阶段性测试题13

1、数学试卷阶段性测试题十三（推理与证明（文十二）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。）1.（文）（08宁夏、海南）平面向量a, b共线的充要条件是（）A . a, b方向相同B . a, b两向量中至少有一个为零向量C. ?入 R, b= ?aD 存在不全为零的实数兀 尬 Aa + ?2b= 0答案D解析选项A、B是共线的充分条件，C为共线的必要条件，D为充要条件，故选 D.（理）已知空间任一点 0和不共线的三点

2、 A, B, C,满足OP= xOA + yOB + zOC（x,y, z R）, 则“ x+ y+ z= 1”是“点P在平面ABC内”的（）A 充分但不必要条件B .必要但不充分条件C 充要条件D .既不充分也不必要条件答案C解析点P在平面ABC内？存在实数 入仏使AP= AB + MAC?平面ABC内的任意点o,有0P-0A= x0b-0A)+ m0c-0A)? OP=(1 - a- m0A + db+ moc, / OP=xOA+yOB+ zOC, x+ y+ z= 1是点P在平面 ABC内的充要条件.b均为实数），则可推测a, b的值分别为A . 6,35B . 6,17C . 5,2

3、4 D . 5,35答案A3. 设a, b R，现给出下列五个条件：a + b = 2;a+ b2 :a+ b 2;ab1;logab2时，假设a 1, b 1,贝U a+ b 2 可能 a0, b1,可能 a0 , b0;logab0, a 0a1 或 a1,0b1 , 故能推出.1 3一4. （文）如果不等式|x a|1成立的充分非必要条件是2x2,则实数a的取值范围是（）13r 1孑孑3A.qa2或a或玄三答案B解析|x a|v 1 ? a 1vxv a+ 1,11a 1 三 2由题意知2, 2(a 1, a+ 1)，则有3(等号不同时成立)，解得2 a2选B.(理)已知命题p： x2

4、4x+ 30与q： x2 6x+ 80 ;若p且q是不等式2x2 9x+ a0成立 的充分条件，则实数a的取值范围是()A . (9,+s )B . 0C.(汽 9D . (0,9答案C解析 由 x 4x+ 30 可得 p： 1x3;由 x 6x + 80 可得 q： 2x4，二 p 且 q 为：2x3 , 由条件可知，x|2x3是不等式2x2 9x+ a0的解集的子集，即方程2x2 9x+ a = 0的两根f(2) = 8 18+ a w 0中一根小于等于 2,另一根大于等于 3.令f(x) = 2x2 9x+ a，则有？ a0，公差d0，则有a4 a6a3 a7，类比上述性质，在等比数列b

5、n中，若bn0，公比q1，则b4, b5, b7, b8的一个不等关系是()A . b4 + b8 b5 + b7B . b4+ b8b5+D . b4+ b7a3a7，所以在等比数列bn中， 由于 4 + 8= 5+ 7,所以应有 b4+ b8b5 + b7或 b4+ b81, bn0, b4 + b8b5+ b7.故选 A.6. (文)规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)= 0，则下列结论中错误的是()A

6、 . P(2007) = 403B . P(2019) = 404C . P(2019) = 403D . P(2019) = 404答案D解析显然每 5 秒前进一个单位，且P(1) = 1, P(2)= 2, P(3)= 3, P(4) = 2, P(5) = 1 , P(2007) = P(5 X 401 + 2) = 401 + 2= 403,P(2019) = 404, P(2019) = 403, P(2019) = 402，故选 D.1111 n*（理）证明1 + 2+ 3+ 4+ 2口2 （n N ）时，假设n = k时成立，当n = k+ 1时，左端 增加的项数是（）A . 1

7、 项B . 2k项C. k 项D . k 1 项答案B1 1 1解析显然当n= k时，左边为1 + 3+，而当n = k+ 1时，左边为1 +厅+2 2 1 212k+1 1增加的项数为（2k+1 1) (2k 1) = 2k 项.故选 B.7. （文）在厶ABC中，角A, B所对的边长为 a, b,贝厂a= b”是“ acosA = bcosB”的（）A .充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件答案A解析a = b? A= B? acosA = bcosB，条件是充分的；acosA = bcosB? sinAcosA= sinBcosBsin2A= sin2B?

