分式和分式方程知识梳理和练习(含答案

1、学习好资料欢迎下载学员编号：年级：初二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题授课日期及时段教学目标重点、难点教学内容一、疑难讲解二、知识点梳理、分式及其基本性质.分式的概念：一般地，如果A , B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子-叫做分式.B在理解分式的概念时，注意以下几点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为0；分式必然是写成 两式相除的形式，中间以分数线隔开.分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号， 还含有括号的作用；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但 分母必须含有字母.y = y,区别：y2是分式，y是整式，根据本来面

2、目判断.3y 33y3整式与分式统称为有理式.整式与分式的区别：分式含有分母，且分母中必须含有字母，整式也可以含有分母，但分母中不含有字母。如：3是整式，而3是分式分式有意义的条件：分式的分母不为 0 分式的值为零的条件：同时满足：分式的分子为零分式的分母不为零.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 用公式可表示为：a=am aFm （ m）.b bmb注意：在运用分式的基本性质时， 基于的前提是m = 0 ; 强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； 分式的基本性质是约分和通分的理论依据.最简分式：分子与分母没有公因式

3、的分式叫做最简分式.最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幕的积叫 这几个分式的最简公分母。确定最简公分母的方法：1. 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；2. 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幕的积 .约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，就是分式的约分。A二A C（c是整式，且c = 0）B B + C .通分：把几个异分母分别化成与原来的分式相等得同分母的分式，叫做分式的通分。A = AC（C是整式，且c = 0）B BC分式的运算1.基本运算法则同分母分式加减法:异分母分式加减法:a b a 二b土 c c ca d ac

4、二 bd =土 =b c bc分式乘法:分式除法:acac-!=bdbda- c_ ad _ adbdbcbc2. 零指数 a0=1 （a 丰 0） （00没有意义.因为无论几个零相乘结果都应是零，而数学中把数的零次方定为一，如过零的零次 方也等于一的话就不符合数的基本规律了 所以：任何非零数的零次方都是1,零没有零次方O ）3. 负整数指数a?-丄仏丰为正整数）.4. 约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 注：约分的主要步骤：（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式 （2）分子、分母都除以它们的公因式 约分的依据是分式的基本性质； 若分式的分子、分母

5、中有多项式，则要 先分解因式，再约分 当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分,因式变号规则如下:（其中n为自然数） 约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.当分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项 约去（约 分只能约分子分母中相同的因式）o5. 通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 注：通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的 最小公倍数与所有相同 因式的最高次幕的积； 不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本

6、性质6. 分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则 进行计算.7. 分式的乘除法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.注：在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，可以直接运用法则计算： 分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘： 分式的除法可以统一成分式的乘法： 分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。8. 分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算

7、括号里面的 注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。9. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。注意“改变其中任意两个”.当分子、分母出现多项式时，必须将它作为整体进行变号.二、分式方程1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程 叫做分式方程。如2= 3是分式方程，而共x=x-1就不是分式方程x 1-x32从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是含有分母，二是分母中含有未知数.因此分式方程和整式方程的最大区别 就在于分母中是否含有未知数2 .分式方程的解法(1) 解分式方程的基本思想一一“转化”的数学思想，即把

8、分式方程的分母去掉，使分式方程化 成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。(2) 解分式方程的步骤： 转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解这个整式方程； 检验：把整式方程的根代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去3.用分式方程解决实际问题列分式方程解应用题与列整式方程解应用题一样，注意 找出题中数量间的相等关系，再设未知数列 出方程，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程，此外在最后 进行检验时，既要检验其是否为所列分式方程的根，又要检验其是否使实际问题有意义方法和步骤可归纳如下： 审清题意，分清已

9、知量和未知量； 设末知数； 根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程; 解方程，并验根； 写出答案二、典型例题1下列各式:x212y,5,x8二中，分式有（2x2、如果把分式x y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、缩小6倍 D 、不变2xx3. （ 2012安徽，6，4分）化简：的结果是（）x -11 -xA. x+1 B. x-1 C. xD. x314. （2012成都）分式方程 一： 的解为（）2x x -1A. X =1B. X =2 C. X =3 D. x=4考点：解分式方程。31解答：解：2xx-1去分母得：3x - 3=2x，移项得

10、：3x - 2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母 2x （x - 1） =12工0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3， 故选：C.5. (2012义乌市)下列计算错误的是()A 02a+b2且十bBC a_b-_1D1,230. 7a_ b7a_ bJ产y-bp1T c c c故选A.6. (2012?丽水)把分式方程丄二丄转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()x+4 xAxB. 2xC x + 4D. x(x+ 4)考点：解分式方程。分析：根据各分母寻找公分母 x(x+ 4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程.解答：解：由两个分母(x

