弧长与扇形面积(2

1、弧长与扇形面积6270。的扇形铁皮，用它做一个圆.选择题1. （ 2017山东省东营市 3分）如图，已知一块圆心角为锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cm则图中阴影部分的面积是（）【分析】先利用圆周角定理得到C.【知识点】 圆中的计算问题 一一弧长、圆锥的侧面积【答案】A.【解析】设这块扇形铁皮的半径为Rcm,v圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，270X 2R= 2 n 畧.解得 R= 40.故选择A.【点拨】本题考查了圆锥的计算： 圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.2.

2、（2017重庆市A卷4分）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点 C,若AC=BC= ,/ ACB=90，则可判断 ACB为等腰直角三角形，接着判断厶AOC和 BOC都是等腰直角三角形，于是得到Sa aoc=S boc，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积.【解答】解：/ AB为直径,/ ACB=90 ,/ AC=BC= ACB为等腰直角三角形,0C 丄 AB , AOC和 BOC都是等腰直角三角形,J7-aoc=Sa boc， 0A=AC=1 ，o o90兀 l2360【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式:条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.S=n2,( 2)扇形

3、：由组成圆心角的两求阴影面积常用的方法：直接用公式法;4和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.3. (2017重庆市B卷4分)如图，在边长为 6的菱形ABCD中，/ DAB=60，以点D为圆心，菱形的高 DF为半径画弧，交 AD于点E，交CD于点G,则图中阴影部分的面积是A . 18 一一 9 nB. 18 - 3 n C . 9 D . 18甘二一3 n【考点】菱形的性质；扇形面积的计算.【分析】由菱形的性质得出 AD=AB=6 , / ADC=120，由三角函数求出菱形的高 DF，图中 阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形 DEFG的面积，根据面积

4、公式计算即可.【解答】 解：四边形ABCD是菱形，/ DAB=60 , AD= AB=6 , / ADC=180 - 60 =120 ,DF是菱形的高， DF 丄 AB , DF=AD?si n60 =6X 迟=3,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形 DEFG的面积=6X3 -；：二厂-9 n【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.4. (2017 广西桂林 3 分)如图，在 RtA AOB 中，/ AOB=90 OA=3 , OB=2，将 Rt AOB 绕点O顺时针旋转90后得Rt FOE ,将线段EF绕点E逆时针旋转9

5、0 后得线段ED,分别 以O, E为圆心，OA、ED长为半径画弧 AF和弧DF，连接AD，则图中 阴影部分面积是( )C. 3+ n D . 8 - n【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.【分析】作DH丄AE于H，根据勾股定理求出 AB ,根据阴影部分面积= ADE的面积+ EOF 的面积+扇形AOF的面积-扇形 DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可.【解答】解：作DH丄AE于H,/ AOB=90 OA=3 , OB=2 , AB=,由旋转的性质可知， OE=OB=2 , DE=EF=AB= .T , DHE BOA , DH=OB=2 ,阴影部分面积= ADE的面积+ EOF的面积+扇形A

6、OF的面积-扇形 DEF的面积=8 - n, 故选：D.5. （2017内蒙古包头3分）120。的圆心角对的弧长是 6 n则此弧所在圆的半径是（【考点】弧长的计算.I分析】根据弧长的计算公式，将 n及1的值代入即可得出半径r的值.I解答】解：根据弧长的公式匸；，得到: 解得r=9.故选C./ A=30 BC=2占，以直角边 AC为直径作O O交AB于点【考点】【分析】D，则图中阴影部分的面积是（ C - D.扇形面积的计算；含连接连接OD、CD ,30度角的直角三角形.7V3巩根据 S 阴=$ aabc Sa acd （S扇形ocd - Saocd ）计算即可解决问题.【解答】解：如图连接OD

7、、CD.6. （2017山东潍坊 3分）如图，在 Rt ABC中,/ AC是直径, / ADC=90 ,/ A=30 ,/ ACD=90 - / A=60 ,/ OC=OD , OCD是等边三角形，/ BC是切线./ ACB=90 , / BC=2 在, S 阴=Saabc acd _（ S 扇形 ocd Socd ）= X62X3x 二_（-厶二X32）22360415V33=n4 2故选A .7. （ 2017吉林2分）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若a =120； 3 =60；则大扇形与小扇形的面积之差为（）【考点】扇形面积的计算.【分析】利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，

8、再用较大面积减去较小的面积即可.【解答】解= 一：弋:. x -.L 口3603606，故选B .8. （2017四川宜宾）半径为6,圆心角为120。的扇形的面积是（）A . 3 n B. 6 nC. 9 n D.12 n【考点】扇形面积的计算.2【分析】根据扇形的面积公式s= ! 计算即可.360【解答】解：S= =12n ,360故选：D .9. （2017四川内江） 如图2,点A, B, C在O O上，若/ BAC = 45 OB= 2,则图中阴影部分的面积为（）C. n 2 D. - n 23A答案C 考点同弧所对圆心与圆周角的关系，扇形面积公式、三角形面积公式。解析/ 0= 2/ A