8、 2A = 2B或2A+ 2B= n即A= B或A+ B=扌，故条件是不必要的.（理）“a氏丫成等差数列”是等式 sin（ a+ Y= sin2 B成立”的（）A 必要不充分条件 B .充分不必要条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件答案B解析sin（ a+ Y= sin2 3,可得 a+ = 2 3+ 2k n k Z）,或 a+ = n 2 3+ 2k n k Z）,-选 B.&平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立 体几何中，“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，两二面 角”（）A .互补B .相等C .互补或相等D .关系

9、不定答案D解析如图，二面角 a l 3平面y-L 3直线I丄a I与丫相交于P,则过I的任意平 面3与a垂直且与丫相交成二面角，此二面角的大小不定，当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，这两个二面角没有任何大小关系，故选D.nA . ? x 0 , Qi, sinx+ cosx22B . ? x (3, +8 ), x2x+ 1C . ? x R, x2+ x=- 1D. ? x n， n, tanxsinx答案Bn ,n n_ n3 n解析对于 A , sinx+ cosx= . 2sin x+4，由x 0, ,x+ 4 4,，则10 解得，x1 + 2或 x2x+

10、1恒成立；对于 C, x + x+ 1 = x + 2 + 44，二方程x + x= 1无解，故C错；对于 D，当 x (才，n), tanx0，故 D 错.10.(文)“2w aw 2”是“实系数一元二次方程x2+ ax+ 1= 0有虚根”的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A22解析由方程x + ax+ 1 = 0无实根可得 = a 40? 2a2,2故可知2w aw 2是方程x + ax+ 1= 0有虚根的必要不充分条件.(理)命题p:方程x2 x+ a2 6a = 0有一正根和一负根；命题 q：函数y= x2+ (a 3)x+ 1

11、的图象与x轴有公共点.若命题“ p或q”为真命题，而命题“ p且q”为假命题，则实数 a 的取值范围是( )A . (1,5) U 6 , +8 )B . ( 8, 0 U (1,5)C . ( 8, 0 U 6 , +8 )D . ( 8, 0 U (1,5) U 6 , +8 )答案D解析 令 f(x)= x2 x + a2 6a,则命题 P? f(0)0? a2 6a0? 0a 0? a5或a 1根据题意知命题 p与命题q 真一假，当命题 p真且命题q假时， a (1,5);当命题 q 真且命题 p 假时，a (,0 U 6 , + ).综上所述，a (,0 U (1,5) U 6 ,

12、+ ).故选D.2 211.(文)(2019广东中山)两个数1和9的等差中项是a,等比中项是b，则曲线号+ y = 1 a b( )A.gB. 丁4C.4D申或专55答案D解析由条件知，a= 5, b = 3,当 b= 3 时，曲线b= 3 时，2 2曲线*y3=53=1的离心率e=響.V55的离心率为a、2 10B、C的对边分别为 为x+1=i的离心率e=%5当(理) ABC的三内角A、 cosC成等差数列，则 ABCA 等边三角形C 直角三角形答案A解析/ cosA, cosB,b、c,且 a、b、c 成等比数列，cosA、cosB、 ( )B 等腰三角形D 等腰直角三角形cosC成等差数

13、列,A+ C A C 2cosB= cosA+ cosC = 2cos2 cos 2B A C =2si ncos-,2A c cos(A C)= 2cos 1 =22B2cos2B 1,sin 2T a, b, c成等比数列，- b2= ac, - sin2B= sinAsinC, 2sin b = cos(A C)+ cosB, cos(A C)= 2sinB cosB,将代入整理得：(2cosB 1)(cosB 3)(cos B+ 1) = 0.1T 0B n, cosB = _2-B = 3, cos(A一 C) = 1,3nT n C n , A= C, A= B = C =,3从而

14、 ABC为等边三角形，故选 A.322312 .观察等式：sin 30 + cos 60 + sin30 s60 = 4, sin 20 + cos 50 + sin20 s50 = 4和3sin215+ cos245+ sin 15 Cos45=：，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()4223sin a+ cos 3+ sin ocos 3= 4223sin ( a 30 ) + cos a+ sin( a 30 cos a= 4223sin (a 15 + cos (a+ 15)+ sin( a 15cos( a+ 15 = 4sin2答案解析命题为A.选2。o 3a+ cos (

15、a+ 30 ) + sin acos( a+ 30 )= 4AA.观察已知等式不难发现，60 - 30 50 -20 45 - 15 30 从而推断错误的第n卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)2 213. 方程& + 七 =1表示曲线C,给出以下命题：4 t t 1 曲线C不可能为圆； 若1t4,则曲线C为椭圆； 若曲线C为双曲线，贝U t4; 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t|其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).答案解析显然当t= 2时，曲线为x2+ y2 = 2方程表示一个圆；而当1t4，且X|时，方5程表示

16、椭圆；当t4时，方程表示双曲线，而当1tt 10,方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为 .14. 已知命题甲：a +4,命题乙：1且3,则命题甲是命题乙的 条件.答案既不充分也不必要解析当a+ b丰4时，可选取a= 1, b = 5,故此时a丰1且b丰3不成立(t a= 1).同样，1且3时，可选取a= 2, b = 2,此时a + b= 4,因此，甲是乙的既不充分也不必要条件. 点评可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件.15. (文)若数列an是等差数列d不为0, m, n, p是互不相等的正整数，则有 (m n)ap+ (n p)am + (p m)an= 0,类比上述结论，相应地，在等比

