2019届高考数学文科二轮分类名师精编突破训练：第二篇考点三考查角度2立体几何中的翻折问题与探索性问题

1、最新 料推荐 考查角度 2立体几何中的翻折问题与探索性问题分类透析一翻折问题例 1 如图 , 在边长为 4 的菱形 ABCD中, DAB=60, 点 E, F 分别是边 CD,CB的中点 , ACEF=O,以 EF为折痕将 CEF折起 , 使点 C运动到点 P 的位置 , 连接 PA, PB, PD, 得到如图所示的五棱锥 P-ABFED,且PB=.(1) 求证 : BD PA.(2) 求四棱锥 P-BFED的体积 .分析 (1) 抓住 EF与 BD的平行关系 , 结合菱形的性质 , 利用翻折前后的垂直关系可证 EF平面 PAO,问题得以解决 ;(2) 分别计算 PO的长度和四边形 BFED的

2、面积 , 再利用公式计算体积 .解析 (1) 点 E, F 分别是边 CD, CB的中点 , BDEF.菱形 ABCD的对角线互相垂直 ,BDAC, EFAC,EFAO, EFPO.AO? 平面 POA,PO? 平面 POA,AOPO=O,EF平面 POA,BD平面 POA,BDPA.(2) 设 AOBD=H,连接 BO, DAB=60,ABD为等边三角形 , BD=4, BH=2, HA=2, HO=PO= .在 RtBHO中, BO=.222在 PBO中, BO+PO=10=PB, POBO.又 POEF, EFBO=O,EF? 平面 BFED,BO? 平面 BFED, PO平面 BFED

3、.梯形 BFED的面积 S= ( EF+BD)HO=3,1最新 料推荐 四棱锥 P-BFED的体积 V= SPO=3=3.方法技巧 1 . 画好两个图翻折前的平面图和翻折后的立体图 ;2 . 分析好两个关系翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了改变 , 哪些没有改变 . 一般地 , 在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的 , 在两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的 , 分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱. 分类透析二 空间线面关系的探索性问题例 2 如图 , 三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2, AA1平面 ABC,E, F 分别为棱 A1B1,

4、 BC的中点 .(1) 求证 : 直线 BE平面 A1FC1.(2) 若平面 A1FC1 与直线 AB交于点 M, 请指出点 M的位置 , 说明理由 , 并求三棱锥 B-EFM的体积 .分析 (1) 取 A1C1 的中点 G, 连接 EG,FG, 利用线线平行得到线面平行;(2) 采用分析法进行求解 .解析 (1) 取 A1C1 的中点 G, 连接 EG,FG,则 EG B1C1,又 BF B1C1, 所以 BF EG.所以四边形 BFGE是平行四边形 , 所以 BEFG.而 BE?平面 A1FC1, FG? 平面 A1FC1,所以直线 BE平面 A1FC1.(2) M为棱 AB的中点 . 理

5、由如下 :因为 ACA1C1, AC?平面 A1FC1, A1C1 ? 平面 A1FC1, 所以直线 AC平面 A1FC1.又平面 A1 FC1平面 ABC=FM,所以 ACFM.又 F 为棱 BC的中点 , 所以 M为棱 AB的中点 .所以 SBFM= SABC= 22sin 60 =,所以 VB-EFM=VE-BFM= 2=.方法技巧 探索性问题的处理思路 : 先假设存在 , 再通过推理 , 进行验证 . 探索空间中的线面平行与垂直关系 , 可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探索 .2最新 料推荐 分类透析三条件追溯型例 3 如图 , 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 A

6、BC是等边三角形 , 且AA1底面 ABC,M为 AA1 的中点 , 点 N在线段 AB上, 且 AN=2NB, 点 P在线段 CC1上.(1) 证明 : 平面 BMC1平面 BCC1B1.(2) 当 为何值时 , PN平面 BMC1?分析 (1) 取 BC1 的中点 O, BC的中点 Q, 连接 MO,OQ得 MOAQ.由AQ平面 BCC1B1 得 MO平面 BCC1B1, 再利用线面垂直得到面面垂直 . (2) 采用分析法求解 .解析 (1) 设 BC1 的中点为 O, BC的中点为 Q, 连接 MO,OQ,AQ, 则OQCC1AM,四边形 AQOM是平行四边形 ,AQMO.AA1CC1,

