空间几何体教案

1、第一章 课文目录11空间几何体的结构 12空间几何体的三视图和直观图 13空间几何体的表面积与体积 重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。2、画出简单组合体的三视图。3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。知识结构：表面积 体积度 量空间几何体柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图一、空间几何体的结构、三视图和直观图1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边

2、形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫

3、做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截

4、圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四

5、边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与

6、底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到

7、的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且

8、长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。例题讲解：例1将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDI

9、AHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条例3正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（ ）A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析： 点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的

10、圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点。选项为C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例4两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个B2个 C3个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以

11、及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型2：空间几何体的定义例5长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是( )A B C D2解析：设则故选.点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。例6已知直线m,n和平面满足,则( ) 或 或解析：易知D正确.点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型3：空间几何体中的想象能力例7如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB

12、；（II）求二面角ABEP和的大小。解析：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以又所以 又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以又所以是二面角的平面角在中, 故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得 所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是

13、,故二面角的大小为点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。例8ACBP如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小解析：解法一：（）取中点，连结，ACBDP，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为解法二：ACBPzxyE（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考

14、查空间想象能力的主要方向。例9画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画X，Y，Z轴，使XOY=45（或135），XOZ=90。（2）画底面：按X轴，Y轴画正五边形的直观图ABCDE。（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE。（4）成图：顺次连结A，B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例10是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那

15、么ABC的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。例11 ABCDEFPQHG如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。解析：解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得ABCDEFPQHGNM，所以，所以平

16、面所以平面和平面互相垂直（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值（III）解：连结BC交EQ于点M因为，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等与（）同理可证EQ平面PQGH，可知EM平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值设交PF于点N，连结EN，由知因为平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点所以EM=，又，故与平面PQCH所成角的正弦值为解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故A

17、BCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值（）解：由已知得与成角，又可得，即，解得所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。例12多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点

18、A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）ABCDA1B1C1D1A1解析：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 例13（1）画出下列几何体的三视图（2）解析：这二个几何体的三视图如下（2）如图，设所给的方