新课标人教版1《导数及其应用》全部教案

1、新课标人教版选修2-1导数及其应用全部教案课题：变化率问题学习目标:1 .理解平均变化率的概念；2 .了解平均变化率的几何意义；3 会求函数在某点处附近的平均变化率重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 知识归纳：一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了 微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等 ；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值 ；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢

2、、最大(小)值等问题最一般、最有效的工 具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 数学角度，如何描述这种现象呢？，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢从气球的体积 V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 V(r)如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V) 当V从0增加到1时，气球半径增加了 r(1)r(0)0.62(dm)气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)1 0 当V从1增加到2时，气球半径增加了 r(2)r(1)0.16(dm)气球的

3、平均膨胀率为 rr(1)0.16(dm/L)2 1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从 V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少 ？世勾V2 V1探究二：高台跳水：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？思考计算：0 t 0.5和1 t 2的平均速度V在0 t 0.5这段时间里，V0.5 0在1 t 2这段时间里，V2 165探究：计算运动员在0 t这段时间里的平均速度， 并思考以下问题:49运动员

4、在这段时间内使静止的吗？探究过程：如图是函数65-h( )h(0)，所以 v49h(t)=-4.9t2+6.5t + 10的图像，结合图形可知,h(65)49h(0)65490(s/m)，虽然运动员在49这段时间里的平均速度为你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动,思考：观察函数f(X)的图象：平均变化率Vx并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。探究(三)：平均变化率一f (X2) f (Xq) + 一1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子-表示,X2X1称为函数f(x)从X1到X2的平均变化率2 若设 X X2X

5、1,y f(x2) f(xj(这里x看作是对于X1的一个 增量”可用X1+ x代替X2,冋样f y f(x2)f (X1)则平均变化率为一丫Xf(X2)f (X1)f (X1X)f(X1)X2X1Xf(X2) f(X1)表示什么?三、典例分析例1.已知函数f(x)=x2x的图象上的一点 A 1,2)及临近一点B( 1x, 2y)，则一yX解:x)2(1 x),例2、求解:X)2x2在x x0附近的平均变化率。(X。X)2X02，所以X(Xox)2X。22 2 2xo 2xo x x xo2xo所以y2x在x X。附近的平均变化率为 2xox例3、求函数y = 5x2 + 6在区间2 , 2 +

6、 x内的平均变化率1.4m/s的速度匀速沿某直线例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以离开路灯，求人影长度的平均变化率 解：略四课堂练习21质点运动规律为s t 3，则在时间(3,3 t)中相应的平均速度为.2. 物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.25 3 t3. 过曲线y=f(x)=x3上两点P (1, 1 )和Q (1 + A x,1 + A y)作曲线的割线，求出当厶x=0. 1时割线的斜率 五回顾总结1 .平均变化率的概念2 函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业课后记：课题:导数的概念教学目标：1 .了解瞬

7、时速度、瞬时变化率的概念；2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;3 .会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念.教学过程：一、复习引入1、函数平均变化率：丄f（X2）g 3 x） MxjXX2 X-IX2、 函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线（割线）的斜率.因为运动员从高台腾空到入水3、在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态 的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究1、引例：计算运动员在晁这段时间里的平均速度，并思考以下问题:运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速

8、度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程：如图是函数h(65)h(0)，所以49h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,65h(兄)h(0) -650(s/m)，65小04965这段时间里的平均速度为 0（s/m），但实际情49员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.虽然运动员在0 t况是运动2、.瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t 2时的瞬时速度是多少？考察 t 2附近的情况:山代时，在2+&,2这舸间內心0时.在2,2+AJ这段时间內

9、门- 班2肌2+应)4.9A?+11W- 肌2+加)方(2)-4.9Aia-13.1Ai2 - (2 亠 ) 一=79 血-131(2 斗 2= -4.9A-13.1当拉= -0.01 时，=-13.051；中当Ki = 0.01 时,=-13.051, p当At = -0.001 时+=-13.0951;户当 2kZ = 0 001 时，山=-B0951；禎当Ai-0.001 时，山=1艮09951；中当山=6001时，山= lM09951； p当 Ai = -0.0001 时，A/ =-13.09995b 口当AJ = 0.0001 时.A =-13.09995b 卩当拉= -0.0000

