综合法与分析法教案(北师大版选修22

1、综合法与分析法2. 1综合法2. 2分析法敖专教法分析站评择财荼堺淒纵*數去”樓畫更(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1) 引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点；(2) 简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题.2. 过程与方法结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特 点，并归纳出操作流程.3. 情感、态度与价值观(1) 通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方 法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯；(2) 通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式.重点难点重点：(1) 了解综合法与分析法的思

2、考过程和特点；(2)运用综合法与分析法证明数学问题.难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括.教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解.敖专方案设讣授方彘流相细解用”数箫| 7菱7(教师用书独具)教学建议在以前的学习中， 学生已积累了较多的综合法、分析法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统的. 由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结两种方法的特 点，促使他们形成对两种方法的较完整认识.所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学模式，充分

3、暴露学生思维，总结共性，形成规律.教学流程创设问题情境，引出问题：证明以下命题，并归纳思考过程和特点给出例1、例2| ?学生探究后，师生交流，通过分析、比较归纳、概括，得出综合法、分析法的定义. ?进一步引导学生揭示综合法与分析法的操作流程 .? 通过例1及变式训练完善综合法 | ?通过例2及互动探究完善分析法通过例3及变式训练巩固两种方法，并理清两种方法的区别与联系归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正锂杜材 口去自测 0”耳棉nt? 可疏Ii理解综合法、分析法的概念.（重点）2能利用综合法、分析法证明简单问题.（重课标解读点）3感受逻辑证明

4、在数学及日常生活中的作用， 形成理性思维.（难点）综合法【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x, y满足x+ y= 1,求证：2x+ 2y 2 2.证明：因为 x+ y= 1,所以 2x+ 2y 2,2x2y= 2 ,；2x+ 2：2，故 2x+ 2y 22 成立.1. 本题的条件和结论是什么？【提示】条件：x+ y= 1 ;结论：2x+ 2y 2 2.2本题的证明顺序是什么？【提示】从已知利用基本不等式到待证结论.从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.分析法【问题导思】证明不等式：

5、3 + 2 22 + .7成立，可用下面的方法进行.证明：要证明 3 + 2 20,2+ .70,只需证明（.;3 + 2 .2）2（2 + . 7）2,展开得11+ 4 ,611 + 4 . 7,只需证明67 ,显然67成立.,3 + 2 ,20,求证：bc+ ac+ aba+ b+ c.a b c【思路探究】注意到不等式左、右两边的特征，只需利用“ bc+ac2 bc ?=2c”,就可将左、右两边的形式化异为同.be aca b = 2e，【自主解答】因为be+ ae 2a b晋+字字=2a, ab+ be呼=2b,将以上三个不等式左、右分别相加,b eee aabe ae abbe ae

6、 ab得：2(+) 2a+ 2b+ 2c,即一+ 盲+一a + b+ e.a b ea b eI规律方iSI1. 应用综合法解决问题时，应充分分析条件和结论之间的异同点，然后合理选择相关 定义、定理、公式等已知结论化异为同将条件向结论转化.2. 综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决综合法广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法.一般说来，当题目已知条件中因果关系较清晰时，可正向思考，由因索果，用综合法解决.ill! K.1 i已知a, b是正数，且 a+ b = 1，求证：-+二4.a b【证明】法一 Ta, b是正数且a+ b= 1,a + b2 a

7、b,. . ab 2咼0, a+討2 .计o,11 (a+ b)(a+ ) 4.1 1又 a + b= 1，一+ 14.a b法三 Ta, b是正数，且a + b = 1,1 1 a+ b a + bbaba書+ b二+=1+a+a+1 2+ 2 . bb=4.当且仅当a=b时，取“号.暨軒.分析法的应用咧 已知a0，求证： a2 +事一2 a+寸一2.【思路探究】 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明.【自主解答】 要证寸a2+古迈 a+ 2,只需证 a2+ 2+ 2a + + ：.： 2. aal11a0，故只需证（Ma2 +孑+ 2尸（a+ ;+迈）2, 即证 a2+ 12 + 4-

8、a2+、+ 4a aa2+ 2+ *+ 2 .2（a + 2,从而只需证2- a2 +2（a+ ；）,aa1 1只需证 4(a2ac + 2)A 2(a2 + 2+ 孑)，1即证a2+ -2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.aI规律方法I1. 本题观察到已知条件简单 (a0)，而证明的结论a2+ - ；2a +所以cos B =-2比较复杂， aa这时我们一般采用分析法.2. 分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对 结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可.旦OISE理将本例的条件改为a + b0 ”，结论改为a2+ b2A#(a + b)”.【

