2017等腰三角形2

1、等腰三角形一、选择题1. （2017浙江省湖州市 3分）如图1，在等腰三角形 ABC中，AB=AC=4 , BC=7 .如图2,在底边BC上取一点 D，连结AD，使得/ DAC= / ACD .如图3,将 ACD沿着AD所在 直线折叠，使得点 C落在点E处，连结BE，得到四边形 ABED .则BE的长是（）13A . 4 B . C . 3 .=D . 2 三【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质.珊BE【分析】 只要证明 ABDMBE，得二=一，只要求出BM、BD即可解决问题.【解答】 解：/ AB =AC，/ ABC= / C，/ DAC= / A

2、CD，/ DAC= / ABC，/ C=Z C， CAD CBA，鱼=型 =，1 coo CD= ，BD=BC - CD= ，77/ DAM= / DAC= / DBA，/ ADM= / ADB， ADM BDA，金龙Q Q 2 _ j C DM= .，MB = BD - DM= / ABM= / C=Z MED， A、B、E、D四点共圆,/ ADB= / BEM , / EBM= / EAD= / ABD , ABD s MBE ,，：=:故选B .Q c2. （2017广西百色3分）如图，正 ABC的边长为2,过点B的直线I丄AB，且 ABC与 A B（关于直线I对称，D为线段BC上一动点

3、，则 AD+CD的最小值是（）A . 4 B .【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质.【分析】 连接CC ,连接AC交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边 三角形的性质即可得出四边形 CBA C为菱形，根据菱形的性质即可求出 AC勺长度，从而 得出结论.【解答】解：连接CC ,连接AC交I于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所 示.: ABC与厶A BC为正三角形，且 ABC与厶A BC关于直线I对称，四边形CBA C为边长为2的菱形，且/ BA C =60A C=2X 3 A B=2 3 .故选C.3. （2017广西桂林3分）已知直线y= - 3 x+

4、3与坐标轴分别交于点 A , B，点P在抛物线2y= - （x -3 ） +4上，能使 ABP为等腰三角形的点 P的个数有（）A . 3个B . 4个C. 5个D . 6个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定.【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N点，连接AC、BC, 由直线y= - =x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出 ABC等边三角形， 再令抛物线解析式中 y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究 ABP为等腰三角形，由此即可得出结论.【解答】解：以点B为圆

5、心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC ,如图所示.令一次函数 y=- 二x+3中x=0 ,则y=3 ,点A的坐标为（0, 3）;令一次函数 y=- 二x+3中y=0，则- =x+3,解得：x=二，点B的坐标为（.二，0）. AB=2 .抛物线的对称轴为 x= _,点C的坐标为（2，3）, AC=2 一=AB=BC , ABC为等边三角形.令 y= - . （X - _） 2+4 中 y=0，则-.（x - _） 2+4=0 ,解得：x=-， 或 x=3-.点E的坐标为（- Vs，0），点F的坐标为（3忑,0）. ABP为等腰三角形分三种情况： 当AB=BP时，以B点

6、为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点; 当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； 当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；能使 ABP为等腰三角形的点 P的个数有3个.故选A .4. （2017贵州安顺3分）已知实数x, y满足：，则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A . 20 或 16B . 20C. 16D .以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.【解答】解：根据题意得z=4解得i y=E,(1 )若4是腰长，则三角形的三

7、边长为：4、4、8,不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、& 8，能组成三角形，周长为 4+8+8=20 .故选B .【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.根据题意列出方程是正确解答本题的关键.5. (2017湖北武汉3分)平面直角坐标系中，已知A(2, 2)、B(4, 0).若在坐标轴上取点。，使厶ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A. 5B .6C. 7D . 8【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰

8、三角形，分别以 A , B为圆心，以AB的长为半径作圆；作 AB的中垂线.如图，一共有 5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。y A6. (2017辽宁丹东3分)如图，在？ABCD中，BF平分/ ABC，交AD于点F, CE平分/ BCD，交 AD 于点 E, AB=6 , EF=2，贝U BC 长为()A . 8B . 10C. 12D. 14【考点】平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出/ ABF= / AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出 BC的长.【解答】 解：/四边形ABCD是平行四边形， AD / BC , DC=

