15-2解直角三角形.题库教师版

1、内容基本要求略咼要求较咼要求解直角三 角形知道解直角三角形的含 义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅 助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角 三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解 决有关问题目 tMlt 例题精讲板块一解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：2 丄-22 三边之间的关系：a b =c （勾股定理）；锐角之间的关系： AB =90 ； 边角之间的关系：sinA=a， cosA =b， tanA=， cotA=

2、V.ccba三、解直角三角形的四种基本类型 已知斜边和一直角边（如斜边c，直角边a），由si nA=求出.A，则乙B =90 /A，b = c2-a?； c 已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A），求出/ B=90，乙A， a=csi nA，bccosA ； 已知一直角边和一锐角（如a和锐角A）,求出 B=90-/A，b=acotA，c a - sin A 已知两直角边（如a和b ），求出 = . a2 b2，由tan A =旦，得一 B = 9 - A.b具体解题时要善于选用公式及其变式，如si nA=a可写成a =csi nA， c=a 等.csin A四、解直角三角形的方法解直角三角形的方

3、法可概括为：有斜（斜边）用弦（正弦，余弦），无斜用切（正切，余切），宁乘毋除，取原避中”这几句话的意思是:当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据.直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在 RtAABC 中，ZA +ZB =90，故 n Ac0 ）弘 心 B ，cosA=sin B，tan A = cot B，cot A = tan B 利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题.（六）如何解直角三角形的非基本类

4、型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程（组）来转化为四种基本类型求解；（1 ）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2 ）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： 作垂线构成直角三角形； 利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等【例1】 在三角形ABC中，/C =90 , A =30 , AB =10,则AC的长度为（）A. 10 3B . 5、3C. 10 2D. 5 2【考点】解直角三角形【题型】选择【难度】2星【关键词】【解析】因为 A =30 , AB =10

5、 ,所以可得AC =10 cos30 =5 3，可知选择B【答案】B【例2】 已知Rt ABC中，.C =90，根据下列条件解直角三角形：.A=60 , b=4 ；【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】由 A B =90 , A =60 , B =30 .aa又 tan A , - tan603 , - a =4 3 .b4 c 二 a2 b2 二件 3）2 42 =8 .【答案】见解析【例3】 已知Rt ABC中，.C =90，根据下列条件解直角三角形： A=60 , a b=6 ；【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】由.A . B =90

6、, . A = 60 ,. B =30 . 由 tan603 得：a = . 3b.ba b =6 ,a = 9 - 3J3 , b = 3.3 - 3 .-c =2b = 6、押3 - 6 .【答案】见解析【例4】 已知Rt ABC中，/C =90，根据下列条件解直角三角形：/A =45 , S,.；.=12.【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】 S.,广 12 , ab=24.a又tan A =tan45, - a =b .b a2 =24 , a=b=2.6 , c=4.3.【答案】见解析【例引 如图，在 Rt ABC中，已知 CD _ AB, BC =1，如果

7、.BCD =40 ,求AC的长度【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】【关键词】【解析】方法一:因为 CD =BC cos40 = cos40CD 又因为 CAD 二 BCD =40 ,sin 40 =AC所以ACcos40!660 =1.192sin40 sin40 0.6428方法二：因为CAD 二BCD =401所以AC = BC .二 1 .二 1=1.192tan 40 tan 400.8390【答案】1.192 【例6】 如图，在 Rt ABC中，已知CD _ AB, BC =1，如果tan BCD二1，求CD的长度3A【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】3星 【关键词】RD

8、 RD 【解析】设CD =x，因为tan. BCDCD x1 所以BD x3在直角三角形BCD中，由勾股定理可得:X2 .-dx =1，即 x2 =1393丽所以x= 10【答案】3 1010【例7】如图所示，在 ABC中，C=90，D是AC边上的一点，且AD=DB=5,CD =3，求tn .CBD和sin A的值.AB【考点】解直角三角形 【题型】解答【难度】3星 【关键词】 【解析】在 Rt BCD 中， C =90 , BD =5, CD =3 ,心4，二 tan CBD=；3，AC =8 , BC = 4 ,在 Rt ABC 中， C =90 , 二 AB h.4 2 82 =4 5

9、,sin A 旦AB=4 =_54.55【答案】tan ECBD =3 ; sin A =和55【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P , A,B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角.PAB=45，仰角.PBA=30，求汽球P的高度（精确到0.1米,.3=1.732）【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】过点P作PC_AB于C点，设PC =x米。pc在 Rf：PAC 中，tan. PAB 二-AC二 AC PC PC =x （米）tan 45 PC在 Rt . PBC 中，tan ZPBABC二 BC pC 3x （米）tan30 又

