2018届高三第二次(4月)模拟考试理数试题含答案

1、揭阳市2018年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学（理科）第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数f （x） 、x 1 lg（6 -3x）的定义域为（）B- (2,C . -1,2) D . -1,22.已知复数a 3iA. 323.“ p q1 2i15B.2为真”是“A.充分不必要条件（a R , i是虚数单位）p q为真”的（ ）B.必要不充分要件是纯虚数，则 z为（）充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知 sin 匚-cos-31 二，则co才八A.-8172B.-35.已知 0 : a : b : 1 ：

2、 c，则(D . logbc logb ab aA.a aa bB. C C6.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）H61I卜2正视图方升，其三视图如图1所示左视图佣视图4卿个否否输出为)31CD25图2A. 141A.43B.-4数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（）7.设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人B 122 C 12 二 D . 38 公C . j 59? D . j 59?8.某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个， 则其中甲、乙两人都抢到红包的

3、概率x-y 2 00岂y空aA. i 0) , x R，若 f (x)在区间(二,2二)内有B.（o扣8,1）、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 a=(x-1,2) , b=(2,x-1)满足 ad4a*b，贝U X =14.已知直线3x -4y -6 = 0与圆x2 y2 -2y m = 0 ( m R )相切，贝U m的值为.15.在ABC中，已知AB与BC的夹角为1500AC = 2，贝U AB的取值范围2 216.已知双曲线 -y- =1 （ b 0）的离心率为4b2F1,F2是双曲线的两个焦点,左顶点,2B（0,b），点P在线段AB上，

4、则PF1 PF2的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列an中，印=1，an 1 =2（n1）an 51.n（1）求证：数列色1是等比数列；n（2）求数列an的前n项和为Sn .18. 已知图3中，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD，EF / CD，O,Q分别为线段AB,CD的中点,OQ与EF的交点为P，OP =1，PQ = 2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得0Q = .3，连结AD,BC，得一几何体如图4所示（1）证明：平面 ABCD _平面ABFE ；（2）若图3中， A =45，CD =2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值19. 某

5、学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏， 游戏共五关，规定第一关没 过者没奖励，过n （ nN*）关才奖励2n_件小奖品（奖品都一样），图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率1次游戏中所得奖品数的期望值;估计小明在(1)(2)估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数;(3)估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率.与抛物线y2 = 2 px(p 0)共焦点F2，抛物线2x20. 已知椭圆-a2y上的点M到y轴的距离等于MF2 -1,且椭圆与抛物线的交点Q满足QF?| =号.(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;(2)过抛物线上的点 P作抛物线的切线y二kx m交

6、椭圆于代B两点，设线段AB的中点为C(Xo, y)，求Xo的取值范围.gx)上 x ，21.设函数 f(x) =(x-a) =1 ( a b 0 ) b2 ( a R)，(1 )试求曲线F(x)二f(x) g(x)在点(1,F(1)处的切线丨与曲线F(x)的公共点个数;(2)若函数G(x)二f (x) *g(x)有两个极值点，求实数 a的取值范围a(附：当a ,X2 =，川,833显然N老（兀,2兀），X2老（兀，2兀）可排除（A），故答案为（D）【法二：2if (x)si n ( x),由 f (x) = 0 得 X= k二，当 x (二,2二)时，244jj” ._jj x (,2)，由题

7、意知存在 k - Z ， k - (,2)，即44444k （，一丄,2，-1），所以丄你 丄）：k 1，由0 知k _0,当 k = 0,1, 2/ 时,442449o8%，所以选D】1),易得 c 二、.5,b=1，设 P（x, y）则(16)TPF1 PF2 =( -5 - x, _y) ( 5 _x, _y)二 x2 y2 _5,、填空题:题号13141516答案-1-3(0,4215解析：（15）由AB与BC的夹角为150知.B =30 ,由正弦定理得:|AB| sin C|AC =4= |AB戶4sinC ,又 0 ：C : 150得 0 ：| AB|乞 4. sin 30显然，当