9、证明】要证 ;a2+ b222(a+ b),只需证(:a2+ b2)2 r2(a+ b)2,1即证 a2+ b2 (a2 + b2 + 2ab),即 a2+ b2 2ab.因为a2+ b22ab对一切实数恒成立，所以-.a2+ b2 22(a+ b)成立.也:|综合法与分析法的综合应用咧已知 ABC的三个内角 A, B, C为等差数列，且 a, b, c分别为角 A, B, C的对边，求证：(a + b)-1+ (b+ c)-1= 3(a + b + c)-1.【思路探究】本题可从结论入手用分析法求解，也可从条件入手用综合法证明.【自主解答】法一(分析法)要证(a + b)-1 + (b+ c

10、)-1= 3(a + b+ c)-1,113即证 +=a+ b b + c a+ b + ca + b+ c a + b+ c只需证+= 3,a+ b b+ c化简，得亠+J = 1,a+ b b+c即 c(b+ c) + (a + b)a= (a+ b)(b+ c), 所以只需证c2 + a2= b2 + ac.因为ABC的三个内角A, B, C成等差数列,所以B = 60 a2+ c2-b2即 a2+ c2- b2= ac 成立.(a+ b)-1 + (b + c)-1 = 3(a+ b+ c)-1 成立.法二（综合法）因为ABC的三内角A, B, C成等差数列, 所以B = 60 由余弦

11、定理，有 b2= c2 + a2 2accos 60 . 所以c2 + a2= ac+ b2,两边加ab + bc,得c(b + c) + a(a + b)= (a + b)(b + c),两边同时除以(a+ b)(b + c)，得c a 丿 + = 1,a+ b b+ c所以(+ 1) + (旦+ 1) = 3, a + bb + ca+ b1 = b+ c3a+ b + c所以(a + b) 1 + (b+ c) 1 = 3(a + b+ c)I规律方遽I综合法和分析法各有优缺点从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索 因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐

12、，文辞冗长也就 是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.| a n on K设a, b, c均为大于1的正数，且 ab= 10,求证：logac+ logbc4lg c.【证明】因为a1 , b1，故要证log ac + log bc 4lg c,则只需证器+慝4lg11lg a + lg b又因为c1，所以lg c0 ,故只需证 壮+ -g； 4，即lg a jg b 4,lg a lg blg a lg b1又因为ab= 10,所以lg a+ lg b= lg（ab）= 1,故只需

13、证 灵门匚4,（*）又因为lg a0, lg b0，所以lg a + lg b 21 210b0,则下列不等式中总成立的是 （）1 1 A a+bb+a11 2a + b aC. a +-b + bD* 2bb1111【解析】vab0,; 0 ,.a+：b + .b ab a【答案】A _2.欲证 2 .3. 6- .7成立，只需证()A. ( 2 3)2C 6 7)2B. ( 2 一 6)2( 3 7)2C. ( 2+17)2( . 3 + 6)2D . ( .2. 3 . 6)2( ,7)2【解析】欲证.2 36 ,7 即证，；2+ ；7,；3+ 6 因两边皆为正数，故只需证（.2 + ,

14、7）2b,则b与斗的大小关系为 .a a十x【解析】Tb（a 十 x） a（b+x） = ab+ bx ab ax=x（b a）,a, b, x均为正数，ab,x（b a）0.b b+ x-b(a + x)a(b+ x).即 a a+ x【答案】0 , b0 且 a 丰 b，求证：a3+ b3a2b+ ab2. 【证明】要证a3十b3a2b+ ab2,只需证 a+ b a?b ab?。,只需证 a?(a b)+ b?(b a)0,只需证(a b)(82 b2)0 ,只需证(a b)2(a+ b)0 ,又 a0, b0,b,故(a b)20, a+ b0,不等式显然成立.ij方划能检测碑下册自我

15、讦估疑”考时 |畀侵节一、选择题1. （2013济南高二检测）若实数x, y满足不等式xy1 , x + y 0,则（）A. x0, y0B. x0, y0, y0 D . x0【解析】/xy10 ,x, y 同号，又 x+ y 0,故 x0, y0.【答案】 A2.在不等边三角形中，a为最长边，要想得到/ A为钝角的结论，三边 a, b, c应满 足条件（）B . a2= b2 + c2D . a2 b2 + c2b2+ c2 a22222 22cos A=0 知 b 十 c a b 十 c .2bcA. a2b2+ c2【解析】Ca2 + b2 1 a2b2b2 + c2【答案】3. 要证

