北师大版选修2-1充分条件与必要条件教案

1、2充分条件与必要条件2. 1 充分条件2. 2必要条件2. 3充要条件敖孑教法分析e明课株步秦解读双敕法”昭竇号三维目标1知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义.2. 过程与方法(1) 通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更 好地理解概念.(2) 通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思 维能力.3. 情感、态度与价值观(1) 在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯.(2) 在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质 疑，提高思维的逻辑性.重点难

2、点重点：1理解充分条件、必要条件的含义.2.充分条件、必要条件、充要条件的判断.难点：对必要条件的理解.在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教 学方法上采用“合作一探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的 含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法.设计授方畴 滂：翟细解 m ”散秦(教师用书独具)教学建议教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使

3、之与学生的知识结构同步发展完善.教学流程创设情境,激发兴趣给出定义获得新知形成方法拓引导归纳，深入探究，反馈练习，总结反馈，展理數材白亚白测 nd ”臬咄自主学 甘恆I课标解读i.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.（重点）2充分条件、必要条件与充要条件的判断.（难点）3利用条件关系求字母的取值范围.（难点）充分条件与必要条件【问题导思】已知直线 li： y= kix+ bi, I2： y= k2x+ b2.（1）由ki= k2能推出J I2吗?【提示】 当ki = k2, bi = b2时，11与I2重合，故由ki = k2不能推出11 / 12. 由li / I2能推出ki = k2吗

4、?【提示】由h/ I2能推出ki = k2.1.推断符号“ ？ ”的含义若p，则q”为真，是指由条件 p经过推理可以得到结论 q，记作p? q，读作“ p 推出q”.2.充分条件与必要条件|M . 2充要条件推式“若p，则q”真，即p? q“若p,则q”的逆命题真，即q? pp是q的充分条件必要条件q是p的必要条件充分条件【问题导思】天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么?【提示】 不需要，因为由 A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然.如果p? q,且q? p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记

5、作p? q.充分条件、必要条件、充要条件的判断ax2 + bx + c 0的解集为（1） “ b2 4acv 0”是“一元二次不等式R ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件对于数列an，“an+i|an|（n= 1,2，）”是“ 为递增数列”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【思路探究】着眼点分清条件p与结论q分别判断“若p,则q”与“若q，则p”的真假【自主解答】（1）当a= c= 1, b= 0时，不等式ax2 + bx+ c0的解集为?.反过来，由一元二次不等式ax2 + bx+ c0的解

6、集为R,a 0得 2，= b 4acv 0oo因此，b 4acv 0是一元二次不等式 ax + bx+ c 0的解集为R的必要不充分条件.(2)由 an+ 1|an|an，得 an+1 an,an是递增数列.反过来，由 an是递增数列，知 an+ 1 an，但不一定有an+ 1 |an|，如递增数列1 11(2)、中，ai = - 2, a2 = 4, a2 |ai|不成立.因此,“an+1 |an|(n = 1,2,)”是“ an为递增数列”的充分不必要条件.【答案】(1)B (2)AI规律方法I除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合 A= x|p(x),

7、B = x|q(x)，若A? B，贝U p是q的充分条件，q是p的必要条件.提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论. Ultima(1) “|x|v 1 且|y|v 1 ” 是“点 P(x, y)在圆 x2+ y2= 1 内”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件设an是等比数列，则“ a1a2 1，所以点P(x, y)不在圆内；反过来，当2 2 2 2点P(x, y)在圆内时，x + y 1，所以x 1, y 1,所以凶 1, |y| 1.因此，“|x| 1且|y| 1”是“点P(x, y)在圆x2 + y2= 1内”的必要不充

8、分条件.(2) an是递增数列，可得 a1 a2 a3；反过来，由a1 a? as,得 a1 a1q 0 时，q 1 ;当 a1 0 时，0 q 0,an + 1 an ,an是递增数列.因此，“aiv a2v a3”是“数列an是递增数列”的充要条件.【答案】B （2）C充分条件、必要条件的应用已知p： 4x+ kw 0, q : X x 2 0，且p是q的充分条件，求 k的取值范围.【思路探究】充分条件解不等式求出p、q对应的集合 A、B A? Bt k满足的条件 k的取值范围k【自主解答】由 4x+ k0，得 xv 1 或 x 2.k设 A= x|xw 4, B= x|xv 1 或 x2