10、1 时，Az = -13.099951* *当 Az = 0.00001 时,Ai =-13.09951； *1 口J边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度V都趋近于一个确定的值13.1.、思考： 当t趋近 于0时，平均速度v有什么样 的变化趋 势？结论:当t趋近 于0时，即 无论t从小 于2的一、从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t 2时的瞬时速度是 13.1m/s 、为了表述方便，我们用lim h(2一t) h(2)13.1表示“当t 2, t趋近于0时，平均速度V趋近t 0t于定值 13.T 、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度

11、代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是:讪似 x) f(xo)X 0XlimX 0 x(2)xx xo，当 x 0 时，xXo，所以 f (Xo)lim f(x) f(Xo)x 0 X x0求函数f(x)在x = xo处的导数有哪几个基本步骤?y= f(x + x) f(xo)；一般地，第一步，求函数值增量：第二步，求平均变化率:Vy = f(x+Vx)- f(x)Vx =Vxf 匕)=lim Vy0 Vx? 0Vx5、常见结论：(1)li?mf(X)-f(Xo)=f(Xo)(2)帆f(Xo-V；)-

12、f(X0)= -f&0)x? xo X - x0Vx? 0Vx第三步，取极限，求导数:(3)Vim。f(x+ 2Vx)-Vxf(xo)=2f 飢)(4)lim f(xo+mVx)- f(xo)vx? 0nVx-f飢)nf (xo)或 y “，我们称它为函数y f (x)在x x0出的导数，记作即 f (xo)lim f(xox) f(Xo)X 0x说明：(1)导数即为函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率、典例分析 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求 y=f( 1+A x)- f( 1 )=6 x+( x)2再求一y 6x再求lim f 6xx 0 x解：法一(略)、

13、出一3x2 3 123(x2 12)法二：y |x 1 limlimlim3( x 1) 6x 1 X 1X 1X 1X 1x 1(2)求函数f(x)= X2 X在X1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解:y (1 x)2( 1 x) 22f ( 1) lim 丄 t一x-2lim (3 x) 3x 0 xxx 0例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产品， 需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度(单位：C )为f (x) x2 7x 15(0 x 8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.f(2)和 f(6)根据导数定义,f

14、 f (2 x) f(x。)x解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是2 2(2 x) 7(2 x) 15 (27 2 15)* Xx所以 f (2) limx 0 xlim( x 3)3同理可得：f (6)5在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以 3oC/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以 5C/h的速率上升.注：一般地，f(Xo)反映了原油温度在时刻 X。附近的变化情况.四课堂练习21 质点运动规律为s t23，求质点在t 3的瞬时速度为.2 .求曲线y=f(x)=x3在x 1时的导数.3例2中，计算第3h时和第5h时，原油

15、温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 五回顾总结1 瞬时速度、瞬时变化率的概念2 .导数的概念六.布置作业课题：导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题; 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义.教学过程：一复习引入1、函数f(x)在x = X0处的导数的含义是什么?Vy =Vxlim f(Xo+VX)-Vx 0Vxf(Xo)2、求函数f(x)在x= xo处的导数有哪几个基本步骤？3、 导数f (Xo)表示函数f(x)在x = xo处的瞬

16、时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义,是一个需要探究的问题二.知识探究探究一：导数的几何意义1、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pn(Xn, f (Xn)( n 1,2,3, 4)沿着曲线f(X)趋近于点我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点 P即厶XT o时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直 线PT称为曲线在点P处的切线问题：害熾PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ 切线PT的斜率k为多少?容易知道，割线 PPn的斜率是kn凶一,当点Pn沿着曲线无限接近点 P时，kn无限趋近于切线Xn XoPT 的斜率 k，即卩 k lim f(Xox)f (

17、xo)x 0x说明：、设切线的倾斜角为a那么当 xto时,割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质 一函数在x x0处的导数.、曲线在某点处的切线：、与该点的位置有关；、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；、曲线的切线 ，并不一定与曲线只有一个交点 ，可以有多个，甚至 可以无穷多个2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=xo处的导数等于在该点(Xo, f (Xo)处的切线的斜率即: f(xo)lim f(XoX)f(Xo) kX 0X说明：求曲线在某点处

