灰色系统理论

1、灰色系统理论学科简介,灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“ 灰色系统”一词,灰色理论的创立,1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的 控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、系统与控制通信,杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究,邓聚龙系统理论则主张从

2、事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法,灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为 研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据” 建模寻求现实规律的良好特 性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾,所谓灰色系统 是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的,灰色系统,灰色系统 理论应用,目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统

3、、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域展示了极为广泛的应用前景,灰色理论的发展,灰色预测理论,1.1 灰色预测理论 1.2 GM(1,1)模型 1.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型,1 灰色预测法,1.1 灰 色 预 测 理 论,一、灰色预测的概念,1）灰色系统、白色系统和黑色系统,白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的,回总目录,回本章目录,黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所

4、知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究,灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系,回总目录,回本章目录,灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测,2）灰色预测法,回总目录,回本章目录,灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况,灰色预测法用等时距观

5、测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间,3）灰色预测的四种常见类型,灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内,系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点,二、生成

6、列,为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列,回总目录,回本章目录,累加,累加是将原始序列通过累加得到生成列,灰色系统常用的数据处理方式有累加 和累减两种,1）数据处理方式,累加的规则,将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列,回总目录,回本章目录,记原始时间序列为,生成列为,上标1表示一次累加，同理，可作

7、m次累加,对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近,累减,将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列,累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息,一次累减的公式为,三、关联度,关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数,1）关联系数,设,则关联系数定义为,回总目录,回本章目录,式中,为第k个点,称为分辨率，01,一般取=0.5,对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别

8、除以第一个数据,的绝对误差,和,为两级最小差,为两级最大差,2）关联度,和,的关联度为,一个计算关联度的例子,工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下,工业,农业,运输业,商业,参考序列分别为,被比较序列为,试求关联度,解答,以,为参考序列求关联度,第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到,第二步：求序列差,第三步：求两极差,第四步：计算关联系数,取=0.5，有,从而,第五步：求关联度,计算结果表明，运输业和工业的关联程度 大于农业、商业和工业的关联程度,为参考序列时，计算类似，这里略去,1.2 GM(1,1)模型,一、GM（1，1）模型的建立,设时间序列,有n个观,察

9、值，通过累加生成新序列,则GM（1，1）模型相应的微分方程为,其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数,回总目录,回本章目录,设,为待估参数向量,最小二乘法求解。解得,求解微分方程，即可得预测模型,可利用,灰色预测检验一般有残差检验、关联度检,二、模型检验,1）残差检验,按预测模型计算,并将,累减生成,然后计算原始序列,与,的绝对误差序列及相,对误差序列,验和后验差检验,2）关联度检验,根据前面所述关联度的计算方法算出,与原始序列,的关联系数，然后计算出关联,度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便 满意了,3）后验差检验,a.计算原始序列标准差,回总目录,回本章目录,b. 计算绝对误差序列

10、的标准差,c. 计算方差比,回本章目录,d. 计算小误差概率,令,则,P 0.95 0.80 0.70 0.70,C 0.35 0.50 0.65 0.65,好 合格 勉强合格 不合格,1.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型,一、残差模型,若用原始经济时间序列,模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的 GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预 测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差 模型,建立的GM(1,1,二、 GM（n，h）模型,GM（n，h）模型是微分方程模型，可用 于对描述对象做长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原

11、始表征量表示为时间,并有,N表示自然数集），即可用GM模型对系统进行描述,序列,例题：某单位近年的火灾损失如下。 表 某油田的火灾损失金额 （单位：万元） 序 号 1997 1998 1999 2000 2001 X(0) 2.874 3.278 3.337 3.390 3.679 X(1) 2.874 6.152 9.489 12.879 6.558 代入上面的公式后得到,第二步，计算矩阵和 的值,第三步，计算参数,第四步，建立灰色模型,推导出时间响应函数,第五步，对生成数列进行误差（残差）检验,第六步，还原原始数列：根据公式， 可得数据如下,5.4 灰色系统的GM(1,1)残差模型,假使按照原始数据,建立的GM(1,1)模型如果检验不合格，或者是为了提高模型的精度， 可以考虑建立残差的GM(1,1)模型，对原模型进行修正。 如果按一邻域已得到下述的GM(1,1)模型的时间响应函数,从模型得到的数据列为,已知原有的生成数据数列AGO为,定义残差为,如果，便有残差列,为了便于计算，令,上式改写为,对,建立GM(1,1)模型，有时间响应为,对上式求导数，有,将上述的GM(