9、.由p是q的充分条件，得A? B.kkv 1,即k的取值范围为（4,+ s）.I规律方法I1.涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理.2解决本题的关键是把 p、q之间的关系转化为 p、q所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式 （组）求解.已知p： 4x+ kw 0, q: x2 x 2v 0,且p是q的必要条件，求 k的取值范围.k【解】由4x+ kw 0,得xw -；4由 x2 x 2v 0，得一1 v xv 2.、“k设 A= x|xw 4, B= x| 1 v xv 2,由p是q的必要条件，得A? B.-kw 8.即k的取值范围为(一g, 8.充

10、要条件的证明已知数列 a*的前n项和为 Sn，求证：“对任意n N + , Si =ai + an n ”2是“数列an是等差数列”的充要条件.【思路探究】分清条件和结论，证明充分性即证“条件？结论”，证明必要性即证“结论？条件”【自主解答】(ai+ an m必要性：由等差数列的前 n项和计算公式，得 Sn=2充分性：由(ai+ a* n&口(ai+ an+i(n+ 1)Si =2 ，得 Si +1 =两式相减得,aian+1 = 2 +n+1 an+12nan整理得(n 1)an+1= nan ai,nan+ 2= (n+ 1)an+1 ai,两式相减得，n an + 2 (n 1)an+1

11、 = (n+ 1)an +1 nan整理得 2nan+1 = nan+ 2+ nan-2an+ 1 = an +2 + an ,数列 an是等差数列.I规律方法Ifai+ any1. 首先分清条件和结论本例中条件是“对任意n N +, Sn =2 ”，结论是“数列an是等差数列”.2分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求).3. 证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.、变It训练已知数列an满足an+ an+1= 2n + 1(n N+)，求证：数列an为等差数列的充要条件 是 a1 = 1.【证明】必要性：由an+

12、 an+1 = 2n + 1，得a2= 3 a1, a3 = 5 a2= 2 + a1,由数列an是等差数列，得2a2= a3+ a1,2(3 a1)= (2 + a1)+ a1,解得a1= 1.充分性：由 an+ an+1 = 2n+ 1，得 an+1 + an+2 = 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 3,两式相减得an+2 an = 2,数列a2n-1是首项为a1= 1,公差为2的等差数列.二 a2n 1= 1 + 2(n 1) = 2n 1,即当 n 为奇数时，an= n.当n为偶数时，n+ 1是奇数， an+1 = n+ 1,-an = (2n+ 1) an+1 = (2n+ 1)

13、 (n + 1) = n.综上得an= n,an+i an = (n+ 1) n = 1.因此，数列an是等差数列.易我易误辨析升区I充分、必要条件颠倒致误已知p: x2-x-2v 0, q： x ( 1, m)，且p是q的充分不必要条件，则()B. m 2C. 1 v mv 2 D . 1 v mW 2【错解】由x2 x 2 v 0,得 x ( 1,2). p是q的充分不必要条件,( 1, m) ( 1,2).m 1即一1v mv 2,故选C.mv 2【答案】C【错因分析】颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误.p和结论q.【防范措施】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要

14、分清条件只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题.在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.2【正解】由x x 2 v 0，得x ( 1,2). p是q的充分不必要条件,( 1,2)( 1, m), m2故选 A.【答案】 A课堂小结1 判断p是q的什么条件，其实质是判断 p? q与q? p两个命题的真假.p、q相应2当不易判断p? q与q? p的真假时，可从集合的角度入手首先建立与的集合，即 p: A = x|p(x) , q： B = x|q(x).若A? B，则p是q的充分条件，若 A

15、B,则p是q的充分不必要条件若B? A，则p是q的必要条件，若 B A,则p是q的必要不充分条件若A=B，则p, q互为充要条件若AB,且BA，则p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件CD3.命题若p，贝U q”为真、p? q、p是q的充分条件、q是p的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已盹室练生生出动达赵柝交谥学 可区41. “ x=；”是函数y= sin 2x取得最大值”的（）4A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当x=訓寸，y= sin 2x取最大值1;但当y = sin 2x取最大值1时，x不一定等于n比如x=