10、 AB =90AB 二 AC : BC 二 x 亠.3x 二 90 x=90 =45（ .3 -1） （米）1 .3 PC =45 1.732 -1 =32.9 （米）【答案】32.9【例 9】 在 RL ABC 中，.C =90，若 sin A 二tanB，求 cos A的值.【考点】锐角三角函数的性质及化简【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】在RL ABC中，.NA+NB=90 , tan B=cotA ./ sin A = tan B , /. sin A = cot A ./ cot A =csA , sin A =csA，即 sin2 A 二 cosA .sin Asin A解

11、得 cosA, / 0A0，故 cosA =【答案】,5 -12【例 10】在 Rt. ABC 中，.C =90，若 cosA=cotB，求 si nA 的值.【考点】锐角三角函数的性质及化简【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】在Rt.lABC中，ZA 亠.B =90 , cotB =tanA./ cos A = cot B , cosA =tanA.sin Asin A 口. A 2 A/ tan A, . cosA，即 sin A 二 cos A.cos Acos A/厶；5_1解得 si nA, / 0A0，故 sin A =-【答案】号【例11】在三角形 ABC中，C =90 ,

12、 a, b, c分别是.A, B , C的对边，已知.B =60 , a b =3 3 , 求a, b【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】3星【关键词】I-_【解析】由 tan B ，得 b a 06) =3 a ，又 a3，故 a .3a =3 3一，解得 a = 3，从而 b = 3a【答案】a = .3, b =3【例12】如图，在ABC中，已知 AB二AC =20, BC =20-.3，求.：ABC中各内角的度数【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】作AD _ BC于点 D ,贝U BD =1 0BDc oB s_AB.B =30 , C =30 , BAC

13、 =120【答案】见解析【例13】如图，已知：.ABC是等腰直角三角形,连接CE，求sin . ACE的值.ACB =90，过BC的中点 D作DE _ AB，垂足为E，【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】过点E作EF _ BD， F为垂足. ABC是等腰直角三角形， . A = . B =45 , AC =BC，又 DE _ AB,DEB也是等腰直角三角形设 BE =1,BD 2则 CD=BD= .2 , BC=2BD=2.2 , DF =EF =2 2CF =CD DF =2-=建.2 2在 Rt . CEF 中，由勾股定理得：CE EF2 CF2乞（垃2）2 （3

14、 S）2 =$5. 2 2在Rt CEF中，有三角函数定义得： cos. ECF =圧 二30 . CE 10Q f A Q 又 NACE +NECF =90 : sin ACE =cosECF = .10【答案】3卫10【例14】如图所示，天空中有一静止的广告气球C,从地面A点测得C的仰角为45从地面B点测得C的仰角为60已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上， 求气球离地面的高度 CD （结 果保留根号）B【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】4星 【关键词】【解析】作CD _ AB，垂足为D，设气球离地面的高度为 x米.在 Rt. ACD 中，.CAD =45 ，在 Rt.

15、CBD 中，.CBD =60 ,-AD = CD = x . BD 二CD _ xtan 60.3 AD =AB BD ,x=20X,73 x =30 10 3 .答：气球离地面的高度为30 10 3米【答案】3010.3【例15】如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为（即图像的阴影部分的面积）:，求他们的重叠部分的面积【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】如图，易知阴影部分为平行四边形ABCD，作 AE _ BC 于点 E ,相等，故 AE =AF =1，在直角三角形 ABE中，.ABC =，AEAF _ CD于点F，因两纸条宽,AE 如1，由 s

16、in B得 AB =ABsi not1 1 从而重叠部分的面积为S二AB AF1 =si nosi not【答案】丄si not【例16】已知：如图，ABC中,度数及AC的长./B =45 , AB =乎,D是BC上一点,AD =5 , CD =3，求/ADC 的AB DE C【考点】解直角三角形【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】过 A点作AE _ BC于E，则.AEB =90 . 在 Rt . ABE 中，.AEB =90 , B =45 ,AE = ABsin 45 二 5p 6 m v 2 = 5“ 3在Rt ADE中， . ADE =60 ,在Rt ACE中，【答案】19aeA