7、 AA1平面 ABC,CC1平面 ABC.AQ? 平面 ABC,CC1AQ.又 AB=AC,AQBC.CC1? 平面 BCC1B1, BC? 平面 BCC1B1, BCCC1=C, AQ平面 BCC1B1,MO平面 BCC1B1.MO? 平面 BMC1,平面 BMC1平面 BCC1B1.(2) 取 AE=2EM,则 NEBM. NE?平面 BMC1,BM? 平面 BMC1, NE平面 BMC1.若 PN平面 BMC1,则平面 NEP平面 BMC1. EP? 平面 NEP,EP平面 BMC1.平面 BMC1平面 AA1C1C=MC1, EPMC1.又 EM PC1,四边形 EMC1P是平行四边形

8、 ,PC1=EM=AM=AA1= CC1,3最新 料推荐 当=5 时, PN平面 BMC1.方法技巧 以空间几何体为背景的探索存在性问题 , 涉及的点具有运动性和不确定性 , 比较简单的探索可以先猜后证 , 利用传统方法解决 . 若用向量法处理 , 可以避免繁杂的画图、推理及验证过程 , 只需通过坐标运算进行判断 , 在解题过程中 , 往往把“是否存在问题”转化为“点的坐标是否有解 , 是否有规定范围的解问题”等 , 问题的解决简单、有效 , 且解法固定 , 操作方便 .1. (2018 年全国 卷, 文 18 改编 ) 如图 , 在平行四边形 ABCM中 , AB=AC=3, ACM=90,

9、 以 AC为折痕将 ACM折起 , 使点 M到达点 D的位置 , 且 ABDA.(1) 证明 : CD平面 ABC.(2) Q为线段 AD上一点 , P 为线段 BC上一点 , 且 BP=DQ=DA, 求三棱锥Q-ABP的体积 .解析 (1) 由已知可得 , BAC=90, 所以 ABAC.又 ABAD, 且 ACAD=A,所以 AB平面 ACD. 所以 ABCD.又因为 ACM=90, 所以 CDAC.因为 AB? 平面 ABC,AC? 平面 ABC,ABAC=A, 所以 CD平面 ABC.(2) 由已知可得 , DC=CM=AB=3,DA=3 .又 BP=DQ=DA, 所以 BP=2 .作

10、 QEAC, 垂足为 E, 则 QE=DC=1.结合 (1), 得 QE平面 ABC,因此 , 三棱锥 Q-ABP的体积 V= QESABP= 1 32sin45=1.4最新 料推荐 2. (2016 年全国 卷, 文 19 改编 ) 如图 , 菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点 O, 点 E, F 分别在线段 AD, CD上, 且 AE=CF,EF交 BD于点 H, 将 DEF沿 EF折起到 DEF的位置 .(1) 证明 : AC平面 HBD.(2) 若 AB=5, AC=6, AE=, OD=2, 求点 O到平面 DEF的距离 .解析 (1) 由已知得 , ACBH, AD=CD.又

11、由 AE=CF得=, 故 ACEF.所以 EFHD,EFHD, 所以 ACHD.又因为 BH? 平面 HBD, HD? 平面 HBD, BHHD=H, 所以 AC平面 HBD.(2) 由 EFAC, 得 = = .由 AB=5, AC=6, 得 DO=BO=-=4.所以 OH=1, DH=DH=3.22222所以 ( OD)+OH=(2)+1 =9=DH,故 ODOH.由 (1) 知 AC平面 BHD, 所以 AC OD. 又 AC? 平面 ABC,OH? 平面 ABC,ACOH=O, 所以 OD平面 ABC.由 = , 得 EF=.所以 VD-OEF= S OEFDO= 12=,设点 O到平

12、面 DEF的距离为 h,则 VO-DEF= SDEFh= 3h=,解得 h=,所以点 O到平面 DEF 的距离为.1. ( 黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2018 届高三第二次模拟考试) 如图 , E 是边长为 2 的正方形 ABCD的边 AB的中点 , 将 AED与 BEC分别沿 ED, EC折起 , 使得点 A 与点 B 重合 , 记为点 P, 得到三棱锥 P-CDE.5最新 料推荐 (1) 求证 : 平面 PED平面 PCD.(2) 求点 P 到平面 CDE的距离 .解析 (1) A=B=90,PE PD, PEPC. 又 PC? 平面 PCD,PD? 平面 PCD,PCPD=P, PE平面

