一元二次方程学案

1、一元二次方程学案一、一元二次方程的相关定义在整式方程中，只含 _个未知数，并且未知数的最高次数是 _的方程叫做一元二次方程一元二次方程的 一般形式是 . 其中叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项; 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数1、下列方程中是一元二次方程的有()29 x2=7 x=8 3y(y-1)=y(3y+1) x2-2y+6=034,2 ( x2+i)= J0-x-1=0xA. B. C. D. 2、 一元二次方程(4x + 1)(2x 3)= 5x2 + 1 化成一般形式 ax2 + bx+ c= 0(a 0)后 a,b,c 的值为A. 3, 10, 4B. 3, 12, 2

2、 C. 8, 10, 2 D. 8, 12, 43、 一元二次方程 2x2 (m + 1)x + 1 = x (x 1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为一1,贝U m的值为()A. 1B. 1C. 2D. 24、若方程v n：n :是关于x的一元二次方程，则()A.二B. m=2C. m=-2D.-二二、一元二次方程的常用解法：(1) 直接开平方法： 形如x2二a(a _0)或(x -b)2二a(a _0)的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.(2) 配方法：用配方法解一元二次方程 ax2 bx c =o a = 0的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程 两边同时除以二次项系数

3、；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两2边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为(X m)二n的形式，如果是非负数，即n_0,就可以用直接开平方求出方程的解 .如果nv0,则原方程无解.(3) 公式法：一元二次方程ax2 bx0(a = 0)的求根公式是-b 土 Jb2-4ac“2,为2 =(b 一 4ac 兰 0).2a(4) 因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 :将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3.易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程

4、，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程 一般形式中a=0.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式（3） 用配方法时二次项系数要化1.（4） 用直接开平方的方法时要记得取正、负.例1、解方程X2 2x 1= 0.I ；丨-I2x2 _10x =3+5x + 2 = 0J+8x-9=023x - 4x- 1= 0x2 -2 2x+1=02(x 1) =4x(罗+4x(3) = 0.2(x -1)+ 2x (x - 1) = 0例2、已知一元二次方程（m -1） x2 7mx m2 30有一个根为零，求 m的值.三、一元二次方程的系数1、 根的判别式：关于x的一

5、元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的根的判别式为 .（1） b2 -4ac0二 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0（a式0 ）有两个实数根，即=2（2） b -4ac=0= 元二次方程有 相等的实数根，即 X1 = x?工 .（3）b24ac0：= 元二次方程 ax2 bx c = 0 a = 0 实数根.2、一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程 ax bx c = 0（a = 0）有两根分别为 x1, x2,那么 x1 x2 =, x-i x2 二3 易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件（2

6、）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： 根的判别式b2 _ 4ac亠0 ； 二次项系数a=0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系例1当k为何值时，方程x2 -6x亠k -1=0,（1）两根相等；（2）有一根为0；（ 3）两根为相反数练习：21、（ 07巴中）一元二次方程x -2x-1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根E.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、 （ 07泸州）若关于x的一元二次方程x2. -2x m = 0没有实数根，则实数 m的取值范围是（）A . m 1C. mlD. m 13、 一元二次方程H有两个相等的实数根，则等于（

7、）A. -6B. 1C. 2D. -6 或 1例2、设X1, X2是方程2x2+ 4x 3= 0的两个根，求：(x1+ 1)(x2+ 1)、x12+ x22、1 . 1十、X1X22(X1 X2)的值。练习：1、 已知a, b是关于x的方程X2 -（2k 1）x k（k 10的两个实数根，则 a2 b2的最小值是 2、 已知:,-是关于x的一元二次方程 x2 （2m 3）x m2 =0的两个不相等的实数根，且满足 丄丄二T ,则m的值是（)A. 3 或-1B. 3C. 1D. -3 或 13、一兀二次方程x2 -3x V =0的两个根分别是X1, X2，则X12X2 x,X22的值是（)A.

8、3B. -311C.1D.-334、设关于x的方程kx2(2k + 1)x + k= 0的两实数根为Xi、X2,若冬+竺二!7,求k的值.x2 x145、 已知关于x的一元二次方程 x2_ m_1 x m 0.(1) 若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2) 若方程的两实数根之积等于m2 9m 2，求-、m 6的值.四、一元二次方程的应用题方法技巧：审题；设未知数；列方程；解方程；检验根是否符合实际情况；作答。类型一、平均增长率问题变化前数量X ( 1二x) n=变化后数量1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的 年平均增

9、长率。2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了 40元，求平均每次降价率是多少?3. 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元, 求2、3月份价格的平均增长率。4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率?5. 为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。类型二、商品销售问题 售价一进价=利润一件商品的利润X销售量 =总利润单价X销售量=销售额1. 某商店购进一种商品，进价30元试销中发

10、现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价 X（元）满足关系：P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为4 0只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊 猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R P与x的关系式分别为 R=500+30X , P=1702X。（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1 7 5 0元？（2）若可获得的最大利润为1 9 5 0元，问日产量应为多少？3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 货价不变的情况下，若每

11、千克涨价1元，日销售量将减少使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要4. 服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0元。为了迎接“六一”儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价4元， 那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?5. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出2 0 0千克。为了促销，该经营户决定降价

12、销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出 40千克。另外，每天的房租等固定成本共2 4元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，9000元。（3）小静说：“当月利未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为 45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降 价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加 7.5吨。综合考虑各种因素， 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240

13、元时，计算此时的月销售量；（2） 在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为 润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。7、某商场试销一种成本为 60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数y =也 b，且x =70时，y=50 ； x = 80时，y = 40 ；（1）写出销售单价x的取值范围；（2）求出一次函数 y =kx b的解析式；（3）若该商场获得利润为 w元，试 写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

14、类型三、面积问题判断清楚要设什么是关键1、一块长和宽分别为 40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖 的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图，在宽为20m，长为30m，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551 m2o则道路的宽为？ 一一2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m）,另三边用木栏围成，木栏长 35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到 180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度

15、am对题目的解起着怎样的作用 ？类型四、工程问题：1、某公司需在一个月（ 31 天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做， 12 天可完成；如 果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10 天完成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数（2）如果请甲工程队施工， 公司每日需付费用 2000 元；如果请乙队施工， 公司每日需付费用 1400 元在规定时间内：A 请甲队单独完成此项工程出.B请乙队单独完成此项工程； C 请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？2、 搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10 小时完成，乙需 12 小时完成，丙需 15 小时完成，

16、有货物存量相的两个仓库 A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙， 最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？（列式子）3、某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4 小时，两管同时开放 3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9 小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？4、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90 千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、

17、？乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1 ）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60% 问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，?同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6% 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？类型五、行程问题1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分

18、钟后，乙骑自行车由 B出发以每小时比甲快 2km的速度向 A 驶去，两人在相距 B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少 ?2、 甲、乙二人分别从相距 20 千米的 A、 B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度 不变，甲每小时比原来多走 1千米，结果甲到达 B地后乙还需30分钟才能到达 A地，求乙每小时走多少千米.3、甲、乙两个城市间的铁路路程为 1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少 4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速4、甲、乙两人分别骑车从 A，B两地相向而行，甲先行 1小时后，乙才出发，又经过 4小时两人在途中的 C地 相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了 20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了 40分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4千米，求甲、乙两人骑车的速度。类型六、运动题1、11. （9分）如图，在 Rt ABC中/ B=90 , AB=8m , B