17、ED=90 ,-兀DE =AD cos60 ,2EAEC =90 , AC AE EC5.3板块二解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.如图. 坡角与坡度：坡面的垂直高度 h和水平宽度I的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为i=h，坡l面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，贝U i =- =ta n:.坡度越大，坡面就越陡.如图 .l 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）x度.如图

18、.2.解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、 垂直距离等概念的意义； 找出要求解的直角三角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成 一些直角三角形和矩形（包括正方形）；根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值,注明单位.（一）、仰角俯角【例17】如图，一艘核潜艇在海面下 500米A点处测得俯角为30正前方的海底有黑匣子信号发出，继续 在同一深度直线航行 4000米后再次在B点处测得俯

19、角为60。正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到米）【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于 F点.已知 AB =4000 米，.BAC =30 , EBC =60 , . BCA =. EBC -ZBAC =30 , . BAC = BCA , BC 二 BA =4000 米.在 Rt BEC 中，EC =BCsin60 =4000 于=2000 3 米， CF =CE EF =2000. 3500 3964 米.答：海底黑匣子 C点处距离海面的深度约为3964米.【答案】396

20、4【例18】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人 商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置， 当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛 A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ,D .然后测出两人之间的距离 CD =1.25m ,颖颖与楼之间的距离 DN =30m （ C、D、N在一条直 线上），颖颖的身高BD =1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC = 0.8m .你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？MC Daoooon【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】

21、【解析】过 A作CN的平行线交BD于E，交MN于F .由已知可得 FN =ED =AC =0.8m ,AE =CD =1.25m , EF =DN =30m ,.AEB AFM =90 .又.BAE =. MAF , . ABEAMF ,.BE AE 刖 1.60.81.25 二，即MF AFMF 1.25 30解得 MF =20m . MN 二 MF FN =20 0.8 =20.8m .所以住宅楼高为20.8m .【答案】20.8游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山AB返回山脚下的B处.在同一平面内,【例19】某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D点是洞的入口,顶的出口凉亭 A处观看旅游区风景

22、，最后坐缆车沿索道若测得斜坡BD的长为100米，坡角.DBC=10，在B处测得A的仰角 ABC =40，在D处测 得A的仰角.ADF =85，过D点作地面BE的垂线，垂足为 C .求.ADB的度数； 求索道AB的长.（结果保留根号）BC E【考点】解直角三角形的应用 【题型】解答【难度】4星 【关键词】 【解析】 I DC _CE , BCD =90 .又：. DBC =10 , . BDC =80 , . ADF =85 , . ADB =360-80 _90-85 =105 .过点D作DG _ AB于点G .在 Rt . GDB 中，.GBD =40 _10 =30 , . BDG =90

23、 _30 =60 ,又/ BD =100 ,11- GD BD =10050 ,22GB = BD cos30 =100 = 50呻3 .2在 Rr ADG 中，EGDA =105 60 =45 , GD 二 GA 二50 , AB =AG GB =50 50 3 （米）答：索道长50 - 50 3米.【答案】105 :50 50 3【例20】如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面已知山坡的坡角ZAEF=23，量得树干倾斜角 NBAC=38，大树被折断部分和坡面所成的角EADC =60，AD =4m .求.CAE的度数；求这

24、棵大树折断前的高度.（结果精确到个位，参考数据：.2=1.4 , . 3 =1.7,.6 =2.4 ）.BC【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】 延长BA交EF于点G .在 Rt AGE 中，/E =23 , 乙GAE =67 .又 /BAC =38 , 乙 CAE =180 -67 -38=75 .过点A作AH _CD，垂足为H .在.ADH 中，.ADC =60 , AD =4 ,DH 1. 2 ccos M ADC,DH 二 2 AD 2AH 3sin ADC, - - AH = 2 3 .AD 2在 Rt . ACH 中，.C =180 -75 _60

25、=45 , AC =2 .6, CH =AH =2 3 . AB =AC CD 2 .62 3 2 ：10 (米).答：这棵大树折断前高约 10米.【答案】75 :10【例21】一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的 NAOP=60（量角如图）；然后她向小山走50米到达点 F处（点B, F , D在同一直线上 EO-45 ,那么小山的高度 CD约为（A. 68 米B.（注：数据 31.732 ,）70 米C. 121 米2 = 1.414供计算时选用）D.【考点】解直角三角形的应用CD .已知她的眼睛与地面的距离 器零度线AC和铅垂线OP