13、 PCD.PE? 平面 PED,平面 PED平面 PCD.(2) 设点 P 到平面 CDE的距离为 h,依题意可知 , 三角形 CDE是底边长为 2, 高为 2 的等腰三角形 ,其面积为 22=2.易知 PCD是边长为 2 的等边三角形 ,其面积为22=,由 (1) 知 PE平面 PCD,又 PE=1,VE-PCD= 1=.VE-PCD=VP-ECD, 2h=, h=.2. ( 四川省广元市 2018 届高三第二次高考适应性统考 ) 如图 , 菱形ABCD的边长为 6, BAD=60,ACBD=O将.菱形 ABCD沿对角线 AC折起 , 得到三棱锥 B-ACD,M是棱 BC的中点 , DM=3

14、 .(1) 求证 : OM平面 ABD.(2) 求证 : 平面 ABC平面 MDO.(3) 求三棱锥 M-ABD的体积 .解析 (1) 因为点 O是菱形 ABCD的对角线的交点 , 所以 O是 AC的中点 .又 M是棱 BC的中点 ,所以 OM是 ABC的中位线 , 所以 OMAB.因为 OM?平面 ABD,AB? 平面 ABD,所以 OM平面 ABD.(2) 由题意知 , OM=OD=3.因为 DM=3222, 所以 OM+OD=DM,所以 DOM=90,ODOM.6最新 料推荐 又四边形 ABCD为菱形 , 所以 ODAC.因为 OM? 平面 ABC,AC? 平面 ABC,OMAC=O,所

15、以 OD平面 ABC.因为 OD? 平面 MDO,所以平面 ABC平面 MDO.(3) 三棱锥 M-ABD的体积等于三棱锥 D-ABM的体积 . 由 (2) 知, OD平面 ABC,所以 OD为三棱锥 D-ABM的高 .因为 ABM的面积 = BABMsin 120 = 63=,所以三棱锥 M-ABD的体积 = SABMOD=.3. (2018 年湖南东部六校联考 ) 如图 , 在直角梯形 ABCD中 , ABCD, ABBC, AB=2CD, DEAB, 将 AED沿 DE折起到 A1ED的位置, 连接 A1B, A1C, 得到如图所示的四棱锥 A1-EBCD,M, N分别为 A1C, BE

16、 的中点 .(1) 求证 : DE A1B.(2) 求证 : MN平面 A1ED.(3) 在棱 A1B上是否存在一点 G, 使得 EG平面 A1BC?若存在 , 求出的值; 若不存在 , 请说明理由 .解析 (1) 由题意知 DEA1E, DEBE.A1E? 平面A1 BE, BE? 平面 A1BE, A1EBE=E,DE平面 A1BE.A1B? 平面A1 BE, DEA1B.(2) 如图 , 取 CD的中点 F, 连接 NF, MF. M,N分别为 A1C, BE的中点 ,MFA1D, NFDE.又 A1D? 平面A1DE, DE? 平面 A1DE,MF平面 A1 DE, NF平面 A1DE

17、.MF? 平面 MNF,NF? 平面 MNF,MFNF=F,平面 A1 DE平面 MNF,MN平面 A1 ED.(3) 取 A1B 的中点 G, 连接 EG.A1E=BE,EGA1 B. 由 (1) 知 DE平面 A1BE.7最新 料推荐 DEBC, BC平面 A1BE,EGBC.又 A1B? 平面A1BC, BC? 平面 A1BC, A1BBC=B,EG平面 A1 BC.故棱 A1B上存在点 G, 使得 EG平面 A1BC, 此时=1.4. (2018 年重庆巴蜀中学模拟 ) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 , PA=PB,PAPB, F 为线段 PC上的点 , 且 BF平面 PAC.(1) 求证 : 平面 PAB平面 ABCD.(2) 求证 : PC=PD.(3) 在棱 PD上是否存在一点 G, 使得 FG平面 PAB?若存在 , 求出 PG的长; 若不存在 , 请说明理由 .解析 (1) BF平面 PAC,BFPA.PAPB, PB? 平面 PBC,BF? 平面 PBC,PBBF=B, PA平面 PBC,PABC.ABBC, PA? 平面 PAB,AB? 平面 PAB,PAAB=A,BC平面 PAB.BC? 平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD.(2) 如图 , 作 PEAB, 垂足为 E, 连接 EC,