2019版九年级数学下册第三章圆试题(新版)北师大版

1、将。P向下平移，求。P与x轴相切时平移的距离cm第三章圆1. 解决与弦有关的问题垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法一一构造直角三角形在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线一一圆心到弦的距离【例】如图，平面直角坐标系中，。P与x轴分别交于 A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2(1) 求。P的半径.【标准解答】 作PC丄AB于C,连接PA. AC=CB=AB.2TAB=2 ：, AC=：.点 P 的坐标为(3,-1), PC=1.在 Rt PAC中，/ PCA=90 , PA屮PCqAC：=Jl“ (遍2=2.P的半径为2. 将。P向下平移，。P与x轴相切

2、时平移的距离为 2-仁1.r跟踪训练j1. 如图，o O的直径 CD=5cm,AB是。O的弦,AB丄CD,垂足为 M,OM： 0D=： 5.则AB的长是 ()A.2 cmB.3 cmC.4 cm171题图2. 如图。0的直径AB垂直于弦 CD,垂足是E, / A=22.5 ,OC=4,则CD的长为( )A.2 , _B.4C.4 , _D.83. 。O过点B,C,圆心O在等腰直角 ABC内部 , / BAC=90 ,OA=1,BC=6,则。O的半径为()A.IQB.2 -C.匚D.3 :2. 与圆心角、圆周角有关的问题(1) 利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化(2) 利用同弧所对的圆周角相

3、等进行角与角的转化(3) 利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件.禾U用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角【例1】如图，。O中，弦AB,CD相交于点P,若/ A=30 , / APD=70 ,则/ B等于A.30B.35C.40【标准解答】 选 C. I / APD APC的外角，/ APD=/ C+Z A;/ A=30 , / APD=70/ C=Z APD-Z A=40/ B=Z C=40【例2】如图,将三角板的直角顶点放在。0的圆心上，两条直角边分别交。0于A,B两点，点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB,则Z APB的大小

4、为 度.【标准解答】/ AOB与Z APB为；_所对的圆心角和圆周角1 1 Z APB= Z AOB= X 90 =45 .2 2答案：45【例3】如图，。0是厶ABC的外接圆,CD是直径，/ B=40 ,则Z ACD的度数是【例4】如图，四边形ABCD内接于。【标准解答】连接AD,/ CD是直径， Z CAD=90vZ B=40 , Z D=40 , Z ACD=50答案：50O,AD/ BC, Z DAB=49 ,则 Z AOC勺度数为【标准解答】 如图,在上取点M,连接AM,CM,/ AD/ BC,Z DAB=49 ,/ ABC=131 ,/ M=49 ,/ AOC=98 .答案:98

5、r跟踪训练j1. 如图,。O的直径 CDL AB,/ AOC=50 ,则/ CDB的大小为 （）A.25 B.30 C.40 D.501题图2题图2. 如图,AB是。O的直径，C,D,E都是。O上的点，则/ ACE+ BDE=()A.60 B.75 C.90 D.120 3. 如图,在。O的内接五边形 ABCDE中, / CAD=35 ,则/ B+/ E= .4. 如图,AB是。O的直径,C是弧AE的中点，CD丄AB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF.3. 切线的判定与性质(1)切线的三种判定方法 从公共点的个数来判断：直线与圆有且只有一个公共点； 从圆心到直线的距离来判断：圆心到直

6、线的距离等于圆的半径 应用判定定理：经过半径外端且与半径垂直利用切线的判定定理的两个思路连半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，则连接圆心和公共点，证明垂直作垂线,证等径：若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径(3)切线性质应用的两个思路有切点：连接切点和半径，必垂直，建直角三角形；无切点：过圆心作半径，必垂直，得切点，建直角三角形1【例1】如图，在厶ABC中，/ C=90，/ ABC的平分线交 AC于点E,过点E作BE的垂线于点F，。0是厶BEF的外接圆(1) 求证:AC是。0的切线过点E作EFU AB于点H，求证:CD=HF.【信息解读破译解题秘钥】