9、AB=6 , AD=BC ,/ AFB= / FBC ,/ BF 平分 / ABC ,/ ABF= / FBC ,则/ ABF= / AFB , AF=AB=6 ,同理可证：DE=DC=6 , EF=AF+DE - AD=2 ,即 6+6 - AD=2 ,解得：AD=10 ;故选：B.7. （2017四川内江） 已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A. B. 3 3 C. 3D .不能确定2 2 2答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图， ABC是等边三角形，AB = 3,点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边A

10、B, BC, CA作垂线，垂足依次为 D , E, F，过点A作AH丄BC于H .贝UBH = 3 , AH = . AB2 _BH 2 =辽.2 2连接 PA, PB, PC,贝U Sa pab + Sa pbc + Sa pca = Sa abc .1111 2aB PD + BC PE + CA PF = BC AH . PD + PE+ PF = AH =2答案图8.(2017黑龙江龙东3分)若点0是等腰 ABC的外心，且/ BOC=60，底边BC=2，则 ABC的面积为(A .2+一B.C.2+-或 2 -一D. 4+2或2-0【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质.【分析】

11、根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况， 求出相应的边的长度，从而可 以求出不同情况下 ABC的面积，本题得以解决.【解答】解：由题意可得，如右图所示, 存在两种情况，当厶 ABCA!BC 时，连接 OB、0C ,T点0是等腰 ABC的外心，且/ BOC=60，底边BC=2 , OB=OC , OBC为等边三角形， OB=OC=BC=2 , OABC于点D, CD=1 , OD= -=2 -二,厂BC-Ap 2X (2-V3)SAtBC = 2二2当厶 ABCA2BC 时，连接 OB、OC , 点O是等腰 ABC的外心，且 / BOC=60，底边BC=2 , OB=OC , OBC为等边

12、三角形， OB=OC=BC=2 , OA1丄BC于点D, CD=1 ,OD=- :,a2bc =BCD如 2X (2+V3)2q2 =2=2+勺,由上可得， ABC的面积为:- .或2+二，故选C.9. （2017湖北黄石3分）如图所示，线段 AC的垂直平分线交线段 AB于点D，/ A=50则/ BDC=（）A . 50 B. 100 C. 120 D. 130 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到/DCA= / A ,根据三角形的外角的性质计算即可.【解答】 解：T DE是线段AC的垂直平分线， DA=DC ,/ DCA= / A=50 ,/ BDC= /

13、 DCA+ / A=100 ,故选：B.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.10. （2017湖北荆门3分）如图， ABC中，AB=AC , AD是/ BAC的平分线.已知AB=5 , AD=3，贝U BC的长为（）A . 5 B . 6 C. 8 D . 10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质得到AD丄BC, BD=CD，根据勾股定理即可得到结论.【解答】 解：T AB=AC , AD是/ BAC的平分线， AD 丄 BC , BD=CD ,/ AB=5 , AD=3 ,

14、 BD= 上辽广=4， BC=2BD=8 ,故选C.11. （ 2017湖北荆门3分）已知3是关于x的方程x2-（ m+1） x+2m=0的一个实数根，并 且这个方程的两个实数根恰好是等腰 ABC的两条边的边长，则 ABC的周长为（）A . 7 B . 10 C. 11 D . 10 或 11【考点】 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【分析】把x=3代入已知方程求得 m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰 ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.【解答】 解：把x=3代入方程得9- 3 （m+1） +2m=0 ,

15、解得m=6,则原方程为x2- 7x+12=0 ,解得 X1=3, X2=4,因为这个方程的两个根恰好是等腰 ABC的两条边长， 当 ABC的腰为4，底边为3时，则 ABC的周长为4+4+3=11 ； 当 ABC的腰为3，底边为4时，则 ABC的周长为3+3+4=10 .综上所述，该 ABC的周长为10或11.故选：D.12. （ 2017湖北荆州 3分）如图，在 Rt ABC中，/ C=90 / CAB的平分线交 BC于D , DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC=3，则DE的长为（）A . 1 B . 2 C. 3 D . 4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得/B= / CA

