2017 2018高中数学第二章参数方程二1椭圆的参数方程新人教A选修4 41

1、二,1,椭,圆,的,参,数,方,程,把握热点考向,考点一,考点二,讲,理解教材新知,应用创新演练,考点三,二,圆锥曲线的参数方程,椭圆的参数方程,1,中心在原点，焦点在,x,轴上的椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1,的参数方程,是,是参数,规定参数,的取值范围是,_,1,椭圆的参数方程,0,2,x,a,cos,y,b,sin,2,中心在,h,k,的椭圆普通方程为,x,h,2,a,2,y,k,2,b,2,1,则其参数方程为,是参数,x,h,a,cos,y,k,b,sin,例,1,已知实数,x,y,满足,x,2,25,y,2,16,1,求目标函数,z,x,2,y,的最大值与最小值,思路点拨,

2、将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式,将问题转化成三角函数求最值问题,椭圆的参数方程的应用：求最值,解,椭圆,x,2,25,y,2,16,1,的参数方程为,x,5cos,y,4sin,为参数,代入目标函数得,z,5cos,8sin,5,2,8,2,cos,0,89cos,0,(tan,0,8,5,所以目标函数,z,min,89,z,max,89,利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大,小,值,通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解,1,已知椭圆,x,2,25,y,2,16,1,点,A,的坐标为,3,0,在椭圆上找一,点,P,使点,P,与点,A,的距离最大,解,椭圆的参数方程为,x,5cos,y,

3、4sin,为参数,设,P,5cos,4sin,则,PA,5cos,3,2,4sin,2,9cos,2,30cos,25,3cos,5,2,3cos,5,8,当,cos,1,时,PA,最大,此时,sin,0,点,P,的坐标为,5,0,椭圆参数方程的应用：求轨迹方程,例,2,已知,A,B,分别是椭圆,x,2,36,y,2,9,1,的右顶点和上顶,点，动点,C,在该椭圆上运动，求,ABC,的重心,G,的轨迹方程,思路点拨,由条件可知,A,B,两点坐标已知，点,C,在,椭圆上，故可设出点,P,坐标的椭圆参数方程形式，由三角形,重心坐标公式求解,解,由题意知,A,6,0,B,0,3,由于动点,C,在椭圆

4、上运,动，故可设动点,C,的坐标为,6cos,3sin,点,G,的坐标设为,x,y,由三角形重心的坐标公式可得,x,6,0,6cos,3,y,0,3,3sin,3,即,x,2,2cos,y,1,sin,消去参数,得到,x,2,2,4,y,1,2,1,本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题,的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便,2,已知椭圆方程是,x,2,16,y,2,9,1,点,A,6,6,P,是椭圆上一动点,求线段,PA,中点,Q,的轨迹方程,解,设,P,4cos,3sin,Q,x,y,则有,x,4cos,6,2,y,3sin,6,2,即,x,2cos,3,y,3,2,sin

5、,3,为参数,9,x,3,2,16,y,3,2,36,即为所求,3,设,F,1,F,2,分别为椭圆,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,的左、右两个,焦点,1,若椭圆,C,上的点,A,1,3,2,到,F,1,F,2,的距离之和等于,4,写出,椭圆,C,的方程和焦点坐标,2,设点,P,是,1,中所得椭圆上的动点，求线段,F,1,P,的中点的轨,迹方程,解,1,由椭圆上点,A,到,F,1,F,2,的距离之和是,4,得,2,a,4,即,a,2,又点,A,1,3,2,在椭圆上,因此,1,4,3,2,2,b,2,1,得,b,2,3,于是,c,2,a,2,b,2,1,所以椭圆,C,的方程为

6、,x,2,4,y,2,3,1,焦点坐标为,F,1,1,0,F,2,1,0,2,设椭圆,C,上的动点,P,的坐标为,2cos,3sin,线段,F,1,P,的中点坐标为,x,y,则,x,2cos,1,2,y,3sin,0,2,所以,x,1,2,cos,2,y,3,sin,消去,得,x,1,2,2,4,y,2,3,1,即为线段,F,1,P,中点的轨迹方程,椭圆参数方程的应用：证明定值,例,3,已知椭圆,x,2,4,y,2,1,上任一点,M,除短轴端点外,与短轴两端点,B,1,B,2,的连线分别交,x,轴于,P,Q,两点，求,证,OP,OQ,为定值,思路点拨,利用参数方程，设出点,M,的坐标，并由,此

7、得到直线,MB,1,MB,2,的方程，从而得到,P,Q,两点坐标,求出,OP,OQ,再求,OP,OQ,的值,证明,设,M,2cos,sin,为参数,B,1,0,1,B,2,0,1,则,MB,1,的方程,y,1,sin,1,2cos,x,令,y,0,则,x,2cos,sin,1,即,OP,2cos,1,sin,MB,2,的方程,y,1,sin,1,2cos,x,令,y,0,则,x,2cos,1,sin,OQ,2cos,1,sin,OP,OQ,2cos,1,sin,2cos,1,sin,4,即,OP,OQ,4,为定值,利用参数方程证明定值,或恒成立,问题，首先是用参,数把要证明的定值,或恒成立的式