16、:A . 2ab 1 a2b2 0B. a2+ b2 1 a 24+ b4 w 0Caz十 1 a2b2 0【解析】9&已知a,b，氏(0,+ )且一+匚=1，则使得a+ b 恒成立的的取值范围是 a b+ b2 1 a2b2= (a2 a2b2)+ (b2 1)=a2(1 b2)+ (b2 1) = (a2 1)(1 b2)=(a2 1)(b2 1)故选D.【答案】D4. 若 P= ,a+ a + 7, Q= a+ 3 + . a+ 4(a0)，贝U P, Q 的大小关系为()A . P QB. P = QC. P v QD.由a的取值确定【解析】要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小

17、，只需比较2a+ 7+ 2 a a + 7与 2a + 7 + 2 a+ 3 a + 4 的大小，只需比较a2+ 7a与a2 + 7a + 12的大小，即比较0与12的大小，而0 v 12.故Pv Q成立.【答案】C1 a + b2ab5已知函数 f(x) = (Rx,A= f(),B = f( ab),C= f(),(a 0,b0)，贝UA,B,2 2a+ bC的大小关系为()A . AW BW CB . AW C abab,2 w a + b又函数f(x)= g)x在R上为减函数，故f(宁)W f(,ab)W f严).2 a+ b【答案】A二、填空题a2 + b2a2 + b26. 将下面

18、用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab,只需证 a2 +b2 2ab,也就是证 ，即证，由于显然成立，因此原不等式成立.【解析】分析法就是要证结论成立的充分条件.即应填：a2+ b2 2ab 0, (a b)2 0,(a b)2 0.【答案】a2+ b2 2ab 0 (a b)2 0 (a b)2 07. 若 lg x+ lg y= 2lg(x 2y), V log 2x=x0, y0,【解析】原等式？ x 2y0,即A【答案】 4xy= x 2y ,+ 4= 0,解得x= 4或1(舍),199a b9a b【解析】由题意得a+ b= (a+ b)q+ 9)= 10+(晋+彳) 10 + 2

19、,9= 16,当且仅当詈=a19且-+匚=1,即卩a = 4, b = 12时，等号成立.a ba + b的最小值为16,要使a + b卩恒成立，只需 听16.【答案】0 v产1611(1 + x)(1+严 9.1x+ y+ ) = (1 + )(1yx八+ ) = (2 + y)(2 + x)= 5 + 2(y yx yx三、解答题9.已知 x 0, y0, x+ y= 1,求证:1【证明】法一一Tx + y= 1, (1 H)(1xx+y).又x 0, y 0y 0, x 0.丄+芸2,x yy x1当且仅当x=即x= y= 2时取等号.1 1 则有(1+x)(1 + y)5+2x 2=9

20、 成立.亠 11111 x+ y 12, c c +、则有(1+x)(1 + y=1+x+y+xy=1+右+xy =1+站1+8=9 成立.Jb2 ac10.已知 abc,且 a + b+ c= 0，求证： -0, y0,1 = x+ y2 xy，当且仅当x= y=即寸等号成立， xybc，且a + b + c= 0,.a0, c0 ,要证原不等式成立，只需证“ b2- ac 3a，即证 b2- ac3a2,即证(a + c)2- ac0 ,.a c0,2a+ c= (a+ c)+ a = a b0 ,(a c)(2a + c)0成立，故原不等式成立.1 1 111. (1)设 x 1, y

21、1,证明 x+ y+ 齐三 + y+ xy；(2)1 v a b c, 证明 logab + logbc+ logca 1, y 1，所以丄 12x+ y+ xywx + y+ xy? xy(x + y) + 1 1, y 1,所以(xy 1)(x 1)(y 1) 0,从而所要证明的不等式成立.设logab= x, logbc= y,由对数的换底公式得1logca=xy，ilogba = x，1logcb = 一，logac= xy.于是，所要证明的不等式即为1 1 1 x+ y+对三 x+y+ xy.其中 x= logab 1， y= logbc 1.故由(1)知所要证明的不等式成立敖师备课资源(教师用书独具)3 iSH IS已知：a、b、c是不全相等的正数，且 0x1.求证:, a+ b b + c a + clog x2 +log x2 + log x2 log xa + log xb + log xc.【思路探究】先利用对数的运算将