16、D= / DAB=30 ,【解答】 解：I DE垂直平分AB , DA=DB ,/ B= / DAB ,/ AD 平分/ CAB ,/ CAD= / DAB ,/ C=90 , 3 / CAD=90 ,/ CAD=30 ,/ AD 平分/ CAB , DE 丄 AB , CD 丄 AC , CD=DE= =BD ,2/ BC=3 , CD=DE=1 ,【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.二、填空题1. （2017吉林3分）在三角形纸片 ABC中，/ C=90 / B=30 点D （不与B , C重合）是BC上任意一点，将此三角形

17、纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a,则 DEF的周长为 3a （用含a的式子表示）【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】由折叠的性质得出 BE=EF=a , DE=BE，则BF=2a，由含30角的直角三角形的性 质得出DF=,：BF=a，即可得出 DEF的周长.【解答】 解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE ,则 BE=EF=a, BF=2a,/ B=30 , DF= BF=a,2 DEF 的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a ;故答案为：3a.2. （2017江西3分）如图是一张长方形纸片 ABCD ,已知AB=8 , AD=7 , E为AB上一点,AE=5，

18、现要剪下一张等腰三角形纸片（ AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形 AEP的底边长是5sqrt2或4sqrt5或5 .【考点】 矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.【分析】 分情况讨论：当AP=AE=5时，则 AEP是等腰直角三角形，得出底边PE= 了AE=5 .二即可； 当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出 PB,再由勾股定理求出等边 AP即可； 当PA=PE时，底边AE=5 ;即可得出结论.【解答】解：如图所示： 当AP=AE=5时，/ BAD=90 , AEP是等腰直角三角形，底边 PE= =AE=5 7; 当PE=AE=5时，/ BE=AB - AE

19、=8 - 5=3, / B=90 ,- PB=昉心=4,底边 AP=二一一二=廿丄,：-=4 .； 当PA=PE时，底边AE=5 ；综上所述：等腰三角形 AEP的对边长为5或4 .二或5；故答案为：5 .二或4三或5.3. (2017黑龙江龙东3分)如图，等边三角形的顶点A (1,1 )、B ( 3, 1),规定把等边 ABC “先沿x轴翻折，再向左平移 1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2017次变换后，等边 ABC的顶点C的坐标为【考点】翻折变换(折叠问题)；等边三角形的性质；坐标与图形变化 -平移.【分析】据轴对称判断出点 A变换后在x轴上方，然后求出点 A纵坐标，再根据平移的距 离

20、求出点A变换后的横坐标，最后写出即可.【解答】 解：解： ABC是等边三角形 AB=3 -仁2,二点C到x轴的距离为1+2X = _+1 ,横坐标为2, A (2,一 +1 ),第2017次变换后的三角形在 x轴上方，点A的纵坐标为.二+1 ,横坐标为 2-2017 X1=-2017 ,所以，点A的对应点A的坐标是(-2017,.=+1)故答案为：(-2017,. =+1).4. ( 2017黑龙江齐齐哈尔3分)有一面积为5二的等腰三角形，它的一个内角是30 则以它的腰长为边的正方形的面积为_0 -和 20 .【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质.【分析】分两种情形讨论 当30度角是等腰三角

21、形的顶角，当30度角是底角，分别作腰上的高即可.【解答】 解：如图1中，当/A=30 , AB=AC时，设AB=AC=a ,作 BD 丄 AC 于 D , / A=30 , BD= AB= a,2 2=20 二 ABC的腰长为边的正方形的面积为20二.如图2中，当/ ABC=30 , AB=AC 时，作 BD丄CA交CA的延长线于 D，设AB=AC=a ,/ AB=AC ,/ ABC= / C=3C ,/ BAC=120 , / BAD=60 ,在 RTA ABD 中，/ D=9C , / BAD=60 ,BD=a,2?a?a=5 二，2 2 * a2=20, ABC的腰长为边的正方形的面积为

22、20 .5. （ 2017湖北黄石3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东30。方向，距离灯塔4 海里的A处，该海轮沿南偏东 30方向航行 4海里后，到达位于灯塔 P的正东方向的B【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案.【解答】解：一艘海轮位于灯塔 P的北偏东30方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30方向航行4海里后，到达位于灯塔 P的正东方向的B处故答案为：4.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键.6. ( 2017湖北荆门3分)如图，已知点 A (1, 2)是反比例函数 y=图象上的一点，连 接AO并延长交双曲线的另一分支于点 B ,点P是x轴