7、条件直译为：/ CBE=/ FB.条件翻译为:BF为圆0的直径破译:连接0E，则可得/ OBE=/ OEB整合条件，可得0曰BC.破译：整合条件得到 0EL AC，进而得到AC是。0的切线 条件翻译为 :亠, 进而得到DE=EI.破译:整合条件，得到ce=eH.破译:整合条件，得到 ECDA EHF,进而得到CD=HF.【标准解答】（1）连接0E./ BEU EF,/ BEF=90 , BF为。0的直径/ BE平分/ ABC,/ OBE=/ CBE./ OB=OE/ 0BE2 OEB./ CBE玄 OEB；. OE BC./ OEA=/ C=90 . OEL AC. AC是。O的切线.连接DE

8、./ OBE=/ CBE,. DE=EF./ BE平分/ ABC,ECL BC,EH丄 AB, EC=EH.又/ C=Z EHF=90 ,DE=EF, Rt DCE Rt FHE. CD=HF.【例2】如图，在。O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点，连接AD,BC,BD.(1)求证： ABDA CDB.若/ DBE=37 ,求/ ADC的度数.【标准解答】(1) AB,CD是直径,rAB = CDf lBD = DB. / ADB玄 CBD=90在厶ABD和 CDB中， Rt ABD Rt CDB(HL).(2) T BE是切线, AB丄 BE, / ABE=90 ,/ DBE=37，

9、/ ABD=53/ OA=OD, / BAD玄 ODA=90 -53 =37 / ADC的度数为37r跟踪训练JBE的下半圆弧的中1. 如图，以厶ABC的BC边上一点0为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为点,连接AD交BC于F,若AC=FC.(1)求证:AC是。0的切线.若BF=8,DF=m,求。0的半径r.2. 如图,AB为。0的直径,PD切。0于点C,交AB的延长线于点 D,且/ D=2/ CAD.(1)求/ D的度数.若CD=2,求 BD的长.PE,过点D作DF丄3. 如图，在厶ABC中,AB=AC,以AB为直径的。0与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点AC于点F.(

10、1)试说明DF是。0的切线.若 AC=3AE求 tanC.4. 三角形的外接圆与内切圆（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半（2）三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等直角三角形内切圆的a+b-c半径r=（其中a,b为直角边,c为斜边）.【例1】如图, ABC的外心坐标是 .x = 4,y = 5,= 9.【标准解答】/ ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，作图如图， EF与MN的交点O即为所求的 ABC的外心， ABC的外心坐标是（-2，-1）.答案:（-2，-1）【例2】 ABC

11、的内切圆。 0与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm求 AF，BD，CE 的长.【标准解答】根据切线长定理，设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zc根据题意 得x + y = 9f y + z = 14解得 Ji + z = 13.即 AF=4cm，BD=5cm，CE=9cm.跟踪训练J1. 如图所示， ABC内接于。0,若/ OAB=28，则/ C的大小是 （）A. 56 B.62 C.28 D.32 2题图2. 如图，已知。0是边长为2的等边 ABC的内切圆，则。0的面积为 .5. 正多边形的有关计算正多边形的半径、边心距

12、、边长的一半构成一个直角三角形正多边形的有关计算问题都可归结到这个直角三角形中【例】一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.【标准解答】 如图,设0,0分别是正三角形 ABC正六边形EFGHIJ的中心,分别作ODL BC于D,作0 K丄360GH于 K,连接 0B,0 G,则在 Rt 0DB中,/ B0D= =660 ,BD=a3,2/ OBD=30 . OB=2OD=2r由勾股定理得oB=oD+B&,即(2r 3) 2= : +(-as)2 z解得r3= a.6异.1 1vl 22 3K=12x x a6X a6=-,2 Z2211 1S3=6Saboe=6X x BDX 0D

13、=6 x a3Xa3=22 2同理可得 Se=12Sy Gk=12x x GKX O2 S=S宀3攀-S3_S6, ._, _-._,即 a3: a6_- - : 1.跟踪训练1. 如图，正六边形ABCDE内接于。0,若直线PA与。0相切于点A,则/ PAB=( )A.30B.35 C.45D.601题图2题图2.如图,o O是正五边形ABCDE勺外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是2 2 :A.R -r =aB. a=2Rsin 36C. a=2rtan 36D.r=Rcos 363. 图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形一一正八边形