26、的夹角, ），这时测角器中的123米GC560GPFD选择4星【解析】设CG = x，则AGtan30CG -3x , EG 二 CG 二 xtan45 【题型】 【难度】【关键词】T AE =50 , J3x x =50，解得 x=25(J3+1)J3 -1 CD =25( 3 1) 1.6 : 70 米选 B【答案】B【例22】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角 NBCA为12，设台阶的起点为 A，斜坡的起点为 C ,求AC的长度（精 确到1cm ）BCAD【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】3星【关键词

27、】【解析】作 BD _ AC 于点 D，贝U BD =60cm , AD =60cm ,由 tanC =BD，得 CD = BD 二 60:. 282 ,CDtanC tan 12故 AC 的长为 CD - AD =282 - 60 =222cm【答案】222cm【例23】课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度如图，在A处用测角仪（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15朝旗杆方向前进 23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30，求旗杆EG的高度.BG23米【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】由题设可知，ZECD ZDEC =15, DE 二CD

28、=23 （米）.在 Rt EFD 中，/EDF =301 - EF = ED=11.5（米）2 EG =EF GF =11.5 1.5 =13（米）旗杆EG有高度为13米.【答案】13【例24】在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45。的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度.（参 在 Rt ABC 中，设 AB =x , BC =x3 1考数值：tan31: , sin31 ：-)52【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难

29、度】4星【关键词】【解析】过点C作CD _ AB，垂足为D，设CD =x米，在 Rr BCD 中，.CBD =45 , BD 二CD =x 米.在 Rt . ACD 中，ZDAC =31 , AD X 5 x 米， tan 31 3 AB =20 ,5- xx=20，解得 x =30 .3答：这条河的宽度为 30米.【答案】30m ,n表示，角用用，I；-”【例25】如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高 度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺.请你根据现有条件，设计案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上 （所测的距离用 表示，测倾器

30、高度忽略不计 ）;根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB（用字母表示）【考点】【题型】解直角三角形的应用解答 【难度】5星 【关键词】2004年，辽宁竞赛 【解析】 如图所示，在点C测得.ACB ，在点D测得.ADB =7，测得DCtan j.x 在 Rt ABD 中，BD = tan pBD -BC = mxx即mtan ： tan :解得xan： tan i mtana -tan P【答案】tan: tan -DC =m ;(2)mtana -tan P【例26】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距 8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45。和60。，且A、B

31、、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度.（取 3 1.73，计算结果保留整数）C/4560DABE【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】/ AB =8 , BE =15 , AE=23，在 Rt ：AED 中，.DAE = 45 DE 二 AE =23.在RtBEC中，乙CBE =60 CE =BE tan60 =15、.3 , CD =CE -DE =15 3 -23 ： 3.即这块广告牌的高度约为3米.【答案】3【例27】由山脚下的一点 A测得山顶D的仰角是45，从A沿倾斜角为30的山坡前进1500米到B，再次 测得山顶D的仰角为60，求山高

32、CD .ACAF C【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为 E、F . . BAC =30 ，AB =1500 米， BF =EC =750 米，AF =750 3米.设FC =x米， . DBE =60 , DE = 3x 米.又乙DAC =45 , AC =CD .即：750 .3 x =7503x 米,得 x =750 , CD =(750750 . 3)米.答：山高 CD为(750 750.3)米.【答案】(750750 3)【例28】如图，在山脚的 C处测得山顶 A的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进 400米到D处

33、(即 DCB =30 ,CD =400米)，测得A的仰角为60，求山的高度 AB .【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】作 DE _ AB于E，作DF _ BC于F，在Rt CDF中1DCF =30 , CD =400 米，DF =CD sin30400=200 (米)CF =CD cos30在 Rt ADE 中， ADE =60，设 DE 二x米, AE =ta n60 Xf ；3x（米）在矩形DEBF中，BE二DF =200米， 在 Rt ACB中，ACB =45 , AB 二 BC , 即： 3x 200 =200 3 x，解得 x =200 , AB =

34、 AE BE (200 . 3200) 米【答案】200.3 200【例29】如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A点看C点，仰角为5 ;从A点看D点，俯角为30，解决下列问题： 求两幢楼分别高多少米？（结果精确到1米） 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为 30（光线与水平线的夹角），问一号楼的光照是否会有 影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？（结果精确到 1 米）（参考数据：tan5 ： 0.0875 tan 30 :. 0.5774cos30 :. 1.732 ）光线2号楼1号楼【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】