23、上一动点；若 PAB是等腰三角形，【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质.【分析】由对称性可知 O为AB的中点，则当 PAB为等腰三角形时只能有 PA=AB或PB=AB，设P点坐标为(x, 0),可分别表示出 PA和PB，从而可得到关与 x的方程，可求 得x,可求得P点坐标.【解答】解：反比例函数y=图象关于原点对称， A、B两点关于O对称，O 为 AB 的中点，且 B (- 1 , - 2),当 PAB为等腰三角形时有 PA=AB或PB=AB ,设P点坐标为(x, 0), A (1, 2), B (- 1,- 2),-AB=2 7, PA= - - ，PB= .当PA=AB时

24、，则有詁匚匚广卜才=2二，解得x= - 3或5，此时P点坐标为（-3, 0）或 （5, 0）;当PB=AB时，则有, | - =2匚解得x=3或-5,此时P点坐标为（3, 0） 或（-5, 0）；综上可知P点的坐标为（-3, 0）或（5, 0）或（3, 0 ）或（-5, 0）,故答案为：（-3, 0）或（5, 0）或（3, 0）或（-5, 0）.7. （2017福建龙岩3分）如图， ABC是等边三角形，BD平分/ ABC，点E在BC的延长线上，且 CE=1 , / E=30 ,则 BC= 2.鼻占虫【考点】等边三角形的性质.【分析】先证明BC=2CD，证明 CDE是等腰三角形即可解决问题.【解

25、答】 解： ABC是等边三角形，/ ABC= / ACB=60 , BA=BC ,/ BD 平分 / ABC ,/ DBC= / E=30 , BD 丄 AC ,/ BDC=90 , BC=2DC ,/ ACB= / E+ / CDE ,/ CDE= / E=30 , CD=CE=1 , BC=2CD=2 ,故答案为28. （2017 广西桂林 3 分）如图，在 Rt ACB 中，/ ACB=9 0 AC=BC=3 , CD=1 , CH 丄 BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH= 一！【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.BC BD【分析】在BD上截取

26、BE=CH，连接CO，OE,根据相似三角形的性质得到.，求得CH，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC , / A= / ACO= / BCO= / ABC=45，等量代换得到 / OCH= / ABD，根据全等三角形的性质 得到OE=OH , / BOE= / HOC推出 HOE是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质 即可得到结论.【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO, OE,/ ACB=90 CH 丄 BD ,/ AC=BC=3 , CD=1 ,二 BD=切 | ! CDH BDC ,：一， ACB是等腰直角三角形，点 O是AB中点， AO=OB=OC，/ A= /

27、ACO= / BCO= / ABC=45 ,/ OCH+ / DCH=45 , / ABD+ / DBC=45 ,/ DCH= / CBD , OCH= / ABD ,在厶CHO与厶BEO中，ZHC0二NEBO,OC=OB CHO BEO , OE=OH , / BOE= / HOC , / OC 丄 BO ,/ EOH=90 , 即厶HOE是等腰直角三角形，/ EH=BD - DH - CH= T -=,ViL 10105OH=EIH _=兰二25故答案为：皂29. （2017贵州安顺4分）如图，直线m / n, ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 ,则/仁 4L度.【分析】先根据等腰

28、直角三角形的性质求出/ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论.【解答】解： ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 ,/ ABC= / ACB=45 ,/ m / n,/ 1=45 ;故答案为：45.【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出/ ABC的度数.4. （2017黑龙江哈尔滨 3分）在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , AC=3，点P为边 BC的三等分点，连接 AP,则AP的长为_ T或 下_ .【考点】等腰直角三角形.【分析】如图1根据已知条件得到 PB= , BC=1，根据勾股定理即可

29、得到结论；如图2，根据已知条件得到 PC= , BC=1，根据勾股定理即可得到结论.【解答】 解：如图1, / ACB=90 , AC=BC=3 ,PB= BC=1 ,3 CP=2,二 AP=,：_i/;.：= I ，如图 2, / ACB=90 , AC=BC=3 ,PC= BC=1 ,3 AP=.；.：= i，综上所述：AP的长为或，故答案为：T或10. （ 2017 山东省滨州市 4分）如图， ABC是等边三角形，AB=2，分别以A, B, C为 圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是2n- 3 .【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质.【分析】根据等边三角形的面积公式求出正 A

