重合)，直线AE交直线BC于点G， .BAE的平分线交射线 BC于点0 .2如图，当CE =-时，求线段BG的长；3CE 当点0在线段BC上时，设C =X , BO =y，求y

3、关于x的函数解析式；ED当C =：2ED时，求线段B0的长.【例引 如图，在梯形 ABCD中，AB / CD , AB =7 , CD =1 , AD =BC =5 .点M , N分别在边 AD , BC 上运动，并保持 MN / AB , ME _AB, NF _ AB，垂足分别为 E , F .(1) 求梯形ABCD的面积；(2) 求四边形MEFN面积的最大值.(3) 试判断四边形 MEFN能否为正方形.若能，求出正方形 MEFN的面积；若不能，请说明理由.【例 6】 如图，在 Rt ABC 中，.A =90； , AB = AC , BC =4 -，另有一等腰梯形 DEFG ( GF /

4、 DE )的底边DE与BC重合，两腰分别落在 AB , AC上，且G , F分别是AB , AC的中点.求等腰梯形DEFG的面积； 操作：固定.ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点 D 与点C重合时停止.设运动时间为 x秒，运动后的等腰梯形为 DEF G （如图）.探究1 :在运动过程中，四边形 BDG G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由.探究2:设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为 y，求y与的函数关系式.、向外作正多边形问题【例7】 如图，以 ABC的边AC、AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形连结EC交AB于点

5、H，连结BG交CE于点M，求证：BG丄CE .ACFG和正方形 ABDE ,BCH【例8】 分别以 ABC的三边长为边长，在形外作正方形 ABMN , ACHK , BCFE，连接NK , ME , FH . 若 MBC为任意三角形时，以 NK , ME , FH为边能否构成三角形？为什么？如果能，试探究以 NK , ME , FH为边构成的三角形的面积与. ABC的面积关系.EF【例9】例题中已知条件不变，分别取三个正方形ABMN , ACHK , BCFE的中心01、O、03 .证明：OQ2 I AO3, OQ2 = AO3.Ho：HBC03EF都是FGG(N)FAHABCDAEBEEDC

6、HFEFAGCBM 图2M 图3在图1 正方形C(M) D 图1G N如图，梯形ABCD中，AD/ BC，分别以两腰 AB、CD为边向两边作正方形 ABGE和正方形 设线段AD的垂直平分线I交线段EF于点M 求证：点M为EF的中点至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点.四边形 BCGF和CDHN AE的中点是M .如图1,点E在AC的延长线上，点 N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM =MH , FM _MH ；将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图 2,求证：AFMH是等腰直角三角形; 将图2中的CE缩短到图3的情况，AFMH还是等腰直角三角形吗？（第问基础、提高

7、班直接写出结论，精英班需要证明）FM 01KA .【例10】【例11】【例12】在.ABC的边 AB、AC向形外作正方形 ABEF、ACGH , BG、CE相交于0 .求证：AO _ BC .G【例13】如图所示，分别以 ABC的边AC、BC为一边，在 ABC外作正方形 ACDE和CBFG，点P是EF 的中点求证：点P到边AB的距离是AB的一半F【例14】在. ABC的两边AB、AC向形外作正方形 ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、 N，贝U MQ _QN .【例15】如图所示，梯形 ABCD中，AD /BC，分别以两腰 AB、CD为边向两边作正方形 ABGE和正方形DCHF

8、，连接EF ,设线段EF的中点为M，求证MA = MD EM匚G/、A D【例16】如图所示，在JABC每一条边上分别向形外作正方形AGFC，正方形BCED和正方形ABKH 连接 EF、HG、DK，CM 是 ABC 的中线求证：EF =2CM 【例17】如图，在三角形 ABC的三边向外作正方形，三个正方形的中心分别是Oi,O2,O3,求证:OQ3和O?A相等且垂直【例18】在凸四边形ABCD的边上向形外分别作正方形，四个正方形的中心依次是O,O2,O3,O4.求证：O1O3与O2O4垂直且相等.【例19】（五羊杯”初三竞赛题）如图，正方形 ABCD的边长为2,从各边分别向外作等边三角形ABE、

9、BCF、CDG、DAH，则四边形 AFGD的周长为（）-6 -6 -3-32 2 2 2+ 4-4-44 2 4 2 代 B G D2.24.2F【例20】如图，在矩形ABCD中，BC =20cm，P， Q， M， N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC， CB DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时， 运动即停止.已知在相同时间内， 若BQ二xcm xO , AP =2xcm , CM =3xcm , DN = x2 cm .当x为何值时，以PQ , MN为两边，以矩形的边（AD或BC ）的一部分为第三边构成一个三 角形 当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形； 以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.课后练习1. 如图，JACD、 ABE、. BCF均为直线BC同侧的等边三角形.已知 AB =AC .顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件. 当.BAC为度时，四边形 ADFE为正方形.2.如图，以 ABC的边AB、个正方形对角线的交点，