必修5数列知识点总结及题型归纳

1、名师推荐精心整理学习必备数列、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；(2) 通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1，2，3，4，5 ，:(3) 数列的函数特征与图象表示:序号：123456(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0,

2、 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系:卢 (n = 1)飞 - Sn二(n2)例：已知数列an的前n项和sn =2n2 3，求数列an的通项公式等差数列d表示。用递推公式表示为题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母an -and =d(n 一2)或寺 -a. =d(n 1)。例：等差数歹U an = 2n -1 , an - an二题型二、等差数列的通项公式：a a1 (n - 1)d ；等差数列(通常可称

3、为 AP数列)的单调性：d 0为递增数列，d = 0为常数列，d : 0为递减数列。 例：1.已知等差数列an :冲，a7 a9 =16, a4=1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 =1,公差d = 3的等差数列，如果a. =2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670题型三、等差中项的概念：o + b定义：如果a，A，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 A=皂上2a + ba，A，b 成等差数列=A=2-即: 2an 厂 On On .2( 2an =寺 an.m)例：1设.an /是公

4、差为正数的等差数列，若aHa2 + a 15 , a1a2a80，贝U an+a+au ()A. 120B . 105C. 90D . 752. 设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：(1) 在等差数列a中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2) 在等差数列a中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3) 在等差数列 g中，对任意 m , n N ., a* = am (n - m)d , d =色一(m = n)；n m(4) 在等差数列 aj 中，若 m, n , p , q N .且

5、 m n 二 p q，则 am 耳二 ap 爲； 题型五、等差数列的前n和的求和公式：sn m01=n印二丄n2 ( a1d) n。2 2 2 2(Sn二An2 Bn (A, B为常数)=玄是等差数列)递推公式：S =佝+an)n =(Om 7心川2 2例：1.如果等差数列中，a3 a4 a 12，那么a1 a2 . a7 =(A) 14(B) 21(C) 28( D) 352. 设Sn是等差数列 0 1的前n项和，已知a3 , 06 =11，则S7等于()A. 13 B . 35 C . 49 D . 633. 设等差数列:a/f的前n项和为Sn，若S =72,则a2 a4 ag =4. 若

6、一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有()A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 设等差数列 玄*的前n项和为S*，若比=5a3则色=S56.已知Bn 数列:是等差数列，ai0=10 ,其前211A.B. -一C.-D.33310项的和Si0 =70，则其公差d等于()23S7.设 an为等差数列，S为数列 an的前n项和，已知 3 = 7, S5= 75, Tn为数列 的前nn项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn , S2n - Sn , Ssn - S?n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为

7、100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60，则前3 n项的和为3. 设Sn为等差数列 a 的前n项和，S14, Sw - S7二30,则S =4. （ 06全国II ）设$是等差数列an的前n项和，若色=-，则S63S6B.-D.310题型七判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法：an勺-an =d（常数）（n N J = gn 是等差数列例：1.已知一个数列an的前n项和Sn二2n2 4，则数列an为（A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列an的前n项和S

8、n2=2n，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.数列 & 匚满足 a1 =8, a2,且 a. 2 - 2an - a.求数列Qn 的通项公式;题型八数列最值（1） a 0 , d ：0 时，Si 有最大值；q：0, d 0 时,Sn有最小值;（2） Sn最值的求法：若已知 Sn , Sn的最值可求二次函数San2 bn的最值;可用二次函数最值的求法（n e N+）；或者求出a,中的正、负分界项，即:中项法：2an 1 - an - an 2(nN )玄f是等差数列通项公式法：an =kn b（k,b为常数）=a 是等差数列前n项和公式法：

9、Sn二An2 Bn （A,B为常址aj是等差数列卄“固王0亠&兰0右已知a，则Sn最值时n的值(n N .)可如下确定或an+ 2)1已知数列 a 的前 n项和 Sn二n24n - 1,则22. 设数列an的前n项和为Sn=2n，求数列a*的通项公式；3. 已知数列n 中，务=3,前n和Sn =】(n1)(an 1) -12 求证：数列：an 是等差数列 求数列：an 的通项公式4. 设数列an的前n项和& = n2，则ag的值为()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式递推关系：an勺=anq通项公式：an = qn4推广：an 二 am

10、 q1.在等比数列中，a1=4,q=2，则an =2 .在等比数列 Q 冲，a? - -2 , a =54，则a8=3. 在各项都为正数的等比数列an中，首项31 =3，前三项和为21,则a3 a4 a ()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为 b = - . ac,注：b2二ac 是成等比数列的必要而不充分条件例：1. 2 ,3和2 -的等比中项为()(A)1(B) -1(C) _1(D)2三、等比数列的基本性质，1. ( 1)若m n = p q，则 am -a ap aq (其中m,n, p,q N )n _

11、m an2(2) q -，ananq a. m (n N )am(3) a /为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) a 1既是等差数列又是等比数列=a 是各项不为零的常数列.例：1 在等比数列fan 中，6和a10是方程2x2 5x 0的两个根，则a4 a7 =()54211(A)(B)(C)-c(D)c22222. 在等比数列 & 匚中，a1 a6 =33, a3a 32, an - an 1 求an 若 Tn =lg 3 Iga2 亠亠Igan,求Tn3. 等比数列an的各项为正数，且 asOj a4a7=:18，则 Iog3 a Iog3 a? IH Iog3 氐=()