14、AE图(1)如图，AE是。O的直径，用直尺和圆规作。O的内接正八边形 ABCDEFG不写作法，保留作图痕迹). 在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5若扇形OAD(Z AOD180 )是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的 半径等于.6. 求阴影部分面积的方法割补法将不规则图形进行割补转化为规则图形来计算【例1】如图，阴影部分的面积为 【标准解答】如图，四边形ABEF和四边形ECDF为正方形，且边长为a,那么扇形BEF的面积等于扇形 CED的面积，所以图形1的面积等于图形 3的面积，则阴影部分的面积=图形1的面积+图形2的面积=正方形ABEF 的面积=a2.答案:a2和差法将阴影部分的面积看成

15、几个规则图形面积的和或差来进行计算【例2】如图，在厶ABC中,AB=AC=10,CB=16,分别以AB,AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是()A.50 n -48B.25 n -4825C.50 n -24D. n -242【标准解答】 选B.设以AB,AC为直径作半圆交 BC于D点，连AD,如图，A25 AD丄 BC,1 BD=DC=BC=8,AB=AC=10,2 AD=炉腓=6,阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积- ABC的面积=nX 52-X 16X 6=25 n -48.2(3) 平移法通过图形的平移，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算【例3】如图，两个半圆中，

16、小圆的圆心 O在大。0的直径CD上,长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆 相切，那么图中阴影部分的面积等于 .【标准解答】把小半圆向右平移，使两个圆心重合时，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面积未变；连接0B, 作0P丄AB于P,因而阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积阴影部分的面积二二 n OB- n OP=- n (OB2-OP*丄n Bp =2 2 2 22 n .答案:2n（4）等积法将不规则的阴影部分的面积用和它面积相等的规则图形替代，然后计算规则的图形的面积【例4】如图所示，正方形ABCD内接于。0,直径MN/ AD,则阴影部分面积占圆面积的（）【标准解答】 选B.连接0

17、D,0C： MN/ AD/ BC,0N=0N四边形BOAN勺面积=四边形CODN勺面积.再根据图形的轴对称性,得阴影部分的面积=扇形D0C勺面积=圆面积.方程（组）法当阴影部分面积不好直接求解时可用列方程（组）的方法求解【例5】如图所示,正方形ABCD勺边长为a,以A为圆心作述,以AB为直径作？腑,M是AD上一点，以DM为直径，作；址与玄相外切，则图中阴影部分面积为 【标准解答】 设以DM为直径的半圆的圆心为 0,半径为r,以AB为直径的半圆的圆心为Q,连接002,则有（a-r）2-,解得：r= -a,所以 S阴影=S 扇形 DAR-T：| ,|v：.= n2; n a .72跟踪训练J1.

18、如图，扇形 AOB中，半径 0A=2,/ AOB=120 ,C是弧 AB的中点，连接AC,BC,则图中阴影部分的面积是( )B 二-21题图DE3题图2. 如图,AB 是。O 的直径，弦 CDL AB, / CDB=30 ,CD=3 则 S 阴影=()A. nB. 2 nC._ .D n3 3,若AB=4,则图中3. 如图所示,AB为半圆O的直径,C,D,E,F是餉上的五等分点，P为直径AB上的任意一点阴影部分的面积为.4. 如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,AC=BC.把厶ABC绕点A按顺时针方向旋转 45后得到 ABC,若AB=2,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴

19、影部分)的面积是.(结果保留n )5. 如图，已知在 Rt ABC中，/ B=30 , / ACB=90 ,延长CA到0,使AO=AC以 O为圆心,OA长为半径作。0 交BA延长线于点D,连接CD.(1) 求证:CD是。0的切线.(2) 若AB=4,求图中阴影部分的面积6. 如图,PA,PB分别与。0相切于A,B两点,/ ACB=60 (1)求/ P的度数若。0的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积7. 如图，四边形ABCD是 0的内接四边形，/ ABC=2/ D,连接0A,0B,0C,AC,0B与AC相交于点E.(1)求/ 0CA的度数.H!若/ C0B=M A0B,0C=2 2 ,求图中阴