18、的切线方程的基本步骤： 、求出P点的坐标； 、求出函数在点 X)处的变化率f (冷)limX)上 k，得到曲线在点(xofCXj)的切线X 0X的斜率； 、利用点斜式求切线方程探究二；导函数概念：1、导函数定义：由函数f(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当X=X0时，f(X。)是一个确定的数，那么,当X变化时,便是X的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数记作：f(X)或y ,即:f (x) y Iimf(x x) f(x)x 0X注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.2、函数f(x)在点Xo处的导数f(X。)、导函数f(X)、导数之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数 f (Xo)，

19、就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数,不是变数。2) 函数的导数，是指某一区间内任意点X而言的，就是函数f(x)的导函数3) 函数f (x)在点Xo处的导数f(X。)就是导函数f(X)在X X。处的函数值，这也是求函数在点Xo处的导数的方法之一。例1: (1)求曲线y=f(x)=x2+i在点P(1,2)处的切线方程(2) 求函数y=3x2在点(1,3)处的导数解：(1) y 1x12 2x) 1 (11)Xc2X X limx o2,所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y 2 2(x 1)即2x y 0(2)因为y良i012 23x 3 1x 1lim

20、3(x2x 1Iim3( x 1)6x 1所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y 3 6(x 1)即6x y 3 0练习：求函数f(x)= x2 x在x 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：-x(1 x)2(1 x) 22以，在t to附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)t1时，曲线h(t)在t处的切线h的斜率h (t1)0，所以，在t右附近曲线下降，即函数(3)从图h(x)h(x)4.9x2t2时，曲线4.9x26.5x 10在t右附近单调递减.h(t)在t2处的切线I2的斜率h(t2)6.5x 10在t t2附近单调递减.0 ,所以，在tt2附近曲线下降，即函数3.

21、1-3可以看出，直线I1的倾斜程度小于直线I2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c f (t)(单位：mg/mL)随时间t (单位：min )f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示变化的图象根据图像，估计t 0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.0 48 0 91 作t 0.

22、8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91) ,(1.0,0.48)，则它的斜率为：k1.41.0 0.7所以 f (0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f(t)0.40-0.7-1.4四课堂练习1 .求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线;2 求曲线y &在点(4,2)处的切线.五回顾总结1 曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六.布置作业课后记课题：几个常用函数的导数教学目标：y -的导数公式;x1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c、y x、y x22 .掌握并能运用这四个公式正确求函数的

23、导数.2 1 、， 、y x 、 y的导数公式及应用x2 1 、， 、y x 、 y的导数公式x教学重点：四种常见函数y c、y x、 教学难点：四种常见函数y c、y x、 教学过程：一. 复习引入1、导数f致0)的几何意义是什么?2、如何求函数f(x)的导函数？3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数 y f (x)，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能 够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较

24、简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函 数的导数.二. 知识探究1 .函数y f (x) c的导数根据导数定义，因为y f (x x) f(x) c cxxx所以ylidx 0 x啊0 00表示函数y c图像(图3.2-1 )上每一点处的切线的斜率都为0 .若y c表示路程关于时间的函数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度为0,即物体一直处于静止状态.2 .函数yf(x)x的导数因为-yf(xx) f(x)x XX,1。xxx所以ylim -lim1 1x 0x x 0y 1表示函数y x图像(图3.2-2 )上每一点处的切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的函数，则y 1可以解释为

25、某物体做瞬时速度为1的匀速运动.23 .函数y f(x) x的导数因为f(x x) f(x)xx(x x)2 X22x所以ylimX 0 xlim(2 xx 0x) 2x函数导数2y xy 2xy 2x表示函数y x2图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为 2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明：当x 0时，随着x的增加,2 2函数y x减少得越来越慢；当 x 0时，随着x的增加，函数y x增加得越来越快.若2y x表示路程关于时间的函数，则 y 2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x .4 .函数y

26、f (x)-的导数x因为yxf(xx) f(x)xx x x (x x)1xxx(x x) x2x x x所以ylim -x 0 xl叫x21x)4xx函数导数11 nyy xx(2)推广：若 y f (x) xn(n Q )，则 f (x) nxn 1三课堂练习1. 课本P13探究1； 2.课本P13探究2； 3.求函数y X的导数四回顾总结五.布置作业课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算