30、BC的面积，根据扇形的面积公式 S=：360求出扇形的面积，求差得到答案.【解答】解：正 ABC的边长为2, ABC的面积为 疋X三=.二， 扇形ABC的面积为.i =则图中阴影部分的面积 =3X （ n- _） =2n-3 一, 故答案为：2 n- 3 -.2 【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式 S= L r是解题的关键.三解答题1. （2017山东省荷泽市3分）如图， ACB和厶DCE均为等腰三角形，点 A , D, E在同一直线上，连接 BE .（1）如图 1,若/ CAB= / CBA= / CDE= / CED=50 求证：AD=BE ; 求/

31、AEB的度数.（2）如图 2,若 / ACB= / DCE=120 , CM DCE 中 DE 边上的高，BN ABE 中 AE边上的高，试证明:AE=2 二CM+BN .3【考点】等腰三角形的性质.【分析】（1）通过角的计算找出 / ACD= / BCE，再结合 ACB和厶DCE均为等腰三角 形可得出“AC=BC, DC=EC，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出 ACD BCE , 由此即可得出结论 AD=BE ;结合中的 ACD BCE可得出/ ADC= / BEC，再通过角的计算即可算出 / AEB的 度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结

32、论，通过解直角三角形即可求出线段 AD、DE的长度，二者相加即可证出结论.【解答】（1）证明：/ CAB= / CBA= / CDE= / CED=50，/ ACB= / DCE=180 - 2X50 =80./ ACB= / ACD+ / DCB，/ DCE= / DCB+ / BCE，/ ACD= / BCE ./ AC B和 DCE均为等腰三角形, AC=BC , DC=EC .fAC=BC在厶ACD和厶BCE中，有ZacdZbce，DC=EC ACD BCE (SAS), AD=BE .解：/ ACD BCE ,/ ADC= / BEC .点A , D , E在同一直线上，且 / CD

33、E=50 ,/ ADC=180 - Z CDE=130 ,/ BEC=130vZ BEC= Z CED+ Z AEB，且 Z CED=50 , Z AEB= Z BEC - Z CED=130 - 50=80.(2) 证明：/ ACB和厶DCE均为等腰三角形，且 Z ACB= Z DCE=120 , Z CDM= Z CEM=丄 X (180 120 =30 .2/ CM 丄 DE , Z CMD=9 , DM=EM .在 Rt CMD 中，Z CMD=9 , Z CDM=3 ,pi!二 DE=2DM=X=2 CM .tanZCDK 汎vZ BEC= Z ADC=180 - 30=150 ,

34、Z BEC= Z CEM+ Z AEB , Z AEB= Z BEC - Z CEM=15 - 30=120 , Z BEN=180 - 120 =60 .在 Rt BNE 中，Z BNE=90 , Z BEN=60 , BE=5NsinZBEN25vAD=BE , AE=AD+DE , AE=BE+DE=2讥TBN+2 =CM .解直角三角形以及角的 ACD BCE ； ( 2)【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、 计算，解题的关键是：(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出 找出线段AD、DE的长本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时,利用角的计算

35、找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.2. (2017湖北随州10分)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形”如图(1)、图(2)、图(3) 中，AM、BN是厶ABC的中线，AN丄BN于点卩，像厶ABC这样的三角形均为 中垂 三角形”.设 BC=a , AC=b , AB=c .【特例探究】(1) 如图 1,当 tan/ PAB=1 , c=4 时，a= 4 .汀 ,b=_4 _ ；如图 2,当/ PAB=30 , c=2 时，a=_J_, b=_;【归纳证明

36、】(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并 利用图3证明你的结论.【拓展证明】(3) 如图4, ?ABCD中，E、F分别是 AD、BC的三等分点，且 AD=3AE , BC=3BF，连 接 AF、BE、CE,且 BE丄 CE 于 E, AF 与 BE 相交点 G, AD=3 二,AB=3，求 AF 的长.【考点】四边形综合题.【分析】(1)首先证明 APB , PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.连接EF,在RTA PAB , RTA PEF中，利用30性质求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股