8、OP _ AB时，x2 y2取得最小值,4 215 =5 5224由面积法易得（x y ）min ，故PF1 PF2的最小值为5三、解答题:（17）解：（I）证法1：由已知得也 2 电 1 ,n十1nan 11 = 2(9nn 1n又aj 1 = 2，得岂1丄0,n数列an1是首项为2，公比为2的等比数列.n证法 2：由 an q = 2n_n 1 得 nan “ = 2(n 1)an n(n 1), na由a1 - 0及递推关系，可知an0，所以OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，又 AB / EF /CD , OP _ EF、PQ _ EF，在图中， OQ2 OP2 = PQ2 , OQOP1

9、=0,nnan 1 n(n 1)2(n 1总 2n(n 1) 22 ，(n 1)an n(n 1) (n 1)an n(n 1)数列an 1是首项为2，公比为2的等比数列. n(II )由(I )得空 1 =2 -2nA -2n, an 二 n 2n - n , nSn =2 2 223 23 |H (n-1)2心 n 2n -123 (n -1) n,设Tn = 2 2 22 - 3 23 II) (n -1)2心 n 2n, 则 2Tn =222233 2 III (n-1)2n n2n1, 式减去式得-Tn=2 22 23 12n- n2n12(1_2 ) n 2n 1(n 1)2n 1

10、 2n 2= (n -1)22,1-2得Tn =(n -1)2n 1 - 2 ,又 12 3 |(nT) n 二 n(1,2 Sn 十-1)2n1-322(18)解：(I )证明：在图中，四边形 ABCD为等腰梯形，O,Q分别为线段AB,CD的中由及 OP PQ = P，得 EF 丄平面 OPQ , EF _ OQ ,又 OP 门 EF = P , OQ _ 平面 ABFE ,又OQ二平面ABCD，平面 ABCD _平面ABFE ；(n )在图中，由.A =45 , CD =2，易得 PE =PF =3 , AO = OB =4 , 以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系 O -

11、xyz，如图所示,BC = (0, -3r 3)BCF的一个法向量,5的期望值 E( ) =1 0.2 2 0.3 4 0.28 0.116 0.1 =4 ；则 B(0, 4, 0)、F(-1,3,0)、C(0,1、3)得 BF =(-1, -1,0)，设幕=(x, y,z)是平面则应丄B!，得丽芝x-汗0，m - BC m BC 3y ,3z =0取 z = 3，得 m = (- 3,、3,3)同理可得平面 ADE的一个法向量 芯(-远-.3,3)设所求锐二面角的平面角为二，贝V cos Jcos ： m, n | =(n)小明在1次游戏中至少过两关的概率为0.7 ,设小明在3次游戏中至少过

12、两关的次数为X,可知X B(3, 0.7),则X的平均次数E(X) =3 0.7 =2.1 ;(川)小明在3次游戏中所得奖品超过 30件含三类：恰好一次 ：=16和两次上=8，恰好二 次F： =16，恰好三次：=16 ,c3p( =16) P =8)2 = 3X0.1 X0.12 = 0.003 ,C；P( =16)2 P( =16)=3 0.12(1 -0.1)=0.027,C；PC： =16)3 =0.13 =0.001所以小明在3次游戏中所得奖品超过 30件的概率为0.0030.0270.000.031 .(20)解：(I )抛物线上的点 M到y轴的距离等于|MF2|-1 ,点M到直线x

13、 = -1的距离等于点 M到焦点F2的距离，得x = -1是抛物线y2 =2px的准线，即- ：一 -1，解得p =2，抛物线的方程为 y2 =4x ；可知椭圆的右焦点F2 (1,0)，左焦点F1 (-1, 0),5523f由丨 QF 2 2 得 xQ 1 二？，又 y4Xq，解得 Q(2，二 I 6),75由椭圆的定义得2a =|QF1 | |QF2I = 6 , a = 3，又 c 1，得 b - a - C - 8 ,2 2椭圆的方程为-y 1 .-98(II )显然 k l，- 0 , m - 0 ,y = kx + m /口 2由y2，消去 x，得 ky2 4y +4m = 0 ,y

