复变函数讲解第二章解析函数.pptx

1、第二章 解析函数,2.1 解析函数,2.2 函数可导的充要条件,2.3 初等解析函数,2.1 解析函数,1 复变函数的导数,2 解析函数,2.1.1 复变函数的导数,1) 导数的定义,定义2.1设 是定义在区域D上的,存在，则称 在 点可导, 并把这个极,限值称为 在 点的导数，记做,复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限,定义中的极限式可以写为,即当 在 点可导时,此时，对D内任意一点z, 有,也可用,等表示 在z点的导数,若 在区域 D内每一点都可导, 则称,在区域 D内可导,处处可导，且,解因为,所以,连续，但处处不可导,证明对复平面内任意点z, 有,故,但是,设 沿着平行于x 轴的

2、,方向趋向于 0, 即,不存在,设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即,2) 可导与连续的关系,函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但函数 f (z)在z0处连续不一定在z0处可导,3) 求导法则,复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同,求导公式与法则,其中,是两个互为反函数的单值函数, 且,2.1.2 解析函数,定义2.2 设 在区域D有定义,1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得,在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析,也称 是 的解析点,

3、2) 若 在区域D内每一点都解析，则称,在区域D内解析, 或者称 是区域D内的,解析函数,3) 设G是一个区域，若闭区域,且 在G内解析，则称 在闭区域 上,解析,函数 在 处解析和在 处可导意义,不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,但后者只要求在 处可导,复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的,事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导,反之, 设函数 在区域D内可导, 则对,任意 存在z的某一个邻域U, 使得U D,由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即,在z处解析,若函数 在 处不解析，则称 是,的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内,除 外, 没有其他的奇点，则称

4、 是函数,的孤立奇点,由例2.1和例2.2知, 函数 是全,平面内的解析函数，但是函数,是处处不解析的连续函数,根据求导法则，易得到下面的结论,设函数 在区域D内解析, 则,也在D内解析. 当 时, 是,的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点,例2.3证明 在 处可导,但处处不解析,证明根据导数的定义,因此 在 处可导，且,当 时, 由 得,故,z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别,以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为,所以 不存在，即,在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析,2.2 函数可

5、导的充要条件,2 函数可导的充要条件,1 函数可微的概念,复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数 可微与可导的关系,2.2.1 函数可微的概念,定义2.3设函数 在 的某邻域内有定义,若存在复常数A, 使得,其中 则称 在 点可微,引理复变函数 在点 可导的充分必要,条件是 在 点可微，且,证明若 存在，设 则,令 则,且,反之，如果,则,令 则 存在,这个引理表明, 函数 在 可导与在,可微等价,与一元实函数类似, 记,称之为 在 处的微分,如果函数 在区域D内处处可微, 则称,在区域D内可微, 并记为,2.2.2 函数可导的

6、充要条件,定理2.1复变函数,在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要,条件是二元函数 在 处都,可微，并且满足Cauchy-Riemann方程,此时,证明必要性. 若 存在，设,a, b是实常数,由,其中,显然, 当 时,则 于是有,由两个复数相等的条件可得,设,因此， 在 处可微，且,充分性. 若 在 处可微,且满足Cauchy-Riemann方程. 令,则,其中 且当 时,于是,由 可得,并有如下结论成立,定理2.2复变函数,在区域D内解析的充分必要条件是,在区域 D 内可微, 且在D内满足Cauchy-Riemann,方程,在区域 D内,解析函数的判定方法,1) 如果能够用求导公式或求

7、导法则验证复 变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直 接断定f (z) 在区域D内解析,2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函 数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连 续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满 足Cauchy-Riemann方程, 则由解析函数的充要 条件可以断定函数f (z)在区域D解析,例2.4 讨论下列函数的可导性和解析性,例2.5 如果f(z)在区域D内解析，且满足下列条件之一，则 f(z)在D内为常数,和 在全平面内处处可微，但,只有在实轴 上满足Cauchy-Riemann方程,所以 在