11、 + 4)和x可得最简公分母为 x(x + 4),所以方程两边应同时乘以 x( x+ 4).故选D.点评：本题考查解分式方程去分母的能力，确定最简公分母应根据所给分式的分母来决定.X 117. (2012 福州)计算：+ =.x x考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：直接根据同分母的分数相加减进行计算即可.解答：解：原式= x_1 + 1 = 1.x故答案为：1.某款定速空调在条例实施后比实8 (2012?连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用， 条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台,施前多10%，则条

12、例实施前此款空调的售价为2200元.考点：分式方程的应用。分析：可根据：同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，”来列出方程组求解.解答：解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：_._(1 + 10%)=二二-,解得：x= 2200,经检验得出：x= 2200是原方程的解，答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，故答案为：2200.点评：此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是找准描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.9. (2012珠海)某商店第一次用 600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的

13、倍，购进数量比第一次少了30支.4(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？420元，问每支售价至少是多少元?(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于解：(1)设第一次每支铅笔进价为 x元,根据题意列方程得,解得，x=4,600 _ 6P0;=30,检验：当x=4时，分母不为0,故x=4是原分式方程的解.答：第一次每只铅笔的进价为4元.(2)设售价为y元，根据题意列不等式为:孚x( y _ 4)x( y _ 5) 420,4解得，y6.答：每支售价至少是 6元.10. (2012安顺)张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设 120米后，为了尽

14、可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%结果共用了 27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？考点：分式方程的应用。解答：解：设原计划每天铺设管道 x米,120300 - 120 e(1+20%) 2?解得x=10,经检验，x=10是原方程的解.答：原计划每天铺设管道 10米.四、当堂练习1. (2012无锡)方程x- 2I的解为x=8考点：解分式方程。分析：观察可得最简公分母是 x ( X-2),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.解答：解：方程的两边同乘 x (x - 2),得：4( x - 2) - 3x=0,解得：x=8.检验：

15、把x=8代入x (x- 2) =48工0, 即卩x=8是原分式方程的解.故原方程的解为：x=8.故答案为：x=8.点评：此题考查了分式方程的解法.此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根- 1 s 192. (2012山西)化简+笛的结果是s2-2x+1x考点：分式的混合运算。解答：解:-=x _ 5 5 _ xX- 5故答案为：x+5.3. （2012?德阳）计算： 厂. =x+5.夏- 5 5 - x考点：分式的加减法。分析：公分母为x - 5,将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分.解答：解：点评：本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么

16、分母不变, 把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分 母分式，然后再相加减.2 _ 1-4. （2012?杭州）化简得丄$ ;当m=- 1时，原式的值为1 .3m- 12_ 3 _考点：约分；分式的值。专题：计算题。m=-分析：先把分式的分子和分母分解因式得出!，约分后得出二二，把3 5- 4）31代入上式即可求出答案.解答:解:IT12 - 163m- if(rrd-4) (id - 4)3 (id - 45当m=- 1时，原式故答案为：酬，3题目比较典型,点评：本题主要考查了分式的约分， 关键是找出分式的分子和分母的公因式,难度适中.5. （2012?广州

17、）已知abb (a- b)a I 2i+51的整数解.考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。专题：计算题。分析：将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式， 然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，即解答:解:为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值.3 沉+4 _2)亠 x+2x2 -1

18、 Xx2-2i+13x+42 &+1) ?(x-1) 2(x+1) (x - 1 )G+l) (x-1)x+2x-1-，p+4A）又2x+5- 4,由解得：XV- 2,不等式组的解集为-4V x V- 2,其整数解为-3,1 1 1当X=- 3时，原式=2.-3+1点评：此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分.2. （2011辽宁沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能

19、完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的,求5甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？分析：实际完成此工程，甲用了 10天，乙用了 12天.解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需4x天，根据题意，得10+ 12 = 1.5 x 45x解这个方程，得x= 25.经检验，x = 25是所列方程的根.4当 x= 25 时，x = 20.5答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天.3. 若关于x的分式方程一2m二62-x有增根，求m的值。x +2 x 2 x -44. 若方程3 2 有负数根，则k的取值范围是 x +3 x +k解关于k的不等式.解析：解关于x的方程，用含有k的代数式表示x，根据方程的根为负,得x=6 3k,又因为方程有负数根，所以6 3kv 0,得k 2 ;把x =6 3k代入(x+3) ( x + k) = ( 9- 3k) (6 2k）工0得k式3.所以k的取值范围是kA 2且k3.答案：k .2且k = 35 若关于x方程x - 2 = m . 2无解，则m的值是x 3 x 35. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方