14、 =4x由题意知；_ 16 - 16km = 0，得 km = 1 ,y = kx + m由x2 丄 y2 ，消去 y ,得(9k2 +8)x2 +18kmx + 9m2 72 = 0 ,1.982 2 2其中 J = (18km) -4 (9k8)(9m -72)0,化简得 9k2 -m2 80 ,1又 k ，得 m4 -8m? -9 ： 0 ,解得 0 ： maaa由r(x)20，得x，所以r(x)在(，*)上单调递增，x x222 : 9 ,m5Xi +X29设 A(X1, ), B(X2, y2)，则 X020,2 9k +82 1 1由k22 ，得Xo-1 , Xo的取值范围是(-1

15、, 0) m292 1(21)解：(I)： F(1)=(1-a)2, F(x)=2(x-a),X切线丨的斜率为F(1) =3 -2a ,切线 l 的方程为 y 一(1 一 a)2 = (3 -2a)(x -1)，即 y = (3 - 2a)x a2 - 2，联立 y = F(x) =(x a)2 +1 n x，得 x2 3x +1 n x + 2 =0 ；设 h(x) = x2 -3x In x 2，贝y h(x) = 2x -3 1 =_1)X_1),xx1由 h (x) 0及 x 0，得 0 ： x 或 x 1,21 1 h(x)在(02)和(1, ：)上单调递增，可知 h(x)在(-,1

16、)上单调递减，113一1又 h(1)= 0 , h(42 : 0，所以 -x0(Q ) , h(x0) = 0 ,e e e2方程x2 -3x ln x 2 = 0有两个根：1和x。，从而切线l与曲线F (x)有两个公共点.a(n )由题意知G(x) =(x -a)(2ln x 1 - )=0在(0, ：)至少有两不同根，xa设 r(x) = 21n x 1 -x 当a 0时，xa是G(x)=0的根，, aa由y=2I nx，1与y( a 0 )恰有一个公共点，可知2I n x 10恰有一根X：,xx由*2 x a得a 1，不合题意，.当a 0且a =1时，检验可知xa和x2是G(x)的两个极

17、值点； 当a=0时，G(x) =x(2I nx1)=0在(0,=)仅一根，所以a = 0不合题意；-9分a 当a 0时，需r(x) = 2I nx 10在(0,：)至少有两不同根，x3a可知r(x)在(0,)上单调递减，2因为a ： 0 , x趋近于0时，r(x)趋向于：，且x . 1时，r(x) . 0 ,aa由题意知，需 r(x)min ： 0，即 r(一)=21 n( -) 3 ： 0，解得 a -2e2 ,3- 2e 2 : a : 0 .3综上知，a (-2e,0)U(0,1)U(1,：).选做题：(22 )解：(I )可知l1是过原点且倾斜角为的直线，其极坐标方程为ve R)2抛物

18、线C的普通方程为y2 =4x,其极坐标方程为(sin)2 =4cost ,化简得sin2 v - 4cosv ,(n)解法1 ：由直线|1和抛物线C有两个交点知:-0 ,a ocac把 v -代入sin2 v - 4cosv，得A厂sin aTT可知直线l 2的极坐标方程为(P三R),4 si no_ 2 ，COS :2代入 Psin2 日=4cos日，得 PB cos2a = -4sina，所以 P1 1SoabS|0A| V| 心161616, | 2sin ： cos ： | sin 2： |OAB的面积的最小值为16.y2 = 4x4 4解法2：设l1的方程为y = kx(k = 0)，由得点A(2 ,),y = kx.k k1 2依题意得直线l2的方程为y x ,同理可得点B(4k2,-4k), k故 S oab =|0A| |0B|= Q . 4 . 2 16k4 16k222 ； k kMJ詁1仅当k2k二1时，等号成立）二OAB的面积的最小值为 16(23)解：(I)由 2 x 1 兰1，得1 兰2 X 1 兰1，即 |x|兰 1 , 解得一1