高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版

1、8.3空间图形的基本关系与公理,考纲要求:1.理解空间直线、平面位置关系的定义并了解可以作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只

2、有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行,2.空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)直线间的夹角 两共面直线的夹角:当直线l1,l2共面时,把两条直线交角中,范围在 内的角叫作两直线的夹角. 异面直线a,b所成的角:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角. (3)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. (2)平

3、面与平面的位置关系有平行、相交两种情况,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.() (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A. () (3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线. () (4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a. () (5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. (,1,2,3,4,5,2.下列命题正确的个数为() 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果

4、两个平面有三个公共点,则这两个平面重合 A.0B.1C.2D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,3.一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中,() A.ABCD B.AB与CD相交 C.ABCD D.AB与CD所成的角为60,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为() A.30B.45 C.60D.90,答案,解析,1,2,3,4,5,5.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,B

5、D满足条件时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1平面的基本性质及应用 例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证: (1)E,C,D1,F四点

6、共面; (2)CE,D1F,DA三线共点,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B. E,F分别是AB,AA1的中点, EFA1B. 又A1BCD1, EFCD1,E,C,D1,F四点共面. (2)EFCD1,EFCD1, CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA.CE,D1F,DA三线共点,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点? 解题心得:1.点线共面问题的证明方法: (1)纳入

7、平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合. 2.证明三线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线,答案,考点1,考点2,考点3,

8、知识方法,易错易混,考点2空间两条直线的位置关系 例2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是() A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何借助空间图形确定两直线位置关系? 解题心得:解题时一定要注意选项中的重要词语(如本例中“至少”“至多”),否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,可利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理

9、,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2(1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: AM和CN是不是异面直线?说明理由. D1B和CC1是不是异面直线?说明理由,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解:不是异面直线.理由如下: 连接MN,A1C1,AC. M,N分别是A1B1,B1C1的中点, MNA1C1. 又A1AC1C, 四边形A1ACC1为

10、平行四边形, A1C1AC,MNAC. A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,是异面直线.理由如下: ABCD-A1B1C1D1是正方体, B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面, D1,B,C,C1,与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾. 假设不成立,即D1B与CC1是异面直线,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3异面直线所成的角 例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角

11、的余弦值为(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求异面直线所成的角常用方法有哪些? 解题心得:1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3(1)将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若平面AB

12、CD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值. 将本例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 在本例条件下,若点P在平面A1B1C1D1内且不在对角线B1D1上,过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m,使m与直线BD成角,且 .这样的直线可作几条,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求AC与A1D所成角的大小; 若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小,解

13、:如图所示,连接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角. AB1=AC=B1C,B1CA=60. 即A1D与AC所成的角为60. 连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ACBD,ACA1C1. E,F分别为AB,AD的中点, EFBD, EFAC.EFA1C1. 即A1C1与EF所成的角为90,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形

14、语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线段的端点或中点)利用三角形求解,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实际上

15、,两异面直线不同在任何一个平面,即异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内,思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体做出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳,典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则() A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条. 答案:(1)D(2)无数,解析:(1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以