高考数学专题复习导练测 第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 理 新人教A版

1、数学 A（理,高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,第九章平面解析几何,考点自测,高考题型突破,练出高分,B,A,B,圆(x2)2y24的圆心为C(2,0)，半径为r2,解析,题型一圆锥曲线中的范围、最值问题,1)求曲线C的方程及t的值,抛物线C的方程为y2x,又点M(t,1)在曲线C上，t1,思维点拨,用点差法求kAB，用m表示出|AB|，利用基本不等式求最值,解 由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)， 依题意，直线AB的斜率存在，且不为0， 设直线AB的斜率为k(k0). 且A(x1，y1)，B(x2，y2,故k2m1,即x2my2m2m0,4m4m20，y1y22m，y

2、1y22m2m,思维升华 圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值,二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值,解设M(x，y)，在MAB中，|AB|2，AMB2,因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a2，c1,2)求APQ面积的最大值,解设直线PQ的方程为xmy1,显然方程的0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2,所以APQ面积的最大值为3， 此时直线PQ的方程为x1,题型二圆锥曲线中的定点、定值问题,1)设动点P满

3、足：|PF|2|PB|24，求点P的轨迹,解设P(x，y)，由题意知F(2,0)，B(3,0)，A(3,0,则|PF|2(x2)2y2，|PB|2(x3)2y2,由|PF|2|PB|24，得(x2)2y2(x3)2y24,3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关,证明如图所示，点T的坐标为(9，m,3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关,3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关,令y0，解得x1， 所以直线MN必过x轴上的一定点(1,0,3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关,思维升华 求定点及定值问题常见的方

4、法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值,2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点， P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线 DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M， 设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值,例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,思维点拨,解析,设S(x，y)为曲线上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足抛物线的定义，即可求曲线的方程,思维点拨,解析,例3(2014福建)已知曲线上

5、的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,解方法一设S(x，y)为曲线上任意一点,思维点拨,解析,例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y,思维点拨,解析,例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,方法二设

6、S(x，y)为曲线上任意一点,思维点拨,解析,例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,思维点拨,解析,例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程,题型三圆锥曲线中的探索性 问题,化简，得曲线的方程为 x24y,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点

7、拨,解析,思维升华,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程,求出A、M的坐标,N的坐标,以MN为直径作圆C,求出圆心坐标,半径是常数,即可证明当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探

8、究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,解当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.证明如下,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重

9、合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,所以点P在曲线上

10、运动时，线段AB的长度不变,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出,例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时

11、，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论,思维点拨,解析,思维升华,列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法,跟踪训练3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中,1)求C1，C2的标准方程,易求得C2的标准方程为y24x,解容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意,当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1,与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2,解得k2，所以存在直线l满

12、足条件， 且直线l的方程为2xy20或2xy20,题型四直线、圆及圆锥曲线的交汇问题,思维点拨 根据椭圆的几何性质易求出a,b的值,从而写出椭圆的方程,1)求椭圆C1的方程,1)求椭圆C1的方程,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,思维点拨 要求ABD的面积，需要求出AB，PD的长，AB是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD应当考虑用椭圆的相关知识来求.求出AB，PD的长后，表示出ABD的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0). 由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k， 则直线l1的方程

13、为ykx1. 又圆C2：x2y24,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程,思维升华 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力,2)已知直线l：ykx与椭圆C分别交于两点A，B,与圆M分别交于两点G,H(其中点G在线段AB上),且|AG|BH|,求k的值,显然，若点H也在线段AB上，则由对称性知

14、，直线ykx就是y轴，矛盾,因为|AG|BH|，所以|AB|GH,整理得4k43k210,解得k21，即k1,2,3,4,5,6,1,解由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l：xty1，代入抛物线y24x， 消去x得y24ty40,设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24t，y1y24,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,解设l：xtyb，代入抛物线y24x， 消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24t，y1y24b,2,3,4,5,6,1,令b24b4，b24b40，b2， 直线l过定点(2,0,2.已知中心在坐标原点O的椭圆C经

15、过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由,3,4,5,6,1,2,因为直线l与椭圆C有公共点,3,4,5,6,1,2,2,4,5,6,1,3,2,4,5,6,1,3,解1v4，双曲线的焦点在x轴上，设F(c,0)，则c24vv13,由椭圆C与双曲线共焦点，知a2b23,设直线l的方程为xtya,代入y22x，可得y22ty2a0,设P(x1

16、，y1)，Q(x2，y2)，则y1y22t，y1y22a,2,4,5,6,1,3,OPOQ，x1x2y1y2a22a0,a2，b1,2,4,5,6,1,3,2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点M、N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由,2,4,5,6,1,3,m2n22.又m24n24,2,4,5,6,1,3,2,3,5,6,1,4,a22，b21,2,3,5,6,1,4,2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，若存在，求出直线l的方

17、程；若不存在，请说明理由,解 假设存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且F恰为PQM的垂心， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2,2,3,5,6,1,4,2,3,5,6,1,4,M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1. 于是设直线l为yxm,2,3,5,6,1,4,x1(x21)(x2m)(x1m1)0,2,3,5,6,1,4,即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.(*,故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心,5.已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且 . (1)求椭圆的方程,2,3,4,6,1,5,2,3,4,6,1,5,2)求m的取值范围. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在， 设其方程为ykxm，与椭圆方程联立,2,3,4,6,1,5,2mk)24(2k2)(m24)0,2,3,4,6,1,5,所以x12x2,2,3,4,6,1,5,整理，得(9m24)k282m2， 又9m240时等式不成立,2,3,4,6,1,5,6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21. (1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角