集合的基本概念和性质知识点及练习

1、集合的基本概念和性质【基本知识点】一 集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，表示，元素常用小写字母a、b、c，表示。2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做aA，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做aA，读作“a不属于集合A”。4.集合相等 如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。二 集

2、合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做.三 集合的表示方法1.常用数集 （1）自然数集：又称为非负整数集，记做N； （2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N； （3）整数集：全体整数的集合，记做Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q （5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如小于等于8的偶数构成的集合。（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有

3、限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。 注意事项：元素间用逗号隔开；元素不能重复；元素之间不用考虑先后顺序；元素较多且有规律的集合的表示：0,1,2,3，100表示不大于100的自然数构成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是xI | p(x). 注意事项：写清楚该集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；所有描述的内容都要写在集合符号内；语句力求简明、准确。 （4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。 韦恩图法：一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，

4、直观表示集合间的关系。4.列举法和描述法之间的相互转换 （1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。 （2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。四 子集 1.子集定义的三种语言文字语言：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B 的子集，记作AB（或AB），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。符号语言：对于任意aA，都有aB，则称集合A是集合B 的子集。图形语言：Venn图 若集合A是集合B 的子集，可用右图来表示两个 集合之间的关系。任何一个集合是它本身的子集。2.集合相等 如果集合A中的任何一个元

5、素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B。（AB且BAA=B） 3.真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作AB或BA（若AB，且AB，则集合A是集合B 的真子集） 4.子集的性质AA，即任何一个集合都是它本身的子集如果AB，BA，那么A=B如果AB，BC，那么AC如果AB，BC，那么AC五 空集 1.不含任何元素的集合叫做空集，记作. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3.0、0、与之间的关系 00 00 0 六 有限集合的子集的个数 1.n个元素的集合有2n

6、个子集 2.n个元素的集合有2n-1个真子集 3.n个元素的集合有2n-1个非空子集 4.n个元素的集合有2n-2个非空真子集【课后练习】一 选择题1.下列每组对象可构成一个集合的是 （ ） （A）中国漂亮的工艺品 （B）与1非常接近的数（C）高一数学第一张的所有难题 （D）不等式2x+31的解2.下列说法正确的是 （ ） （A）1,2，2,1是两个不同的集合 （B）0与0表示同一个集合（C）xQ|bxN是有限集 （D）x|xQ且x2+x+2=0是空集 3.已知a=3，A=x|x2，则 （ ） （A）aA （B）aA （C）a=A （D）aa 4.已知集合S中含有三个元素且为ABC的三边长，那

7、么ABC一定不是 （ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形 5.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ）（A）M=(3,2),N=(2,3) （B）M=2,3,N=3,2（C）M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1 （D）M=(3,2),N=(2,4) 6.用列举法表示集合x|x2-3x+2=0为 （ ）（A）(1,2) （B）(2,1) （C）1,2 （D）x2-3x+2=0 7.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 （ ）（A）x|-3x11，xQ （B）x|-3x11（C）x|-3x11，x=2k，kN （D）x|-3x4（2）5 x|x=n2+1，xN+ （-1,1） y|y=x2 （-1,1） (x,y)|y=x25.已知集合2x,x2-x有且只有4个子集，则实数x的取值范围为 6.设A=x|1x2，B=x|x-a0，若AB，则a的取值范围为 7.若集合A=x2+ax+3=0为空集，则实数a的取值范围为 三 解答题 1.已知M=2,a,b,N=2a,a,b2,且M=N，试求a和b的值.2.已知集合M=-2，3x2+3x-4，x2+x-4，若2M，求x.3.已知集合A=x|ax2-3x+2=0.若A是单元素集合