重积分定义和性质

1、二重积分的定义和计算,回忆定积分,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有,如图,其中xi = xi+1 xi , 表示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积,有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们称为曲顶柱体,我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢,一、引例,1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体,如图,z = f (x,y,z = f (x,y,Di,Di,计

2、算步骤,2)由于Di很小, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体,i , i) Di,小平顶柱体的高 = f ( i , i,若记 i = Di的面积,则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,3)因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V,也就是,1.定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数,将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i,i, i) Di, 作积,f (i, i) i,二、二重积分的概念与性质,若对任意的分法和任意的

3、取法, 当 0时, 和式,的极限存在且极限值都为I,则称f (x,y,在D上可积, 记为f (x,y) R(D,并称此极限值 I 为,f (x,y)在D上的二重积分. 记作,即,其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式,注1. 定积分,二重积分,区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i,可见, 二重积分是定积分的推广,注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.

4、(如图,则除边界上区域外, Di都是 矩形，它的面积为,故也将二重积分写成,此时面积元素记为 ： d = dxdy,i = xi yi,2. 二重积分的几何意义：设 x, y 在 D上可积, 则,1) 当z=f (x, y)0时,2) 当z= f (x, y)0时,3,(D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积,3. 二重积分的性质,设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在,性质1,性质2,性质3,性质4,直角坐标系下二重积分的计算,由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,如图,若点x处截面面积为A(x,则体积,三、二重积分的计算,如果积分区域D表示为,利用直角坐标系计算二重积分,我们称为X型,特殊情况,积分区域D为,X型,一般地,先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分,如果积分区域D为,Y型,先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,若区域如图，比不是X型也不是Y型,在分割后的三个区域上分别使 用积分公式得,则必须分割,解 1,先画出积分区域 D,可知D 是 Y型,将 D 向 y 轴投影,于是,解 2,D 也是 X型,将 D 向 x 轴