27、法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一. 复习引入2 11、四种常见函数 y c、y x、y x、y的导数公式及应用x二. 知识探究探究一：基本初等函数的导数公式表函数导数y cy 0n*y f (x) x (n Q )n 1y nxy sin xiy cosxy cosx1ysin xy f(x) axy ax ln a(a 0)y f(x) exxy ef (x) loga x1Lf (x) (a 0且a 1)xln af (x) ln xf(x)-x探究二：导数的运算法则导数运算法则1. f(x)g(x)f (x) g(x)2. f (x)g(x)f(

28、x)g(x)f(x)g(x)特别：cf(x)cf (x)3 f(x)1f(x)g(x) f(x)g(x) /3.g(x)2入丿u丿g(x)三. 典例分析例1假设某国家在 20年期间的年均通货膨胀率为 5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如 下函数关系P(t) Po(1 5%)t，其中Po为t 0时的物价假定某种商品的 Po 1，那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)？解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t) 1.05t ln1.05所以 p(10)1.05101n1.050.08 (元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年

29、的速度上涨.例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.311(1) y x 2x 3 (2) y= ; (3) y= x sin x In x；11 仮x1 In x(4) y=- ; (5) y=. (6) y=( 2 x2- 5 x+ 1) ex4x1 In x,、 sinx xcosx(7) y=cosx xsinx说明：求导数是在定义域内实行的求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.1吨水例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将5284净化到纯净度为X%时所需费用为：c(x)(80 x 100)100 x求净化到下列

30、纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1) 90% (2) 98%解：略四课堂练习1 .课本P92练习2 .已知曲线C： y= 3 x4-2 x3- 9 x2 + 4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(y=- 12 x + 8)五回顾总结(1)基本初等函数的导数公式表(2 )导数的运算法则六.布置作业课后记课题：复合函数的求导法则教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变 量对自变量的导数之积.教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.教学过程：一复习引入1、基本初等函数的导数

31、公式表函数导数y cy 0y f (x) xn(n Q*)n 1y nxy sin x1y cosxy cosx1ysin xy f (x) axy ax In a (a 0)y f(x) exxy ef (x) loga x1口f (x) loga xf (x) (a 0且a 1)xln af (x) Inx1 f (x)-x2、导数的运算法则导数运算法则1. f(x) g(x)f(x) g(x)2. f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)特别：cf (x) cf (x)f(x) g(x)(g(x) 0)f(x)g(x) f(x)g(x)2 g(x)、知识探究1、复合函数

32、的概念：一般地，对于两个函数y f (u)和u g(x)，如果通过变量u , y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y f(u)和u g(x)的复合函数，记作 y f g(x)。2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？3 y = In (x2+ 3) y = (2x + 3) y = sin (ax + 1)3、 复合函数的导数：复合函数y f g(x)的导数和函数 y f (u)和u g(x)的导数间的关系为 yx yu ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.若 y f g(x)，则 y f g(x) f g(x) g (x)三. 典例分析例1求下列函数的导数：3-

33、0.05x+ 1(1) y= (2x+ 3)3； (2) y = e(3) y = sin(px + j ) ( 4) y = In(3x+ 2).例2求y= 一；a的导数.Jx 2 ax例3求y= sin4x+ cos4x的导数.、 1【解法一】y= sin4x+ cos4x= (sin2x+ cos2x)2 2sin2cos2x= 1sin22 x21 31=1 (1 cos 4 x)= + cos 4 x. y= sin 4x.444【解法二】y= (sin4x)+ (cos4x)= 4 sin3x(sin x)+ 4 cos3x (cos x)= 4 sin3x cos x+ 4 co

34、s3x ( sin x)= 4 sin x cosx(s in2x cos2x) = 2 sin 2 x cos 2 x= sin 4 x例4曲线y= x ( x+ 1) (2 x)有两条平行于直线y= x的切线，求此二切线之间的距离.1【解】y=x3+x2+ 2xy= 3 x2 + 2x+ 2 令 y= 1 即 3x22 x 1 = 0，解得x=或 x= 1 .于是切31 14点为 P (1, 2), Q一)，3 27过点P的切线方程为，y 2= x 1即x y+1 = 0.显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为1127 1|32722 .27四课堂练习1求下列函数的导数33