35、4星【关键词】【解析】过A作AE _CD于E，则四边形 ABDE为矩形，AE = BD 二30，在 Rt . AEC 中，CE =AE tan5 3，在 Rt ADE 中，DE =30 tan 3017 ,1 号楼 AB =DE =17米，2号楼 CD =CE DE =20 米 当冬日上午9:00太阳光的入射角最低为 30 （光线与水平线的夹角2号楼影长为2035米，tan30 两楼距离30米小于35米， 一号楼的光照会受到影响，两楼至少应相距35米.【答案】20 ;35【例30】若每层楼高2.2米，问在例题的第问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的 影响？【考点】解直角三角形的

36、应用【题型】解答【难度】4星【关键词】DE ,【解析】设2号楼当太阳与水平面的夹角为30时，影子在没有阻挡的前提下，影子为由例题中第问可知，DE =35米，BD =30米， BE =5 ,在 Rt . FBE 中，.E =30 , . FBE =90 , FB =BE tan30 ： 2.9 , 2.9 “2.2 ：1.3层，在一号楼中至少住在第3层就不会受到二号楼的影响 .【答案】在一号楼中至少住在第3层就不会受到二号楼的影响 .【例31】某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m的超市，超市以上是居民住房,在该楼前方15m处准备盖一幢高20m的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水

37、平线夹角为32超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）DD【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】作 AE _CD于E，设冬季居民楼能照到太阳光的最低点为F ,如图，贝UCE 二AB =20m, EAF =32 , AE 二 BC =15m,在 Rt AEF 中，由 tan. EAF 二弐，得 AEEF 二 AE ta n. EAF =15 tan 32 ： 9.4m，所以 CF 二 CE-EF ： 20-9.4 = 10.6m，由于小区超市高度小于10.6m，故超市以上居民住房采光受到影响要使

38、居民住房采光不受影响，CF至多为6m，从而EF至少为14m，在RtAEF中，由tan. EAF，得AE EF1422.4m ,所以两楼至少相距约 22.4mAEtan ZEAF tan32 【答案】见解析【例32】如图，五一 ”期间在某商贸大厦上从点 A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在 商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼D点测得条幅端点 A的仰角为30乜，测得条幅端点 B的俯角为45 ;小雯在三楼 C点测得条幅端点 A的仰角为45，测得条幅端点 B的俯角为30 若设 楼层高度CD为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长.（结果精确到个位，参考数据.3=1.732）AA

39、商D厦X家C属B楼EF【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】过 D作DM _ AE于M，过C作CN _ AE于N ,贝MN 二CD =3米，设 AM =x，贝U AN =x 3，由题意：.ADM =30 , . ACN =45 ,在 Rt . ADM 中，DM3x ,tan30 在 Rt . ：ANC 中，CN = AN = x 3 ,又 DM =CN =MB , . 3x =x 3，解之得，x ( 31),2- AB =AM MB=x x 3=2 3 ( . 3 1) 3 =3.3 6 ： 11 (米)2【答案】11米【例33】如图，某高层楼房与上海东方明珠电视

40、塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A, B两层，甲在A层测得电视塔塔顶 D的仰角为a ,塔底C的俯角为P，乙在B层测得塔顶D的仰角为日, 由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A, B之间的高度差为a，求电视塔高CD（用含:-/-,a的代数式表示）DC【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】作 AE _ CD于E , BF _ CD于F，设DE =x在Rt ADE中，由tan二匹，得AEDFBF 二 tan日a因为A E二DEAE = tan、t tan、；xB F所以t anx，在 Rt. ：DBF 中,由 tanv - ，得BFa tan:x，从而

41、tan v - tan、AE =t a n： tan在Rt AEC中，由tan所以 CD =DE EC-旦，得AEatan :tan v - tan:-EC 二 AE tan 一：atan -tan v - tan :【答案】a tan .篇川 tan tan v - tan :-（二）、坡度角【例34】为了加固一段河堤,已知原来背水坡长【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】【关键词】atan -tan - tan : a tan ：亠 tan I ；tan v - tan:-1m ,使坡度由原来的需要运来砂石和土将堤面加宽BC =12m ,堤长100m ,那么需要运来砂石和土多少立方

42、米1:2变成1:3 ,如图所示，?（参考数据.3丸1.7【解析】过 C、D两点作CE丄AB于点E, DF丄AB于点F.CElBC=BE在 RtA CBE 中, BE= 2CE,又BC= 12(m),-CE =(m), BE= 24*： 5 (m)5/四边形CDFE为矩形, DF = CE .DFiAD =AF12 J5 AB= AF + EF- BE =1 )(m)+(国+2)应 o (CD +AB) CE ( 52)5-o 梯形 ABCD =在 RtAADF 中,=-, AF = 3DF = 3CE =(m).35272+12 亦3-V= S 梯形 abcd X100=- X 100 196