12、A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+Iog35na (q 二 1)n四、等比数列的前 n项和，Sn二Q(1-q ) a1 -anq(q = 1) =J 1 1 例：1.已知等比数列an的首相a1 =5，公比q = 2，则其前n项和Sn二2.设等比数列an的前n项和为&，已a2 = 6, 6a1 a3 = 30，求an和Sn2A.(8n -1)3设 f (n) =2 24 2721。川 23n10(n N)，则 f(n)等于()B.扌1) C .扌 3) D . |(8n -1)五等比数列的前n项和的性质若数列 S :是等比数列，Sn是其前n项的和，N*，那么Sk，S2k -Sk

13、，S3k -S2k成等比数列 例：1. 一个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60，则前3n项的和为（）A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知数列a 是等比数列，且Sm=10,S2m=30,则S3m二六等比数列的判定法（1）定义法：-q （常数）-：.an /为等比数列； an（2）中项法：an 1 -an an 2(an = 0)= an f 为等比数列；（3） 通项公式法：an = k qn （k,q为常数）= 玄为等比数列；（4） 前n项和法：Sn二k（1 -qn）（k,q为常数）： a?为等比数列。Sn =k - kqn （ k,q为常数）- ：a“

14、为等比数列。七.利用a（n二1）求通项. n Qn-乩（n 2）例：1.数列an的前n项和为S，且a1=1，n=1， 2， 3,，求a2，as，a4的值及数列an的通项公式.2.已知数列 3鳥的首项a1=5,前n项和为Sn，且SnSn npn，N）*，证明数列a 1是等比数列.求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例: 1已知等差数列an满足：a3 =7,a5，a7 =26,求an ；2.已知数列an满足印=2,an - an=1(n _ 1)，求数列an的通项公式;3. 数列满足a1=8, a4 =2,且a.半2an*+an =0 ( n N讯)，求数列

15、 a 1 的通项公式;1 14.已知数列an满足a2,2，求数列的通项公式;an 十 an1 15.设数列an满足a1 =0且1，求an的通项公式1 an +1 an6.已知数列an满足a1 =2, an =3anm(n _ 1)，求数列an的通项公式;7.已知数列an满足a1 = 2, a2 = 4且an七，an =an(n N *),求数列 a / 的通项公式;8.已知数列an满足a1 =2,且an1 -5n2(a5n) ( nN ”)，求数列 沧，的通项公式;9.已知数列an满足 a2,且 an 1 5 2n 1 2= 3(an 5 2n 2) ( n N ),求数列 af 的通项公式；

16、(2)累加法a3 -a f (2)III III1累加法 适用于：anan f(n)若 an 1 -an 二 f(n) (n -2)，则an 1 - an 二 f (n)n两边分别相加得an彳-6 =7 f (n)k-11 1例：1已知数列an满足印 ,an j =an2 ，求数列an的通项公式。24n12. 已知数列an满足an勺=an 2n 1,印=1，求数列an的通项公式。3. 已知数列an满足a. 1二务 2 3n 1，a 3，求数列佝的通项公式。2n 14. 设数列an满足a2，an 1 - an =3 2 ，求数列an的通项公式(3) 累乘法适用于：anf (n)anan 1若 -

17、an二 f(n)=f( n)，则亜=f色=f(2)，川川，空a1a2an例：1.已知数列an满足an1 =2(n 1)5n an，a, = 3，求数列an的通项公式。2.已知数列加足a-3，nan 1 an，n +1求an。3. 已知 a1 =3，3n 1an 1 _ 3n 2 an(n _ 1)，求 an。(4)待定系数法适用于 an 1 二qan f( n)解题基本步骤：1确定f(n)2、设等比数列:a 1f(n)?，公比为3、列出关系式 an 1 1 f (n 1) V/an 7(n)4、比较系数求-1 ,25、 解得数列、f(n)?的通项公式6、解得数列曲的通项公式例：1.已知数列an

18、中，a1,a2anJ，1(n_2)，求数列；.a,的通项公式。2在数列an中，若d =1,an卑=2an +3(n兰1)，则该数列的通项 an =3.已知数列an满足an2an 3 5n,耳=6，求数列的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 =2(已 x 5n)5114已知数列 中，a1 =，a =an+()n*，求 a.6325.已知数列an满足an2an 4 3nJ, q =1,求数列1an?的通项公式。(5) 递推公式中既有Sn又有an(S1, n = 1“把已知关系通过an转化为数列”昇或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。I Sn - 5 4, n _ 211.数列an的前n

19、项和为S,且a1=1,an dSn,n=1,2,3, ，求a2,a3,a4的值及数列an3的通项公式.2.已知数列 匕中，a1 =3,前 n和 Sn =(n，1)(an，1)-12求证：数列：an匚是等差数列求数列4的通项公式13.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Snn 1)(% 2),且&2,4月成等比数列，6求数列an的通项公式。(6) 倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例：1.已知数列an满足an 1 n ,印=1，求数列an的通项公式。an +2数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。Sn(a= na!2 2na T)nSn Y ai(17)(q 知)1 -q公比含字母时一定要讨论例：1。已知等差数列an满足a1 =1, a2 =3，求前n项和Sn2已知等比数列an满足a1 =1, a2 =3，求前n项和Sn3.设 f (n) = 2 24 27 21。川 23n 10(n N)，则 f (n)等于()A.|(8n-1)B. l(8n1-1) C. l(8n3-1)DJ7(8n4-1)2错位相减法求和：如:认等差，b 等比，求ab a2b2川釘anbn的和例: 1 求和 Sn = 1 2x 3x2 川 nxn J123nSn :-23naaa