9、= 2 45 = 90 -S 阴影=S 扇形 obc obc =90 二 |_223602 2= n 2.1807故选C.90 10. （2017湖北荆门3分）如图，从一块直径为 24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为 的扇形ABC，使点A , B, C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（【考点】圆锥的计算.3 . _cm D . 2_cm【分析】圆的半径为半的=圆2, 那么过圆心向 AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的长度，进而求得 AC的长度，利用弧长公式可求得弧 BC的长度，圆锥的底面圆的半径 锥的弧长十2n【解答】 解：作OD丄AC于点D，连接OA

10、,/ OAD=45 , AC=2AD , AC=2 (OA cos45 =12典cm,oon X12V27t圆锥的底面圆的半径 =6 了冗（2n） =3 cm.11. （2017山东省东营市 分）如图，已知一块圆心角为270。的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是 60cm,则这块扇形铁皮的半径是 （）A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm（第7题图）22【知识点】 圆中的计算问题 一一弧长、圆锥的侧面积【答案】A.【解析】设这块扇形铁皮的半径为Rcm,v圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，.27060360x 2R=2兀务.解得R= 40.故选

11、择A.【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.12. （2017重庆市A卷4分）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点 C,若AC=BC= ，则图中阴影部分的面积是（）【分析】先利用圆周角定理得到 / ACB=90，则可判断 ACB为等腰直角三角形，接着判 断厶AOC和 BOC都是等腰直角三角形，于是得到 Sa aoc=Sa boc，然后根据扇形的面积公 式计算图中阴影部分的面积.【解答】解：/ AB为直径，/ ACB=90 ,-AC=BC=-, ACB为等腰直角三角形，0C 丄 AB , AOC和 BOC都是等

12、腰直角三角形，- SA AOC=Sa boc, 0A= AC=1 ,2 oo90兀.2 兀-S阴影部分=S扇形AOC=:=3604故选A .【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=n,( 2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.求阴影面积常用的方法：直接用公式法;和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.13. (2017重庆市B卷4分)如图，在边长为 6的菱形ABCD中，/ DAB=60，以点D为 圆心，菱形的高 DF为半径画弧，交 AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是A . 18 三一9 n B. 18

13、- 3 n C . 9. = 丄 D . 18 三一3 n【考点】菱形的性质；扇形面积的计算.【分析】由菱形的性质得出 AD=AB=6 , / ADC=120，由三角函 数求出菱形的高 DF，图中 阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形 DEFG的面积，根据面积公式计算即可.【解答】 解：T四边形ABCD是菱形，/ DAB=60 , AD=AB=6 , / ADC=180 - 60 =120,DF是菱形的高, DF 丄 AB , DF=AD?si n60 =6X 玺=3 典, 图中阴影部分的面积 =菱形ABCD的面积-扇形 DEFG的面积=6X3 -：-18 二 9【点评】本题考查了菱形的性

14、质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.14. (2017 广西桂林 3 分)如图，在 Rt AOB 中，/ AOB=90 , OA=3 , OB=2 ,将 Rt AOB 绕点O顺时针旋转90后得Rt FOE ,将线段EF绕点E逆时针旋转90 后得线段ED,分别 以O, E为圆心，OA、ED长为半径画弧 AF和弧DF，连接AD，则图中 阴影部分面积是( )5开A . n B. ;- C. 3+ n D. 8 _ n4【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.【分析】作DH丄AE于H，根据勾股定理求出 AB ,根据阴影部分面积= ADE的面积+ EOF 的面积+扇形

15、AOF的面积-扇形 DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可.【解答】解：作DH丄AE于H,/ AOB=90 , OA=3 , OB=2 ,由旋转的性质可知， OE=OB=2 , DE=EF=AB=:i , DHE BOA , DH=OB=2 ,阴影部分面积= ADE的面积+ EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形 DEF的面积=8 n, 故选：D.填空题1. （2017四川眉山3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120。的扇形，贝U此圆锥底面圆的半径为cm ._3 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图

16、扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2 n厂：厂2 n r=,ISO8r=cm.3故答案为：丄cm.3【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.【分析】设底面半径为r,母线为I,由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=刁,代入S侧=冗r,求出r，I，从而求得圆锥的高.【解答】解：设底面半径为r，母线为I,主视图为等腰直角三角形， 2r=刁,侧面积 S 侧=冗 rl=2 2=ir ，7 n crm,解得 r=4, l=4，圆锥的高h=4cm ,故答案为：4.4. （ 2017湖北黄石3分）如图所示，正方形

