初一数学绝对值知识点与经典例题

1、绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作. （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意： 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是. 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.【求字母的绝对值】 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而

2、小.绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；（4）；（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离的几何意义：在数轴上，表示数对应数轴上两点间的距离【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：

3、换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1：已知|x2|y3|0，求x+y的值。解：由绝对值的非负性可知x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以x+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若，则必有，【例题】若，则 。总结：若干非负数之和为0， 。【巩固】若，则【巩固

4、】先化简，再求值：其中、满足. （二）绝对值的性质【例1】若a0，则4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，则x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】若，则x是（）A正数 B负数 C非负数 D非正数【例5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例6】已知ab互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）

5、A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，则有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0，y0或y=0，x0【例9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则m0；（4）若|a|b|，则ab，其中正确的有（）A（1）（2）（3） B（1）（

6、2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例12】若x-2，则|1-|1+x|=_若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _ 【例13】计算= 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _ 【例15】已知数的大小关系如图所示，则下列各式：；其中正确的有 （请填写番号）【巩固】已知：abc0，

7、且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能当a、b、c都是正数时，M= _；当a、b、c中有一个负数时，则M= _；当a、b、c中有2个负数时，则M= _；当a、b、c都是负数时，M=_ 【巩固】已知是非零整数，且，求的值 （三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：当时，原式当时，原式当时，原式综上讨论，原式（1）求出和

8、的零点值 （2）化简代数式解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4 （2）当x-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x4时，|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简1. 2. 的值 3. 4. (1)； 变式5.已知的最小值是，的最大值为，求的值。 （四）表示数轴上表示数、数的两点间的距离【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A

9、与B两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .(4) 满足的的取值范围为 .(5) 若的值为常数，试求的取值范围（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3)

10、当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|04）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|0，有最小值是0， -|x+m|0有最大值是0（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+nn，有最小值是n-|x+m|+nn，有最大值

11、是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左（n0)平移了|n|个单位，为如|x-1|0，则|x-1|+33，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）总结：根据3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值，有“-”号时，代数式有最大值 . 例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个

12、最小值是多少？解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3 例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当x-1=0时，

13、即x=1时，-|x-1|有最大值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3 4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时， -|x-1|+3有最大值是3 （同学们要学会变通哦） 思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则 1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 例题3：求|x+1|+|x

14、-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程： 可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x-1时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1x0，x-22时，x+10，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我们发现：当x3 当-1x2时，|x+1|+|x-2|=3 当x2时，|x

15、+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：-1x2 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 则当-1x2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3 评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+

16、|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x-13时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13x-11时，x+110，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13

17、=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-11x0，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487） 当x12时，x+110，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x27当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13x-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,2

18、5-x+14 27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11x12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+3612时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+1248观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 将-11,12，-13从小到大排列为-13-11b Ba=b Ca 时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；当x 时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；当

19、x 时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比、情况下的值都小。因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相减：当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；当 时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时，有最小值 ；7设，则的值是（ ）A-3 B1 C3或-1 D-3或18设分别是一个三位数的百位、十位和

20、个位数字，并且，则可能取得的最大值是 绝对值（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|=，有|2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|(0)来解，如|(0)可为或；|可化为+，再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“|或”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有

21、“单项”绝对值的不等式，利用|=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数，分别使含有|，|，|的代数式中相应绝对值为零，称，为相应绝对值的零点，零点，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值

22、作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或)，当|时一般不用。二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。（一）、根据题设条件例1：设x-1，化简2-2-x-2的结果是（ ）。（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x思路分析：由x-1可知x-2-30可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去解：2-2-x-2=2-2-(2-x)=2- x=2-(-x)=2+x 应选（B）归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路（二）、