43、18().72 12.52(m).答：略【答案】1968m3- 25【例35】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B为55外口宽AD为180mm，燕尾槽的深度为 70 mm，求它的里口宽 BC （精确到1 mm）B EF C【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】求里口宽 BC就是求等腰梯形的下底边长，作等腰梯形的两条高构造出两个全等的直角三角形和 一矩形，在直角三角形中求出BE,CF的长，最后用线段的加法可求.过A、D分别作AE丄BC于E, DF丄BC于F ,则有矩形 AEFD , AD =EF =180mm，又由已知得.B =55 , A

44、E =DF =70 ,.AEB 也.：DFC ,在 Rt.AEB 中，BE= A = -Z 疋 49.0（ mm）,tan 55 1.428 BC =2BE EF =2 49 180 : 278 （mm）.答：它的里口宽 BC为278 mm .【答案】278mm【例36】创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点.请你帮助小王在下图中把图形补画完整；由于图纸中圆 O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i =1: 0.75是

45、坡面CE的坡度），求r的值.OG【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】图形补全如右图所示： i =1: 0.75 =4:3, CH : EH =4:3在 Rt. CHE 中，CE =5 CH =4, EH =3 DH 二 DE EH =4 3=72 2 2在 Rt. QDH 中，HO DH =OD即r 4 i亠7 = r亠7解得r =8.38 r的值为83【答案】省略；83【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形现需将其整修并进行美化，方案如下：将背水坡AB的坡度由1: 0.75改为1:、3 ;用一组与

46、背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.求整修后背水坡面的面积； 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】作AE _ BC于E .原来的坡度是1:0.75 ,AEEB0.75 3设 AE =4k , BE =3k , AB =5k ,又/ AB =5 米, k =1，贝U AE =4 米 设整修后的斜坡为 AB ,由整修后坡度为1: 3，有AE 1/。,ABE =30EB ,3 AB2AE=8米. 整修后背水坡面面积为 90 8 =720米

47、80 米 2 .将整修后的背水坡面分为 9块相同的矩形，则每一区域的面积为解法一：I要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草 5块，种花4块，需要20X5X80+25X4X80=16000元；第二种是种花 5块，种草4块，需要20X4X80+25X5X80=16400元.应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费 16000元.解法二：/要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米 20元，两种方案中，选择种草 5块、种花4块的方案花费较少.即:需要花费 20X5X80+25X4 疋0=16000 元.【答案】见解析【例38】城

48、市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆 AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2,坝高CF为2m,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30, D、E之间 是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由（在地面上，以点 B为圆心以AB的长为半径的圆形区域为危险区域 ）【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】过点C作CH _AB于点H，得矩形HBFC连接DFCFDFCF =2(m)DF =1(m) CF 二 HB =2(m), HC 二 BF =15 (m)在Rt AHC中,AH =HC tan30

49、 =15 tan30 =5 3(m), T AB =AH HB =5.3 2 ：10.66(m)BE =BD -ED =12(m) AB :：: BE,不需将此人行道封上.【答案】不需将此人行横道封上【例39】如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从乙的顶部 A测得甲的顶部C的仰角为60，测得甲的底部D的俯角为30。，求两建筑物的高.【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】由题意可知： ACE和.ADE均为直角三角形且 AE =BD =30m，又.CAE =60 , DAE =30 , ADB =30 .在 RL ACE 中，CE =AE tan60、30、3 ,

50、 AB =DB tan30；=30 3 =10. 3 3CD =CE ED =CE AB =30 3 10 3 =40 3 答：建筑物 AB高10 3m , CD高为40. 3m .【答案】建筑物 AB高10 3m , CD高为40 . 3m【例40】在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度.如图1,虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角二，一般情况下，倾角 二愈小，楼梯的安全程度愈高.如图2,设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由二减至r，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1 =4m，-二=40 , 8=36，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到 0.01 m .参考 数据：tan36 0.7256 , tan40 0.8391 .）A地板【考点】解直角三角形的应用【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】在Rt ABC中，BC二di , ACB -.诂,AB =BC tan ACB = BC tan =d1 tan40 =4tan 40 又在Rt. ABD 中，BD =d2 , ADB - .去,AB =BD tan ZADB = BD tan =d2 tan36 , DC 2 -di =0.62 (m