根轨迹分析法

1、第四章 根轨迹分析法,系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性,伊凡思(W.R. Evans)创立根轨迹法（1948,几何图解求解特征根,l系统中某一参数在全部范围内（0）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹,l可以推广到其它参数的变化广义根轨迹。 l可用于单变量系统和多变量系统,l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的,l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统,本章主要内容,以K为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用 利用根轨迹分析和设计控制系统,4.1 根轨迹的概念,定义,根轨迹,系统中某一参数在全部

2、范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹,1 根轨迹举例,例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹,开环传递函数,分析,闭环特征方程,求出2个闭环特征根,4-1-1,闭环特征根是K的函数。当K从0变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹,闭环传递函数,K取不同值,等于两个开环极点,两根重合于0.5处,即0K1/4，两根为实根,1,0.5,两根为共轭复数根，其实部为0.5,总结,有两个闭环极点，有2条根轨迹,根轨迹是从开环极点出发点,通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上,如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求,这是个？阶系统,2,根轨迹上的点与

3、K值一一对应。根轨迹是连续的,4.2 根轨迹绘制的基本规则,1、根轨迹的基本关系式,典型的反馈控制系统如图,其开环传递函数,4-2-1,其中：K:开环增益,开环零点,开环极点,闭环传递函数,闭环特征方程为,它们满足,G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量,绘制根轨迹必须满足的基本条件,相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差,幅值条件,相角条件,积的模等于模的积，商的模等于模的商,注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹,2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环

4、零极点求出闭环极点,画法： 利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值,2、绘制根轨迹的基本规则,例4-4,要求画出根轨迹,某单位反馈系统,分析：1个开环零点，3个开环极点,规则一,根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n,闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹,例中,规则二,根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点,根轨迹是K从0时的根变化轨迹，因此必须 起于K=0处，止于K=处,观察幅值条件,如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极

5、点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处,规则三,根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴,证明：（1）连续性,从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的,证明：（2）对称性,因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴,对于例题,在实轴上的根轨迹,一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处,规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹,渐近线：根轨迹有n-m条渐进线,渐近线与实轴的夹角为,渐近线与实轴的交点为,l它们是针对n-m

6、条趋向无穷远点的根轨迹而设立的 l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状,规则五,规则六,性质: (重点讨论实轴上的分离点,在此点上必出现重根,利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻开环极点间时，必有一分离点,若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点,根轨迹的分离点：当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点,由求极值的公式求出,它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者,在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s 值,注意：求出结果，需经判断，保留合理解。 如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去,在例题4-4中,解出,对上图的观察，后两个

7、根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处,规则七、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根,在例4-4中，系统闭环特征方程式为,即,令虚轴的交点,代入上式，得,与虚轴的交点为,例4-4的根轨迹如图,K=.084,1、画出开环零极点,2、确定根轨迹根数,3、画出实轴上的根轨迹,4、求渐进线（nm,5、求分离点,6、求与虚轴交点,7、画出根轨迹,8、求出特殊点对应的K值,K值由根轨迹幅值条件求出,如分离点（-0.447,j0）处的K值,规则八,根轨迹的出射角,在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为,在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为,若系统存在复

8、数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出,例4-5,设系统开环零极点图如图,其中,确定根轨迹离开共轭复数根的出射角,根据公式,考虑到根轨迹的对称性,出射角p3= -5，p4= 5,例4-6,作 的根轨迹,开环极点3个,分析：n=3，m=0, 没有开环零点,在s平面上的极点处标以“”，,根据规则一、二 、三,根据规则四，实轴上0-为根轨迹,分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处,根轨迹有三个分支,图4-8,根据规则五，求渐近线:n-m=3条,例4-6,渐近线与实轴夹角,渐近线与实轴的交点,2.767,60,没有分离点,例4-6,根据规则七：求出根轨迹与虚轴的

9、交点,闭环特征方程,K=256,令s=jw,代入上式。令实部和虚部同时等于0，可解得,例4-6,根据规则八求起始角,对P2，根轨迹的起始角为,由对称性知：-4-j4处的射角为45,根轨迹完成,例4-7,作 的根轨迹,该系统 n=3 ，m=1,根据规则一、二、三,一个零点,有三个开环极点,该根轨迹有三个分支,分别起始于p = 0(两条)和p = -12处,有一个分支终止于z = -1,另两个分支趋于无穷远,根据规则四： 实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间,例4-7,根据规则五：渐近线有2条，n-m2,5.5,渐近线夹角,渐近线与实轴的交点,例4-7,根据规则七、 求根轨迹与虚轴的交点,闭环特征

10、方程是,K=0，s=0,令s=jw,代入上式。令实部和虚部同时等于0，可解得,例4-7,根据规则六、求分离点,则,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30,可知一部分根轨迹为圆。 据此，可画出根轨迹,均在根轨迹上,大Ks1 小Ks2,求出分离角为,5.5,例4-7,利用幅值条件，可求出分离点的K值,s2是第一分离点，s1是第二分离点,完整的绘出根轨迹如图4-9所示,图4-9,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30,4.3 广义根轨迹,常规根轨迹以开环增益K为可变参量,这些参数必须以线性形式出现在特征方程中,如某些开环零极点、调节器PID参数 或者系统的时间常数等,广义根轨迹其

