双曲线的简单几何性质学案

1、2.2双曲线的简单几何性质(二)岀题人：李秋天陈继波邹玉超【学习目标】：1 使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3 并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题.4 通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 .【学习重点】：双曲线的渐近线、离心率.【学习难点】：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系+一、自主学习1. 范围、对称性2 2由标准方程笃爲 1，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方 a2b2向来看

2、，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线+双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心+双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3 渐近线X2 y2过双曲线 亍1的两顶点Ai,A2，作Y轴的平行线x a，经过Bi,B2作X轴的a b平行线y b，四条直线围成一个矩形 +矩形的两条对角线所在直线方程是y -xa(-y 0)，这两条直线就是双曲线的渐近线 ”a b4 等轴双曲线定义：等轴双曲线的性质：(1 )渐近线方程为： ;(2)渐近线互相 ; ( 3)离心率-等轴双曲线可以设为：2 2x y(0),当0时交点在轴，当0时焦点

3、在轴上+5 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y -x-x(k0)，那么此双曲线方程就a -ar曰疋疋：2x(-0)72y(kb)21(-0)或写成2 x 2 ab26双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置, 然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的 一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7.离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比2c ce，叫做双曲线的离心率.2a a范围：e 1双曲线形状与e的关系:1 ,因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由

4、此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔(1) 双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2) 渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约.&离心率相同的双曲线X2(1)计算双曲线-421的离心率e09(2)离心离为eo的双曲线- -定是2I 1吗？举例说明9如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢?13(3)离心率为-一的双曲线有多少条?2ca2 21分析：e 一 1 ()2 J1 (一)2的关系式，并从中发现只要实现半轴a aaka和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k： 1(k0)的双曲线，其离心率e都是-139 共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双

5、曲线称为原双曲X22线的共轭双曲线X 如一16注意的区别：三量 a,b,c中a,b不同（互换）c相同.通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线.此即为共轭之意*1）性质：共用一对渐近线+双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1.3）共用同对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为2 x2 y2（0），当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上+1k2、合作探究:例1求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.Yi例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m,

6、上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程（精确到1m）.C*13-c25 B分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为 X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中 的条件借助坐标系用数学语言表达出来.三、课堂练习：1 .方程mf+ ny2 + mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标是(A)(0,. m n ) (B

7、)(0,. n m ) (C)(. m n ,0) (D)(. n m ,0)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是22222x2e yxx2 2x(A)-y=1和y- =1(B)-y =1 和 y -C)y2x=1和x2-y =1(D)x-y 2=1 和 x -y =13339323.与双曲线2厶 1有共同的渐近线，且经过点A( 3,2. 3的双曲线的一个焦点到一16条渐近线的距离是(A) 8()(B) 4(C) 2(D) 1(A) x2、3x为渐近线，一个焦点是F (0, 2)的双曲线方程为x2(C)-1 (D)X22y3122kx +4y =4

8、k的离心率小于(B) (-3,0)5 .双曲线(A) (- R ,0 )6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.5k的取值范围是(C) (-12,0)4,动点P满足|PA|-|PB|=3, 则|PA|的最小值为)(D) (-12,1)四、能力拓展1 .已知双曲线b2x2 a2y2 = a 2b2的两渐近线的夹角为2 ，则离心率e为()(A)arcsin(B) cos(C) sec(D)tg2b2. 一条直线与双曲线两支交点个数最多为()(A)1(B)2(C)3(D)43 .双曲线顶点为(2, 1),(2,5)，渐近线方程为3x 4y + c = 0,则准线方程为()(A) X2 16(B)16(C)(D)4.与双曲线2=1（m *0）共轭的双曲线方程是n(A)(B)2X1 (C)m1 (D