高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质理新人教B版

1、10.1椭圆及其性质,高考理数,1.椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴上:+=1(ab0); 焦点在y轴上:+=1(ab0). (2)统一方程:+=1(m0,n0),由m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上. 若焦点位置不确定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0且AB,知识清单,3.点P(x0,y0)和椭圆+=1的关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内+1. 【知识拓展】 1.离心率e=(0,1),离心率越小,椭圆越圆;反之,椭圆越扁. 2.若P为椭圆上的动点,F1PF2=,称PF1F2为焦点三角形,则: (1)=c|yP|=b2=b2tan. (2)PF1F2的周长=2(a+c). (

2、3)点P为短轴端点时,F1PF2最大. 3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于点(0,0)对称,则kPAkPB,高考对椭圆定义的考查通常以客观题的形式出现,难度中等,考查形式主要有两种:一是根据定义判断曲线的轨迹,二是根据定义进行计算,常结合正弦定理、余弦定理等知识解焦点三角形. 例1(2015东北三校二联,8)设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+ |=2,则F1PF2=() A.B.C.D. 解析由椭圆方程,得a=2,c=, 设|=m,|=n.由椭圆定义知m+n=2a=4. 因为|+|=2,所以|+|2=12, 即m2+n2+2mncosF1PF2=

3、12, 在F1PF2中,由余弦定理,得 m2+n2-2mncosF1PF2=(2c)2=12,突破方法,方法1椭圆定义的应用,得m2+n2=12, 又由得m2+n2+2mn=16,从而得mn=2, 将m2+n2=12,mn=2代入,解得cosF1PF2=0, 所以F1PF2=,故选D. 答案D,求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.解题步骤如下,方法2椭圆的标准方程,例2(2013课标

4、全国,10,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为() A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 解析直线AB的斜率k=, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 -得=-. 即k=-, =.,又a2-b2=c2=9, 由得a2=18,b2=9. 所以椭圆E的方程为+=1,故选D. 答案D 2-1(2015陕西西安八校二联,20,12分)如图,椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上 顶点分别为A、B,且|AB|=|BF|. (1)求椭圆C的离心率; (2)过椭圆C内一点M的直线l交椭

5、圆C于P、Q两点,且M为线段PQ的中点,OPOQ.求,直线l的方程及椭圆C的方程. 解析(1)由|AB|=|BF|, 得=a,即4a2+4b2=5a2, 4a2+4(a2-c2)=5a2,e=. (2)由(1)知椭圆C:+=1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2) ,M是线段PQ的中点, x1+x2=-,y1+y2=, 由+=1,+=1,得+=0, 即+=0, +(y1-y2)=0,从而kPQ=2,进而可得直线l的方程为y-=2,即2x-y+2=0, 由x2+4(2x+2)2-4b2=0, 即17x2+32x+16-4b2=0. =322+1617(b2-4)0b. x1+x2=-,x1x2

6、=. OPOQ,=0, 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0. 从而-+4=0,解得b=1.满足题意. 椭圆C的方程为+y2=1,椭圆的性质包括:范围、对称性、顶点、离心率等,常考内容是离心率,解决离心率问题的关键在于构造关于a与c的等式或不等式,同时还要关注其他几个性质的应用. 求椭圆离心率或其范围的方法: (1)求a,b,c的值,由e2=1-直接求. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 例3(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1(

7、ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B 两点,连结AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,则C的离心率e=. 解析如图,设右焦点为F1,|BF|=x,则cosABF=.解得x=8,故AFB=90,方法3椭圆的几何性质,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且FAF1=90,FAF1是直角三角形,|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=. 答案 3-1(2013山东威海期末)已知三个数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为 () A.B.C.或D.或 答案C,解析因为三个数2,m,8构成一个等比数列,所以m2=28=16,即m=4.若m=4