11、它参数为变量,1、单参数根轨迹,绘制参数根轨迹的步骤如下,2) 列写以新的变量表示的等效系统开环传递函数(GH )e,1) 写出原系统的闭环特征方程式,l概念：指具有相同的闭环特征方程,l做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变 量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。 这样，参变量移到K的位置,因而具有相同的闭环特征根,3) 把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常 规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹,绘制参数根轨迹的关键是得到等效开环传递函数,1）等效开环传递函数,以下图所示的调节系统为例说明,1,2,3,参数根轨迹绘制总结,l关键点要把新参数移到原K的位置上，利用常规 根轨迹的画法

12、,等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点) 上，不等效在闭环传递函数上,l移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原 系统相同,必须注意,参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响， 不能用于分析整个闭环系统,闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的 闭环过程也有影响,2）参数根轨迹的画法,绘制当对象的开环极点p变化时的参数根轨迹,例 4-8,开环传递函数,开环极点,闭环特征方程,K=4,等效系统的开环传递函数,分析,l等效系统有两个开环极点 ，一个开环零点0,l根轨迹起点于 ，终止于零和无穷远处,渐近线,2,P,P,P=0,j2,j2,求分离点坐标,l 负实轴为根轨迹，有一分离点,P=0

13、,把s-2代入p的公式，求出此点p=4,研究开环极点对闭环极点的影响,分离角为90,K=4,还可以画出在p=0时，K从零到无穷大变化时的根轨迹,此时，系统的开环传递函数为,闭环特征方程,根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向无穷远处的轨迹 。求特殊点的K值,j2(K=4,j2(K=4,p=0,在 处两图都有K=4，p=0,4.4 利用根轨迹分析控制系统,l主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素 l系统特征根在S平面上的位置与动态指标的关系,l目的在于给出系统设计的指导方向,l改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制 质量的影响,一、特征根与系统动态指标的关系,1,1,2,2,3,3,见图,它们

14、对应的单位阶跃响应过渡曲线见图,的虚部,1和3有相同,2和3 有相同的实部,轴有相同的夹角,1和2对实,在s左半平面有三类共轭复根,1,2,3,共轭复根,特征根与系统动态指标的关系,1、超调量和衰减比n,超调量,衰减比,它们与实轴的夹角,如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时,在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫等线,落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量,越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差,等线越靠近虚轴,它是极点虚部的函数,在s平面上平行于实轴的直线叫作等频线(等 线,落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同,2、峰值时间tp,等频线

15、离实轴越远，则tp越短，振荡频率越高，tp反比于虚部值,3、调节时间ts（过渡时间,它是极点实部的函数,在s平面上平行于虚轴的直线叫作等线,等线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间ts越短。ts与实部值成反比,落在这条线上的极点具有相同的实部，它们对应相同的调节时间,4、余差,余差是系统的稳态值与设定值之差,这个指标是系统达到稳定以后的性质，属于静态指标，而前面所述的几种是动态指标,余差可以从闭环传递函数的终值定理求得,这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征根无关，因而不能表示在根平面上,等频线,综上所述,在五种常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示,l衰减比和超调量都可

16、以用等线代表,等 线,等线,合格区,l当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系 统的质量就可达到原定的要求,l它们重合的部分符合所有指标,l这三种直线的合格区域都可以用 阴影表示出来，如图中所示,l振荡频率用等频线代表,l调节时间用等线代表,l即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满 足系统设计的要求,l例如，不仅仅改变调节器参数Kc， 而且改变调节器结构，给系统增加 开环零极点,l但是，在很多时候，只调整增益 不能满足系统的性能。此时必须 改造根轨迹,l 当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合适的参数值K，使系统的质量达到原定的要求,二、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响,例4-8,开

17、环传递函数为,渐近线,夹角,与实轴交点,与虚轴交点,分离点：-0.146,dK/ds=0,例4-8,传递函数,渐近线,夹角,与实轴交点,与虚轴交点,时间常数的变化相当于开环极点的变化,根轨迹如图所示,如果,将-0.2 这个开环极点增大到 0.16，相当于时间常数 T2 从5 增大至6.25，其根轨迹如图所示,可以看出，一个开环极点增大(向右移动)，闭环系统的一对主要复根的轨迹必然会向右移动,过渡过程时间增加，使系统稳定的K值下降,例4-9,研究系统中增加极点对根轨迹的影响,l增加开环极点 （在右边增加,相当于增加系统的时间常数，使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间,l原点处

18、增加一开环极点,相当于在系统中增加积分作用，与图（c）类似，降低稳定性，但可以消除余差,作业：4-10，4-14（a:0）, 并说明参数a的取值对系统阶跃响应性能的影响,它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的,增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的,零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，系统性能越好。 与增加极点的效果相反,Z=-0.6,Z=-.3,Z=-.1,Z=0,三、开环零点对系统控制质量的影响,例4-10,绘制某单位反馈系统的根轨迹，分析Td对根轨迹的影响,例4-10,讨论,1)若Td=0， K取何值，系统皆不稳定,2)若选用Td=0.5，它把根轨迹拉进了稳定区域， K 4以后系统总是稳定的,3）当微分时间加大（开环零点更靠近虚轴时）, 一对 复数极点会离开虚轴更远一些，过程的振荡减弱,例4-11,画出例4-10以Td为参变量的根轨迹（K50）,等效开环