8、实轴上可微. 但在任何一点的邻域,内都有不可微的点，因此， 处处不解析,例2.6设 问,在何处可微? 是否解析,解记 显然, 函数,例2.7设,其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z,在复平面上解析,解显然,在全平面可微，且,容易看出, 当 时, 函数,满足Cauchy-Riemann方程, 这时,函数 在全平面解析,Cauchy-Riemann方程在解析函数论及力学、物理学等的应用中具有根本性的意义, 特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用,一、调和函数的定义,二、解析函数与调和函数的关系,2.2.3 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的定义,调和函数在

9、流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用,称为Laplace算子,注,二、解析函数与调和函数的关系,1. 两者的关系,证,根据解析函数高阶导数定理（后面我们会提到,则满足CR方程,证毕,例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析,注：定理反之不正确,三、共轭调和函数的定义,设函数u(x,y)及v(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程,则称v是u的共轭调和函数,显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。 反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造的一个复变函数一定是解析的吗,二、解析函数与调和函数的关

10、系,2. 两者的关系,定理二 复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数,四、解析函数的构造,由上面定理可知，给定一个调和函数u(x,y) （或v(x,y)） ，我们可以利用C-R方程求出对应的v(x,y) （或u(x,y)） ，从而可以构造出一个以u(x,y)为实部，以v(x,y)为虚部的解析函数,例3,解,有,原函数法,解(法二,偏积分法,例4,解,所求解析函数为,2.3 初等解析函数,1 指数函数,2 对数函数,3 幂函数,4 三角函数和双曲函数,由,2.3.1 指数函数,在z平面上解

11、析，且 当z为实数, 即,当 y=0时, 与通常实指数函数一致, 因此,给出下面定义,定义2.4假设 则由,可知, 函数,定义复指数函数，记,或简记为,显然,定理2.3 设 为指数函数，则 在全平面,解析， 且,即,证明只证明(1) . 令,由指数函数定义,例2.8求 的实部与虚部,解令 因为,所以,从而有,2.3.2 对数函数,定义2.5指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方程 的函数 称,为z的对数函数，记作,令 则由,可得 从而由复数的相等的定义知,即 其,中k为整数, 或,所以,由于 是多值的，所以 是多值函数,如果记 则对数函数可写为,对应某个确定的k, 称为对数函数的第k个,个分

12、支, 对应 k=0 的分支，称为对数函数主支,于是 即是对数主支, 称,为对数函数的主值,对数函数各分支之间，其虚部仅差 的,倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定 k的值,时, 的值就被确定,例如, 如果给定分支的虚部落在区间,中，那么 即取 k=0 的那,个对数分支,如果给定分支的虚部落在区间 中,那么 即取 k=1 的那个,对数分支. 这可在,中取 k=1 得到,三种对数函数的联系与区别,利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复 变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与 商的相应公式,在实函数对数中，负数不存在对数；但在 复变数对数中，负数的对数是有意义的. 例如,对数函数的解析性,在除原点外

13、的复平面上处处连续; 但其虚,并且,证明记,有,对于其他各给定的对数分支，因为,k确定,解因为,所以,于是,事实上，以上结果还可以由,直接得到,2.3.3 幂函数,利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任 何复数，则定义z的a次幂函数为,幂函数的基本性质,多值函数,因为,将两式相加与相减, 得,定义2.7定义三角函数与双曲函数如下,正弦函数,余弦函数,2.3.4 三角函数和双曲函数,双曲正弦函数,双曲余弦函数,当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、 双曲正弦、双曲余弦函数是一致的,正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个,复平面上都是解析的,容易证明,并且具有下面的一些性质,为偶函数,3) 一些

14、恒等式关系仍成立,4) 三角函数与双曲函数满足关系式,因为,这与实正弦函数有本质区别. 余弦函数类似,所以,复变函数,连续,初等解析函数,判别方法,可导,解析,指数函数,对数函数,三角函数,双曲函数,幂 函 数,本章内容总结,本章的重点,1. 解析函数的概念,2. 函数解析的充要条件,3. 初等解析函数,Augustin Louis Cauchy,1789.8.21-1857.5.23,法国数学家, 历史上有名的,大分析学家. 1805年入理工科大,学, 1816年成为那里的教授,他给出了微积分的严密基础, 同时其工作遍及,数学的各个领域, 而且在天文学、光学、弹性力学,等方面也做出了突出的贡献. 他的论文超过了七百,篇, 在数量上仅次于Euler. 他甚至研究过诗