8、子,表示出来，然后利用,条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可,4,曲线,x,a,cos,y,b,sin,a,b,0,上一点,M,与两焦点,F,1,F,2,所,成角为,F,1,MF,2,求证,F,1,MF,2,的面积为,b,2,tan,2,证明,M,在椭圆上,由椭圆的定义，得,MF,1,MF,2,2,a,两边平方,得,MF,1,2,MF,2,2,2,MF,1,MF,2,4,a,2,在,F,1,MF,2,中，由余弦定理，得,MF,1,2,MF,2,2,2,MF,1,MF,2,cos,F,1,F,2,2,4,c,2,由两式，得,MF,1,MF,2,b,2,cos,2,2,故,S,F,1,MF,

9、2,1,2,MF,1,MF,2,sin,b,2,tan,2,一、选择题,1,椭圆,x,a,cos,y,b,sin,为参数,若,0,2,则椭圆上的点,a,0,对应的,A,B,2,C,2,D,3,2,解析,点,a,0,中,x,a,a,a,cos,cos,1,答案,A,2,把椭圆的普通方程,9,x,2,4,y,2,36,化为参数方程是,A,x,3cos,y,2sin,为参数,B,x,2cos,y,3sin,为参数,C,x,9cos,y,4sin,为参数,D,x,4cos,y,9sin,为参数,解析,把椭圆的普通方程,9,x,2,4,y,2,36,化为,x,2,4,y,2,9,1,则,b,2,a,3,

10、其参数方程为,x,2cos,y,3sin,为参数,答案,B,3,已知椭圆的参数方程,x,2cos,t,y,4sin,t,t,为参数,点,M,在椭圆,上，对应参数,t,3,点,O,为原点，则直线,OM,的斜率为,A,3,B,3,3,C,2,3,D,2,3,解析,点,M,的坐标为,1,2,3,k,OM,2,3,答案,C,4,两条曲线的参数方程分别是,x,cos,2,1,y,2,sin,2,为参数,和,x,3cos,t,y,2sin,t,t,为参数,则其交点个数为,A,0,B,1,C,0,或,1,D,2,解析,由,x,cos,2,1,y,2,sin,2,得,x,y,1,0,1,x,0,1,y,2,由

11、,x,3cos,t,y,2sin,t,得,x,2,9,y,2,4,1,如图所,示，可知两曲线交点有,1,个,答案,B,二、填空题,5,椭圆,x,5cos,y,4sin,为参数,的离心率为,_,解析,椭圆方程为,x,2,25,y,2,16,1,可知,a,5,b,4,c,a,2,b,2,3,e,c,a,3,5,答案,3,5,6,实数,x,y,满足,3,x,2,4,y,2,12,则,2,x,3,y,的最大值是,_,解析,因为实数,x,y,满足,3,x,2,4,y,2,12,所以设,x,2cos,y,3sin,则,2,x,3,y,4cos,3sin,5sin,其中,sin,4,5,cos,3,5,当,

12、sin,1,时,2,x,3,y,有最大值为,5,答案,5,7,湖南高考,在直角坐标系,xOy,中，已知曲线,C,1,x,t,1,y,1,2,t,t,为参数,与曲线,C,2,x,a,sin,y,3cos,为参数,a,0,有一个,公共点在,x,轴上，则,a,_,解析,曲线,C,1,的普通方程为,2,x,y,3,曲线,C,2,的普通方程为,x,2,a,2,y,2,9,1,直线,2,x,y,3,与,x,轴的交点坐标为,3,2,0,故曲,线,x,2,a,2,y,2,9,1,也经过这个点，代入解得,a,3,2,舍去,3,2,答案,3,2,三、解答题,8,已知两曲线参数方程分别为,x,5cos,y,sin,

13、0,和,x,5,4,t,2,y,t,t,R,求它们的交点坐标,解,将,x,5cos,y,sin,0,化为普通方程得,x,2,5,y,2,1(0,y,1,x,5,将,x,5,4,t,2,y,t,代入得,5,16,t,4,t,2,1,0,解得,t,2,4,5,t,2,5,5,y,t,0,x,5,4,t,2,5,4,4,5,1,交点坐标为,1,2,5,5,9,对于椭圆,x,a,cos,y,b,sin,为参数,如果把横坐标缩短为原,来的,1,a,倍，再把纵坐标缩短为原来的,1,b,倍即得到圆心在原,点，半径为,1,的圆的参数方程,x,cos,y,sin,为参数,那,么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论

14、圆的离心率，并,进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系,解,设圆的参数方程为,x,r,cos,y,r,sin,为参数,如果将该圆看成椭圆,那么在椭圆中对应的数值分别为,a,b,r,所以,c,a,2,b,2,0,则离心率,e,c,a,0,即把圆看成椭圆，其离心率为,0,而椭圆的离心率的范围是,0,1,可见椭圆的离心率越小即越接近于,0,形状就越接近,于圆，离心率越大，椭圆越扁,10,椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,与,x,轴正向交于点,A,若这个椭圆上总,存在点,P,使,OP,AP,O,为原点,求离心率,e,的取值范围,解,设椭圆的参数方程是,x,a,cos,y,b,sin,为参数,a,b,0,则椭圆上的点