35、sin2x , 2 小、(1) y=sinxsin33x； (2) y;(3) loga(x 2)2x 12.求ln(2x2 3x 1)的导数五回顾总结六.布置作业课题：函数的单调性与导数教学目标：1 .了解可导函数的单调性与其导数的关系；2 .能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一. 情景导入函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小

36、值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个 基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.二. 知识探究21.问题：图331 (1),它表示跳水运动中高度 h随时间t变化的函数h(t) 4.9t6.5t 10的图像,图3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t) h (t)9.8t 6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像，我们可以发现：、运动员从起点到最高点，离水面的高度 h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数相应地，v(t) h (t)

37、0 .、从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数相应地，v(t) h (t) 0 .2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.3.3-3，导数f(X。)表示函数如图f (x)在点(X。，y)处的切线的斜率.结论:x0处，f(X。)0 ,切线是“左下右上”式的，这时,%处，f(X0)0,切线是“左上右下”式的，这时,函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y那么函数y f(x)在这个区间内单调递减.函数f (x)在X0附近单调递增;函数f (x)在X1 附近单调递减.f (x)在这个区间内

38、单调递增；如果f (X)0，说明：(1)特别的，如果f(X)0,那么函数y f(x)在这个区间内是常函数.3 求解函数y f(x)单调区间的步骤：(1 )确定函数y f (x)的定义域；(2) 求导数 y f(x);(3 )解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间.三. 典例分析例1.已知导函数f(X)的下列信息：当1 x 4时，f (x) 0 ；当x 4，或x 1时，f (x) 0 ；当x或x 1时，f(x)0,试画出函数y f (x)图像的大致形状.解：当1 x 4时，f(x)0,可知y f (x)在此区间内单调递增；当x 4

39、，或x 1时，f(x)0 ；可知y f (x)在此区间内单调递减；当x 4，或x 1时，f(x)0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数y f(x)图像的大致形状如图 3.3-4所示.例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1)f (x)x3 3x ； (2) f (x)x22x 332(3) f (x)sinx x x (0, ) ；(4)f (x)2x 3x 24x 1解：(1)因为 f(x) x 3x，所以，f (x) 3x 3 3(x1)03yl/(jr)=rJ+3rr i(2)因为 f (x) x2 2x3 ,2x 2x 3单调递增;因此，f(x) x 3x在r上单

40、调递增，如图 3.3-5 (1)所示.当f (x)0,即x 1时，函数f (x) 函数f(x) X2 2x 3的图像如图3.3-5 (2)所示.当f(x)0,即x 1时，函数f(x)x 2x 3单调递减;(3) 因为 f(x) sinx x x (0,)，所以，f (x) cosx 10因此，函数f (x) sinx x在(0,)单调递减，如图3.3-5 (3)所示.32(4) 因为 f (X) 2x 3x 24x 1，所以.当 f(x)0,即时，函数f (x)x22x3 ；当 f (x)0，即时，函数f(x)x22x3 ；函数f(x) 2x3 3x2 24x 1的图像如图3.3-5(4)所示

41、.注：(3 )、(4)生练例3 如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像小思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能 从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的 图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓” 一些.如图3.3-7所示，函数y f(x)在0, b或a,0内的图像“陡峭”，在b,或，a内的图像“平缓”.例4求证：函数y3小 22x 3x12x1在区

42、间2,1内是减函数.证明：因为y 6x26x 126x2x 26x 1 x 2当x2,1 即 2x 1 时，y0，所以函数y 2x3 3x2 12x1在区间2,1内是减函数.说明：证明可导函数 f X在a,b内的单调性步骤:(1 )求导函数f x ； (2)判断f x在a,b内的符号;(3)做出结论：f x 0为增函数，f x 0为减函数.例5、已知函数f(x)4x ax22x3在区间31,1上是增函数，求实数 a的取值范围.解：f(x)4 2ax 2x2，因为f x在区间1,1上是增函数，所以f(x)0对x1,1恒成立，即2x ax 20 对 x1,1恒成立，解之得:所以实数a的取值范围为

43、1,1 .说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函 数单调递增，则f(x) 0；若函数单调递减，则f(x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四课堂练习1求下列函数的单调区间(1) .f(x)=2x3 6x2+72. f(x)=+213. f(x)=sinxx 0,2 4.y=xlnx2 课本练习x五回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y f(x)单调区间(3)证明可导函数f x在a,b内的 单调性六.布置作业课后记课题：函数的极值(一)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义2、掌握函数极值的