16、夕冗因此“x=n是函数y= sin 2x取得最大值”的充分不必要条件.444【答案】A2. （2013 福建高考）已知集合 A = 1 , a , B = 1,2,3，则“ a = 3” 是“ A? B”的 （ ）B .必要而不充分条A .充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】/ A= 1 , a , B = 1,2,3 , A? B, / a B 且 1, / a = 2 或 3, a=3”是“A? B ”的充分而不必要条件.【答案】 A3用符号“ ？ ”、“ ？”、“ ？ ”填空：(1) x= 0 XV 1 ；(2) 整数a能被2整除整数a是偶数；M Nlog2M

17、 log2N.【解析】利用这三种符号的意义求解.【答案】？(2)?(3)?4. 直线x+ y+ m= 0与圆(x- 1)2+ (y 1)2 = 2相切的充要条件是什么?【解】 由直线x+ y+ m= 0与圆(X 1)2 + (y 1)2 = 2相切，得|1+ 1 + m|解得m= 0或4.又当m= 0或一4时，直线x+ y+ m= 0与圆(x 1)2+ (y 1)2= 2相切.因此，直线 x + y+ m = 0与圆(x 1)2+ (y 1)2= 2相切的充要条件是m= 0或一4.靜広知能检测 I-測 白我I平Hr X 考能一、选择题1.设集合 M = 1,2 , N = a2，则“ a =

18、1 ”是“ N? M”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当a= 1时，N= 1 ? M ;但当N? M时，推不出a = 1，比如a= . 2.故选A.【答案】 A2. “ sin A cos B”是 ABC为锐角三角形的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当A = 120 B= 45时， ABC为钝角三角形；当 ABC是锐角三角形时，A+ B 90 A 90 B,又 0A,90- B sin（90 - B） = cos B .【答案】 B3. 已知p： Ig xv 0，那么命题p的一

19、个必要不充分条件是（）A . 0v xv 1 B. 1 v xv 1121cC.qv xv 3 D. qv xv 2【解析】由x2 ig xv 0,得0 v xv 1.设p的一个必要不充分条件为q，贝U p? q，但q? /p.故选B .【答案】 B1 24. （2012 天津高考）设 x R，则“ x2”是“ 2x + x 10”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件1 1【解析】不等式2/+ x 10的解集为x或xv 1,所以“x2是“2x2 + x1 0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】 A5. （2013 浙高考）已知函数 f（x）

20、= Acos（3x+（A 0 , 0, 代 R）， 厂f（x）是奇 函数”是“甘n的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件n【解析】若f(x)是奇函数，贝y f(0) = 0,所以COS A 0,所以 片2+ knK Z)，故0=扌不成立；nn若0= 2，贝U f(x) = Acosx+ 2)=- Asin( 3，f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函数是 片【答案】B二、填空题6. 关于x的不等式ax2 + bx+ c0的解集为 R的充要条件是 【解析】对a分a= 0和a丰0两种情况讨论.a 0a= b= 0【答案】2或lb - 4ac v 0l

21、c 07. 在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：“a = 0”是“函数f(x)= x2+ ax(x R)为偶函数”的 ；(2) “ sin a sin 8是“ a 的;(3) “x M A N” 是“ x M U N”的;(4) 对于实数 a, b, c,“ ab” 是“ ac2bc2”的.【解析】利用定义求解.【答案】(1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分&若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是 . p是q的充分条件； p是q的必要条件； q是p的充分条件； q是p的必要条件.【解析】由充分条件与必要条

22、件的定义知，正确.【答案】三、解答题19. 已知：p： x 1, q： v 1，试判断p是q的什么条件？x11 一 x【解】 由-V 1,得V 0 ,XX x(x 1) 0,/ x 1 或 XV 0.1 x|x 1x|丄V 1,x p是q的充分不必要条件.10. 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件.9【解】 p、q、r、s的关系可以用右图表示：(1) T s? r, r? q, s? q，又 q? s, s是q的充要条件.(2) T q? s, s? r, q? r，又 r? q , r是q的充要条件.(3) / q? s , s? r , r? p q? p , p是q的必要条件.x2xa2 211. 已知p:x_二-V0 , q： V 0,若q是p的必要条件，求实数 a的取x (3a + 1)x a值范围.x 2x a2 2【解】 由q是p的必要条件，可知xV 0? x|V 0.x (3a+ 1)x a2 o2 x_ a 一 22由