高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程 北师大版必修2

1、2.2圆的一般方程,1.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这时这个方程叫作圆的一般方程,做一做1圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为() A.(0,2),2B.(2,0),4 C.(-2,0),2D.(2,0),2,解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2.故选D,答案:D,2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,做一做2方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是() A.k2C.k2D.k2,解析:依题意有(-4)2+42-4(10-k)0,解得k2,

2、答案:B,答案:(1)(2)(3)(4,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一对圆的一般方程的理解,例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0. (1)若该方程表示圆,求m的取值范围; (2)若该方程表示一个半径等于4的圆,求其圆心坐标,分析:根据二元二次方程表示圆的条件建立m的不等式求解,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1下列方程中表示圆的是() A.x2+y2-2x+2y+2=0 B.x2+y2-2xy+y+1=0 C.x2+2y2-2x+4y+3=0 D.x2+y

3、2+4x-6y+6=0,解析:二元二次方程若表示圆,须满足x2,y2系数相同,没有xy项,且D2+E2-4F0,即可排除A,B,C,故选D,答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究二待定系数法求圆的一般方程,例2】ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求ABC的外接圆的方程,分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2求圆心在直线3x+2y

4、=0上,并且与x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点的圆的方程,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究三用圆的几何性质求圆的方程,例3】 经过A(-2,4),B(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6,求圆的方程,分析:由于圆心在线段AB的垂直平分线上,可以先求AB的中垂线方程,然后设出圆心坐标,建立方程,再求半径,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,所以AB的中垂线方程为y=x+1,于是设圆心的坐标为(a,a+1), 由圆的几何性质知(a-3)2+(a+2)2=32+(a+1)2, 解得a=1或3. 当a=1时,圆心为(1,2),r2=13,所以圆的方程为(x-1)2+

5、(y-2)2=13; 当a=3时,圆心为(3,4),r2=25,所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 综上所述,圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13或(x-3)2+(y-4)2=25,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程,解:AB边的垂直平分线的方程为x+7y-9=0, BC边的垂直平分线的方程为x+y-3=0, 联立得,圆心坐标为(2,1,ABC外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,探究一,探究二,探究三,探究四,易错

6、辨析,探究四与圆有关的轨迹问题,如图所示,已知点A(-1,0),B(1,0),点C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:设动点P(x,y),连接AD. 由题意可知点P是ABD的重心. 设动点C(x0,y0)(y00), 则D(2x0-1,2y0)(y00). 因为A(-1,0),B(1,0,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的

7、轨迹,分析:M是AB的中点,点B是一个不动点,点A在圆上运动,因此点M的轨迹由点A决定,所以只要找到A点与M点坐标之间的关系,再由点A在圆上运动就可得到点M的轨迹方程,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因忽视二元二次方程表示圆的条件而致误,典例已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围. 错解:点A在圆外,a2+4-2a2-32+a2+a0, a2,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,求2x

8、2+y2的最值,解:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x0, 解得0 x2, 所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-10,8, 当x=0时,2x2+y2取最小值0, 当x=2时,2x2+y2取最大值8, 故2x2+y2的最小值为0,最大值为8,1 2 3 4 5,1.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为() A.2,4,4B.-2,4,4 C.2,-4,4D.2,-4,-4,答案:B,1 2 3 4 5,2.若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是 (,解析:因为方程x2+y2-x+y-m=0表示圆,所以(-1)2+12+4m=4m+20,即m,故选A,答案:A,1 2 3 4 5,3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是,解析:依题得圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0). 因为直线x+y=0的斜率为-1,所以所求直线的斜率为1. 故所求的直线方程为x-y+1=0,答案:x-y+1=0,1 2 3 4 5,4.若圆经过两点(2,0)和(0,-4),且圆心在直线y=-x上,则其方程为,解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意得,所以圆的方程是x2+y2-6x+6y+8=0,答案:x2+y2-6x+6y+8=0,1 2 3 4 5,