37、定理即可解决问题.(2) 结论a2+b2=5c2.设MP=x , NP=y，则AP=2x , BP=2y，利用勾股定理分别求出 a2、b2、 c2即可解决问题.(3) 取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明 ABF是中垂三 角形，利用(2)中结论列出方程即可解决问题.【解答】(1)解：如图1中，/ CE=AE , CF=BF , EF / AB , EF= AB=2 _,/ tan / PAB=1 ,/ PAB= / PBA= / PEF=/ PFE=45 , PF=PE=2, PB=PA=4, AE=BF=2 ;- b=AC=2AE=4 匚，a=BC=4 二故答案为4

38、_, 4如图2中，连接EF,/ CE=AE , CF=BF , EF / AB , EF= AB=1 ,2/ PAB=30 , PB=1, PA=二在 RTA EFP 中，/ EFP= / PAB=30 , PE= , PF=,2 2 AE=)Jc=, BF=Jm 厂=, a=BC=2BF=，b=AC=2AE= T,故答案分别为二，T.(2)结论 a2+b2=5c2.证明：如图3中，连接EF. AF、BE是中线， EF / AB , EF= AB ,2 FPEs APB,AP PB 2设 FP=x, EP=y，贝U AP=2x, BP=2y ,.2 2 2 2 2 2 2a =BC =4BF

39、=4 (FP +BP ) =4x +16y , b =AC =4AE =4 (PE +AP ) =4y +16x ,2 2 2 2 2 2c =AB =AP +BP =4x +4y ,.2,2 2 2 2 , 2 2a +b =20x +20y =5 (4x +4y ) =5c .(3) 解：如图4中，在 AGE和厶FGB中，rZAGE=ZFGB Zaeg=Zfbg，AB=BF AGE FGB , BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点,同理可证 APH BFH , AP=BF , PE=CF=2BF ,即 PE/ CF, PE=CF ,四边形CEPF是平行四边形， F

40、P / CE,/ BE 丄 CE, FP 丄 BE，即 FH 丄 BG , ABF是中垂三角形，由(2)可知 AB2+AF2=5BF2,/ AB=3 , BF= AD= 9+AF2=5x (匚)2, AF=4 .3. (2017吉林-10分)如图，在等腰直角三角形 ABC中，/ BAC=90 ,AC=8讥cm, AD丄BC于点D，点P从点A出发，沿AC方向以 cm/s的速度运动到点 C停止，在运动过程中， 过点P作PQ / AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形 PQM，且/ PQM=9 (点M, C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x ( s), PQM与厶ADC重叠部分的面积为

41、y (cm2)(1) 当点M落在AB上时，x= 4;(2) 当点M落在AD上时，x= 丄3 一(3) 求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.4j热A(备用图)【考点】三角形综合题.【分析】(1)当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点 D与点Q重合，由 此即可解决问题.(2)如图1中，当点 M落在AD上时，作PE丄QC于E,先证明DQ=QE=EC ,由PE/ AD , 得子= 1，由此即可解决问题.(3)分三种情形 当0 V XW4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为 PEF,当4 V x 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G ,则重叠部分

42、3为四边形PEGQ .当Vx V 8时，如图4中，则重合部分为 PMQ，分别计算即可解决3问题.【解答】解：(1)当点M落在AB上时，四边形 AMQP是正方形，此时点 D与点Q重合,AP=CP=4，所以 x= 二- 故答案为4.(2)如图1中，当点M落在AD上时，作PE丄QC于E .32 MQP , PQE, PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC DQ=QE=EC , / PE / AD , 二=/ AC=8AC DC 3% PA=丄3 xJ=故答案为.(3) 当0V XW4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为 PEF,2 y=S pef= ?PE?EF= x .

43、2 2当4v 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形 PEGQ.3图3PQ=PC=8:x, PM=16 - 2x, ME=PM - PE=16 - 3x, - y=S pmq - sameg = ： (8 J 7 - J ：x) $-厶(16 - 3x )2= x?+32x - 64.BDOC图4 当丄Lvxv 8时，如图4中，则重合部分为 PMQ ,32=x2 - 16x+64.-y=s pmq=：PQ2=： (&L - Lx)4)2 22 x” -x2+32x 64综上所述y=x2- 16x+644. (2017黑龙江齐齐哈尔12分)如图所示，在平面直角坐标系中，过点A (- ., 0)的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2- 2x- 3=0的两个根(1) 求线段BC的长度；(2) 试问：直线 AC与直线AB