17、ABCD对角线AC所在直线上有一点 0,0A=AC=2，将正方形绕0点顺时针旋转60 在旋转过程中，正方形扫过的面积是2 n +2 .B CD【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积.【解答】解：I 0A=AC=2 , AB=BC=CD=AD=叮乙 0C=4 ,S 阴影=厂 I-!2：2=2 n +2故答案为：2 n +2【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键.5. （ 2017湖北荆州3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为4n c

18、m2.【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积.【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm,故表面积=n rl+ n=rnX 1 X 3+2n=45= 25.【点拨】本题考查扇形面积的计算：若已知扇形的弧长I、半径r，则扇形的面积=2ir；若已知扇形的圆心角的度数n、半径r，则扇形的面积=n360120 面积为12 n cm则此扇形的半10. （2017黑龙江哈尔滨分）一个扇形的圆心角为 径为 6 cm.【考点】

19、扇形面积的计算.【分析】根据扇形的面积公式 S= 即可求得半径.2【解答】解：设该扇形的半径为 R,则兀 =12 n解得R=6.即该扇形的半径为 6cm.故答案是：6.1. （ 2017贵州毕节5分）如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为一 n- 1 .一2【考点】扇形面积的计算.【分析】如图，作辅助线；首先求出半圆O的面积，其次求出 ABP的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积 =4 （S半圆o-S abp ）,求出值，即可解决问题.【解答】 解：如图，连接 PA、PB、0P;则 S 半圆 0=, Saabp=AB?OP= + X1 X.=,呂222 4由

20、题意得：图中阴影部分的面积=4 （ S半圆o - Saabp）故答案为n- 111. （ 2017河南）如图，在扇形 A0B中，/ AOB=90，以点A为圆心，0A的长为半径作交于点C,若0A=2，则阴影部分的面积为 _一二.!_.【考点】扇形面积的计算.【分析】连接 oc、AC,根据题意得到 A0C为等边三角形，/ B0C=30，分别求出扇形 C0B的面积、 A0C的面积、扇形 A0C的面积，计算即可.【解答】解：连接0C、AC ,由题意得，0A=0C=AC=2 , A0C为等边三角形， / B0C=30 ,扇形 C0B的面积为：,3603 A0C 的面积为：一 X2X 二=.二，扇形A0C

21、的面积为：1 厂 - 丄 ,3603则阴影部分的面积为：I + 一 - 一. =一 -一 !,故答案为：-.S= 360【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式 是解题的关键.三、解答题1.(2017浙江省湖州市)如图，已知四边形 ABCD内接于圆O,连结BD , / BAD=105 ,/ DBC=75 .(1)求证：BD=CD ;【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算.【分析】(1)直接利用圆周角定理得出/ DCB的度数，再利用/ DCB= / DBC求出答案;(2)首先求出丨的度数，再利用弧长公式直接求出答案.【解答】(1)证明：四边形ABCD内接于圆O,/

22、DCB+ / BAD=180 ,/ BAD=1 05,/ DCB=180 - 105 =75,/ DBC=75 ,/ DCB= / DBC=75 ,BD=CD ;(2)解：/ DCB= / DBC=75 ,/ BDC=30 ,由圆周角定理，得，的度数为：60故,=吕180 1802. (2017四川攀枝花) 如图，在矩形 ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE丄AF，垂足为点E(1) 求证：DE=AB ;(2) 以A为圆心，AB长为半径作圆弧交 AF于点G,若BF=FC=1，求扇形ABG的面积.(结 果保留n)【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质.【分析】

23、(1)根据矩形的性质得出 / B=90 , AD=BC , AD / BC ,求出/ DAE= / AFB ,/ AED=90 = / B，根据 AAS 推出 ABF DEA 即可；(2)根据勾股定理求出 AB，解直角三角形求出 / BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB= 二，/ GDE= / BAF=30，根据扇形的面积公式求得求出即可.【解答】(1)证明：T四边形ABCD是矩形，/ B=90 , AD=BC , AD / BC,/ DAE= / AFB ,/ DE 丄 AF ,/ AED=90 = / B,在厶ABF和厶DEA中rZAFB=ZDAE ZBZDEA ,AF=AB

24、ABF DEA (AAS ), DE=AB ；(2)解：/ BC=AD , AD=AF , BC=AF ,/ BF=1 , / ABF=90 , 由勾股定理得：AB=.，.上一=二，/ BAF=30 ,ABF DEA ,/ GDE= / BAF=30 , DE=AB=DG= 二，扇形ABG的面积=二: J W n360【点评】本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键.3. (2017黑龙江龙东6分)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(-1,3)、(- 4, 1) (- 2, 1),先将 ABC沿一确定方向平移得到 AiBiCi，点B的对应点Bi