虚功原理和位移计算

1、第6章 虚功原理和结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures,A点水平位移,A截面转角,B点水平位移,B截面转角,相对线位移,相对角位移,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures,引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移,为什么要计算 位移,铁路工程技术规范规定,

2、二、 计算位移的目的,1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高,2) 超静定、动力和稳定计算,3）施工要求,3）理想联结 (Ideal Constraint,三、 本章位移计算的假定,叠加原理适用（principle of superposition,1) 线弹性 (Linear Elastic,2) 小变形 (Small Deformation,四、 计算方法,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method,4.

3、2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work,一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,4.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work,一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work,力状态,位移状态,虚力状态,虚位移状态,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （

4、3）位移状态与力状态完全无关,4.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work,二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement,一个力系作的总虚功 W=P,P-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,1）刚体系的虚位移(功)原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为

5、零,三、变形体的虚功原理,原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We =Wi,2）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi,变形体虚功原理的证明,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利

6、用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi,变形体虚功原理的证明,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=d

7、Wi =Wi,故有We=Wi成立,几个问题,1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题,2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构,3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解,Wi 的计算,Wi =N+Q+Mds,微段外力,微段变形可看成由如下几部分组成,4）变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，变形互不耦连，略去高阶微量，有,We =N+Q+Mds,Wi 的

8、计算,微段外力,4）变形体虚功方程的展开式,We =N+Q+Mds,对于刚体，、均为零,We =0,这就是刚体虚功原理。刚体虚功原理是变形体虚功原理的一个特例,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method,四、位移计算一般公式,4.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,求k点竖向位移,由变形体虚功方程,变形协调的 位移状态(i,平衡的力 状态(P,We =Wi,We =P iP = iP,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖

9、向）设置单位荷载,4.3 荷载作用产生的位移计算,变形协调的 位移状态(P,平衡的力 状态(i,We =Wi,We = iP,适用于各种杆件体系(线性,非线性,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,求k点竖向位移,变形协调的 位移状态(p,平衡的力 状态(i,适用于各种杆件体系(线性,非线性,对于由线弹性直杆组成的结构，有,适用于线弹性 直杆体系,例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移,解：构造虚设单位力状态,对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计,位移方向是如 何确定的,例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知,解：构造虚设的力状态如图示,

10、小曲率杆可利用直杆公式近 似计算;轴向变形,剪切变形对位 移的影响可略去不计,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,1.梁与刚架,二.位移计算公式,2.桁架,3.组合结构,4.拱,这些公式的适 用条件是什么,解,例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移,NP,Ni,练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移,NP,Ni,例: 1)求A点水平位移,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,二.位移计算公式,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功,三.单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,试确定

11、指定广义位移对应的单位广义力,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力,在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法,3.4 图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications,刚架与梁的位移计算公式为,一、图乘法,对于等 截面杆,对于直杆,图乘法求位移公式为,图乘法的 适用条件是 什么,图乘法是Vereshagin于 1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院 的学生,例. 试求图示梁B端转角,解,MP,Mi,为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正,例. 试求图示

12、结构B点竖向位移,解,MP,Mi,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,二次抛物线,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解,三、图形分解,MP,Mi,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可,三、图形分解,求,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线,能用 Mi图面积乘 MP图竖标吗,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图乘法小结,1. 图乘法的应用条件,1）等截面直杆，EI为常数,2）两个M图中应有一个是直线,3） 应取自直线图中,2. 若 与 在杆件

13、的同侧， 取正值；反之，取负值,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形,例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移,三、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角,三、应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零,作变形草图,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如,求B点水平位移,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩

14、图,注意:各杆刚度 可能不同,练习 已知 EI 为常数，求A点水平位移,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点竖向位移,EI=常数,例 已知： E、I、A为常数，求,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,4. 5 静定结构温度变化时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes,4. 5 静定结构温度变化时的位移计算,变形体虚功方程为,We =Wi,We =1kP,其中,荷载作用求K点竖向位移,We =1k

15、P,温度作用求K点竖向位移,Wi =Nit + Qit +Mikt ds,关键是计算微 段的温度变形,设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为,微段的温度变形分析,无剪应变,若,温度引起的位移计算公式,对等 截 面 直 杆,上式中的正、负号,若 和 使杆件的同一边 产生拉伸变形，其乘积为正,例： 刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m,解：构造虚拟状态,例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角,解：构造虚拟状态,Ni,4.6 静定结构支座移动时的位

16、移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement,6. 静定结构支座移动时的位移计算,变形体虚功方程为,We =Wi,We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3,Wi =0,其中,计算公式为,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,制造误差引起的位移计算,每个上弦杆加长8mm,求 由此引起的A点竖向位移,4.7 线弹性结构的互等定理 （Reciprocal Theory in Linear Structures,线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理,方法一,由W1=W 2,先加广义力P1后再加广义力P2,先加广义力P2后再加广义力P1,由虚功原理,线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功,功的互等定理,2. 位移互等定理,单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力2