对数函数 典型例题

1、;对数函数例1 求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y= 解：（1）令x2-4x-50，得（x-5）（x+1）0，故定义域为 xx-1，或x5（2）令 得 故所求定义域为x-1x0，或0x2（3）令 ，得 故所求定义域为xx-1- ，或-1- x-3,或x2说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零例2 求下列函数的单调区间（1）y=log2（x-4）； （2）y=log05x2解：（1）定义域是（4，+），设t=x-4,当x4时，t随x的增大而增大，而y=

2、log2t，y又随t的增大而增大，（4，+）是y=log2（x-4）的递增区间（2）定义域xxR，且x0，设t=x2，则y=log05t当x0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小，（0，+）是y=log05x2的递减区间当x0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小，（-，0）是y=log05x2的递增区间例3 比较大小：（1）log0713和log0718（2）（lgn）17和（lgn）2（n1）（3）log23和log53（4）log35和log64解：（1）对数函数y=log07x在（0，+）内是减函数因为1318，所以log0713log0718（2）把lgn看作指数函数的底，

3、本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论若1lgn0，即1n10时，y=（lgn） x在R上是减函数，所以（lgn）12（lgn）2；若lgn1，即n10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）17（lgn）2（3）函数y=log2x和y=log5x当x1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方这里x=3，所以log23log53（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为log35log33=1=log66log64，所以log35log64评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小

4、题，可直接利用例2中的说明得到结论例4 已知函数f（x）=loga（a-ax）（a1），（1）求f（x）的定义域、值域（2）判断并证明其单调性（3）解不等式f-1（x2-2）f（x）解：（1）要使函数有意义，必须满足a-ax0，即axa因为a1，所以x1；又因为0a-axa，所以f（x）=loga（a-ax）（a1）的值域为（-，1）（2）设x1x21，则a a a（因为a1）所以a-a a-a 0，所以loga（a-a ）loga（a-a ），即f（x1）f（x2）所以f（x）这（-，1）上的减函数（3）设y=loga（a-ax），则a-ax=ay,ax=a-ay,x=loga（a-ay）,

5、所以f-1（x）=loga（a-ax）（x（-，1），f（x）=f-1（x）由f-1（x2-2）f（x）有f（x2-2）f（x）,且f（x）为（-，1）上的减函数，所以x2-2x,x1,解得-1x1评析 知道函数值大小关系和函数单调性，要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间例5 已知f（x）=2+log3x，x1，9，求y=f（x）2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值分析 要求函数y=f（x）2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域解：f（x）=2+log3x，y=f（x）2+f（x2）=（2+log3x）

6、2+2+log3x2 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3函数f（x）的定义域为1，9，要使函数y=f（x）2+f（x2）有定义，就须 1x3 0log3x16y=（log3x+3）2-313当x=3时，函数y=f（x）2+f（x2）取最大值13说明 本例正确求解的关键是：函数y=f（x）2+f（x2）定义域的正确确定如果我们误认为1，9是它的定义域则将求得错误的最大值22其实我们还能求出函数y=f（x）2+f（x2）的值域为6，13例6 （1）已知函数y=log3（x2-4mx+4m2+m+ ）的定义域为R，求实数m的取值范围

7、；（2）已知函数y=logax2+（k+1）x-k+ （a0，且a1）的值域为R，求实数k的取值范围点拨：题（1）中，对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+ 0恒成立；题（2）中，x2+（k+1）x-k+ 取尽一切正实数解：（1）x2-4mx+4m2+m+ 0对一切实数x恒成立，=16m2-4（4m2+m+ ）=-4（m+ ）0， 0又m2-m+10，m-10，m1（2）yR，x2+（k+1）x-k+ 可取尽一切正实数=（k+1）2-4（-k+ ）0，k2+6k0，k0，或k-6评析 本题两小题的函数的定义域与值域正好错位（1）中函数的定义域为R，由判别式小于零确保；（2）中函数的值域为R，

8、由判别式不小于零确定例7 求函数y=log05（-x2+2x+8）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2x4）的单调性相反解-x2+2x+80， -2x4， 原函数的定义域为（-2，4）又 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1上为增函数，在1，4）上为减函数，函数y=log05（-x2+2x+8）在（-2，1上为减函数，在1，4）上为增函数评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集例8 已知a0且a1，f（logax）= （x-x-1）（1）求f（x）;（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）对于f（x）,当x（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）0，求m的取值范围分析 先用换元法求出f（x）的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第（3）小题解：（1）令t=logax（tR），则x=at，且f（t）= （at-a-t），f（x）= （ax-a-x）（xR）（2）f（-x）= （a-x-ax）=-f（x），且xR，f（x）为奇函数a1时，ax-a-x为增函数，并且注意到 ，这