20、影部分面积.(结果保留n和根号)8. 如图,AB是。O的直径连接ED,BD，延长AE交BD的延长线于点 M,过点D作。O的切线交AB的 延长线于点C.F=(1)若OA=CD=2 ,求阴影部分的面积求证：DE=DM.跟踪训练答案解析第三章圆1. 解决与弦有关的问题【跟踪训练】1. 【解析】选C连接OA,/ CD是。O的直径,AB 是。O 的弦,AB 丄 CD,. AB=2AM；CD=5cm, OD=OA=CD= X 5=一(cm),2 2 2/ OM： OD=： 5,33 5 3 OM=ODh x =(cm),S5 2 2在 Rt AOM中 ,AM=, L：A =2, AB=2AM=X 2=4(

21、cm).2. 【解析】 选 C. / A=22.5 ， COB=45在 Rt COE中 ,/ OC=4,. CE=CD=2CE=4 3.【解析】选C.过A作AD丄BC,由题意可知AD必过点O,连接OB; BAC是等腰直角三角形，AD丄BC, BD=CD=AD=3；. OD=AD-OA=2;在Rt OBD中 ,根据勾股定理，得:obM闊妙1也2. 与圆心角、圆周角有关的问题【跟踪训练】1. 【解析】选A.由垂径定理1/ CDB= / AOC=25 .22. 【解析】选C.连接AD,/ AB是。O的直径,/ ADB=90 ,由圆周角定理可知/ ADEN ACE,/ ACE+Z BDE=/ ADB=

22、90 .3. 【解析】 连接BD,贝CBD=/ CAD=35 ,因四边形 ABDE是圆内接四边形,/ ABD+Z E=180 , / ABC+/ E=215 .答案:2154. 【证明】方法一：连接BC,/ AB是直径, / ACB=90 ,即/ ACF+Z BCD=90 ,/ CDL AB,/ B+Z BCD=90 ,/ B=Z ACF, C是躺 的中点， 丄=二 Z B=Z CAF, / ACF=/ CAF, AF=CF.方法二：延长CD交圆于点H, AB是直径，CD丄 AB, 盘：=：J, C是上的中点， 丄=- 二=上二/ ACF=Z CAE, AF=CF.3. 切线的判定与性质【跟踪

23、训练】1. 【解析】 连接OA,OD则OA=OD, Z OADZ ODA,/ D为BE的下半圆弧的中点， ODL BE,ODA-Z OFD=90 , / OADZ OFD=90vZ OFDZ AFC, Z OAD-Z AFC=90 ,/ AC=FC/-Z FAC=Z AFC, Z OAD-Z FAC=90 , AC是。O的切线.(2)BF=8,DF=x/O, OF=8-r,在直角三角形 OFD中,2r +(8-r)2=（材务劄）2,解得,r=2.2. 【解析】(1) OA=OCZ A=Z ACO, Z CODZ A+Z ACO=Z A,/ D=2/ CAD/ D=Z COD,/ PD切。O于

24、C, / OCD=90 ,/ D=Z COD=45 .(2) I / D=Z COD,CD=2, OC=OB=CD=2,在 Rt OCD中 ,由勾股定理得:2 2+22=(2+BD)：3. 【解析】 连接OD,则OB=OD, / ABC玄 ODB,/ AB=AC,/ ABC玄 C,/ ODB/ C, OD/ AC,/ DF丄 AC,. DF丄 OD,/ DF经过半径OD的外端， DF是。O的切线. 连接BE, / AB为。O的直径，/ E=90 ,设 AE=k,则 AB=AC=3k, BE= -：丄=、；：=2 一 k,BE 2运k V5- tanC= .CE 3k+k 24. 三角形的外接圆与内切圆【跟踪训练】1. 【解析】选B.连接OB,：OA=OB, AOB是等腰三角形，/ OAB/ OBA,/ OAB=28 , / OAB/ OBA=28 ,/ AOB=124 , / C=62 .2. 【解析】设BC切。O于点D,连接OC,OD; CA,CB都与。O相切，解得:BD=2 -2.D/ OCD/ OCA=30 .在 Rt OCD中 ,1CD= BC=1, / OCD=30 OD=OC,在 Rt ODC中 ,OD2+CD=OC,-_ 2 _ OD= =, So o= n (OD) 2=一.,-匚答案：_5. 正多边形的有关计算【跟踪训练】1.【解析】选A.连接OA,根据