17、数列bn中，有.答案n bmp bnm= 1解析在等差数列中，通过观察可以发现 m, n,p的出现规律，再将等式展开可以得到：(m n)ap+ (n p)am+ (p m)an= (m n)(p 1) + (n p)(m 1)+ (p m)(n 1)d= 0, 故在等比数列中有bm-n bm-p bS-m=b(m n)+ (n p) + (P mfm n)(p_ 1) + (n_ p)(m_ 1) + (p_ m)(n_ 1)=故填 匕“-nP = 1(理)在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是a, 3,则有COS.类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条

18、棱所成的角 3, Y则有正确的式子是. 2 2 2 ,+ COS 3= _分别为a,答案解析设长方形的长和宽分别为X, y,则有COS2 a+ COS 3=寸2 2 2设长方体的长、宽、高分别为X,y,Z,则有COS a+ COS 3+ COS =X 22 +x + y,2 | 2 + y + zyr y#x2+ y2 + z21 COS a+ COS 3+ cos y= 1=1.f z 2 寸 X + y2 + z2 J16. 如果一个自然数 n,我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称为自然数n的一个“分拆”.如9 = 4 + 5= 2+ 3 + 4，我们就说“ 4 + 5”与“ 2+

19、3+ 4”是9的两个“分拆”.请 写出70的三个“分拆”：70=.答案16+ 17 + 18+ 19,12 + 13+ 14+ 15+ 16,7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13解析若分拆成两个数的和，则应为奇数；若分拆成三个数的和，则70应能被3整除，显然不行；若分拆成 4个数的和，则分两组，每组和为 35，即35= 17+ 18= 16+ 19 ;若分拆 成5个数的和则中间一个数为 70= 14,即12+ 13+ 14+ 15 + 16, / 70不能被3整除，故也不5能分拆成6个数的和；若分拆成 7个数的和，则中间一个数应为 = 10,即6+ 8+ 9 + 10+ 11+ 1

20、2+ 13,若分拆成10个数的和，则中点两个数的和为2 = 14,显然不行.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)给出下列命题：(1) p： x 2= 0, q: (X 2)(x 3) = 0.(2) p :两个三角形相似；q :两个三角形全等.(3) p： m 2； q：方程 x2 x m= 0 无实根.(4) p： 一个四边形是矩形；q :四边形的对角线相等.试分别指出p是q的什么条件.解析(1) x 2 = 0? (x 2)(x 3)= 0； 而(x 2)(x 3) = 0? / x 2= 0. p是q的充分不必要条件

21、.(2) /两个三角形相似？ /两个三角形全等; 但两个三角形全等？两个三角形相似. p是q的必要不充分条件./ m 2?方程x2 x m = 0无实根；2方程x x m = 0无实根？ / m0，且a丰i,则对任意实数 x, ax0;(2) 对任意实数 xi、X2,若 Xix2，则 tanxitanx2；(3) ? T R，使 |sin(x+ T)|= |sinx|;2(4) ? x R，使 x + 10(a0,1)恒成立，命题(1)是真命题.(2) 存在 xi = 0, X2= n xi0, 命题是假命题.20. (本小题满分12分)先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：已知 a1, a

22、2 R, a1 + a2= 1,求证：ai+ a2证明：构造函数 f(x)= (x ai)2+ (x a2)2,f(x) = 2x2 2(ai+ a?)x+ a1+ a；= 2x2 2x+ af+ a；因为对一切 x R，恒有 f(x) 0，所以= 4 8(a2 + a；)w 0，从而 a1+ a2 |.(1) 若ai, a2, a3,，an R, ai +玄:+十an= 1,试写出上述结论的推广式；(2) 参考上述证法，对你推广的结论加以证明.2 2 2 1 解析 设若 ai, a2, a3,，anR, ai + a2+ an= 1,求证：ai+ a2+ an.222(2)证明：构造函数 f

23、(x)= (x ai) + (x a2)+ + (x an)=n x2 2(ai + a2 + + an)x+ ai+ a2+ + a2=n x2 2x+ a2 + a2+ + a,对一切 x R 恒有 f(x) 0.= 4 4n(ai+ a2+ + a)w 0, a2+ a2+ + a2 1n2i.(本小题满分i2分)设函数f(x) = (x+ i)l n(x+ i),若对所有的x 0,都有f(x) ax成立， 求实数a的取值范围.解析令 g(x)= (x+ i)ln(x+ i) ax,贝yg (x)= In(x+ i)+ i a, 令 g (x)= 0,解得 x= ea i i.(1) 当 a0, g (x)0.所以g(x)在0,+)上是增函数.又 g(0) = 0，所以对 x 0,有 g(x) g(0),即当a 0，都有f(x) ax.(2) 当 ai 时，对于 0xea i i, g (x)0, 所以g(x)在(0, eai i)上是减函数.又 g(0) = 0，所以对 0xea- i i，有 g(x)g(0),即 f(x)i时，不是对所有的x0,都有f(x) ax成立.综上所述a的取值范围是(, i.i2*22. (本小题满分i4分)(文)在数列an中，ai= i, an+i= i 嬴,bn= ?a i,其中n N .(i)求证：数列bn是等差数列；求证：在数列an