44、判别方法 进一步体验导数的作用. 教学重点：求函数的极值教学难点：严格套用求极值的步骤教学过程：一、复习引入1函数f(x)在区间(a, b)内的单调性与其导数的正负有什么关系? 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？二、知识探究探究一；函数的极值的概念a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小.2、观察函数f(x)= 2x3 6x2 + 7的图象，思考：函数y= f(x)在点x= 0, x= 2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点？(1) 函数在x= 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；(

45、2) 函数在x= 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f(2)是函数的一个极小值.函数y = 2x3 6乂 + 7的一个极大值:f (0); 一个极小值：f (2).函数y= 2x3 6x2 + 7的一个极大值点:(0, f (0);一个极小值点:(2, f (2).3、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点X0附近有定义，如果对X0附近的所有的点，都有f(x)v f(xo)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作：y极大值=f(xo);如果对xo附近的所有的点，都有f(x) f(xo), 我们就说f(xo)是函数f(x)的一个极小值，记作：y极小值=f(xo).极大值与极小值

46、统称为极值.探究二：函数极值的求解1、观察下图中的曲线上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0,极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正.2、利用导数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：如果在X0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x)v 0，那么，f(X0)是极大值；如果在X0附近的左侧f (x)v 0,右侧f (x)0，那么，f(X0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？(导数为0的点不一定是极值点.)如函数f(x)= x3, x= 0点处的导数是0,但它不是极值点.说明：、函数的极值点 Xi是区

47、间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点.、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.、函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点.b)内的函数图像如图，贝U函数3、函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数f(x)在(a, f(x)在开区间(a, b)内存在极小值点几个.例1求函数y lx3 4x 4的极值3解：y = x2 4= (x+ 2)(x 2).令 y = 0,解得 xi= 2, x2 = 2 .当x变化时，y , y的变化情况如下表.X(* 2-2(7 2)2(監+8)+01)+y

48、极大値28T极小值4284因此，当x= 2时，y极大值=，当x= 2时，y极小值=一.33总结：求可导函数 f (x)的极值的步骤：求导函数f (x)；求方程f (x)= 0的根；检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么 f(X)在这个根处取得极小值.例2.求函数y x2e x的极值例3求函数y = (x2 1)3+ 1的极值.解:定义域为R, y = 6x(x2 1)2.由y = 0可得xi = i, x2 = 0, X3= 1当x变化时，y , y的变化情况如下表:X叫1)-1(-1, 0)1)00y1 、无极值、様小值0X

49、1+0+y无樓值当x= 0时，y有极小值，并且 y极小值=0.x 2例4. y2的极值2(x 1)2例5. y (x 1)Vx2的极值练习：求函数y x3e x的极值四、课堂小结1. 函数的极值的定义。2、 求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f (x)t解方程f (x)= Of判断在根附近左右两侧f(x)的符号t作出结论.五、课后作业课后记课题：函数的极值(二)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用教学重点：求函数的极值教学难点：严格套用求极值的步骤教学过程：一、复习引入1 .函数的极值的定义。略(1) 函数的极值点 X是区

50、间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点.(2) 函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.(3) 函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点.2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f (x)t解方程f (x)= Of判断在根附近左右两侧f(x)的符号t作出结论.二、讲授新课例1.已知f(x) ax3 bx2 cx(a 0)在x1时取得极值，且f1.(1求常数a、b、c的值；(2判断x1分别是极大值点还是极小值点？练习：(1)已知函数f (x)= x3 + ax2 + bx+ c,且知当x=- 1时取得极大值7,当x= 3时取得极小值，试求函数f (x)的极小值，并求 a、b、c的值已知f (x) ax3 bx2 2x在x2, x 1处取得极值.1) 求 f(x)的解析式；3 bx2 ex在点x0处取得极大值10，其导函数f(x)的图像经过点(1,0), (2 0). a、b、e的值.2) 求f (x)的单调区间.2)x 1既有极大值,例2.已知 f (x) ax3 bx如图，求()1 x0的值；(2)例3.若f (x) x3 3ax2 3(a又有极小值.求a的取值范围.ax3 bx2已 知 x2 和 x例4.函数f (x) x2ex 1(1求a和b的值； 讨论