人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件

1、人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同,2,2,知识回顾,形状,位置,y=ax,2,y=a(x-h) +k,2,上加下减,左加右减,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,知识回顾,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点,1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口,向上,向下,2.对称轴是,3.顶点坐标是,直线X=h,h,k,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,直线x=3,直线x=1,直线x=2,直线x=3,向上,向

2、上,向下,向下,3，5,1，2,3，7,2，6,你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗,2,1,2,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,探究,如何画出 的图象呢,我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,配方,y= (x6) +3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,7,怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式,函数y=ax+bx+c的图象,配方,提取二次项系数,配方:加上再减去一次

3、项系数绝对值一半的平方,化简:去整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项 掉中括号,老师提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,归纳,二次函数 y= x 6x +21图象的 画法,1)“化” ：化成顶点式,2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标,3)“画”：列表、描点、连线,2,1,2,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,9,函数y=3x2-6x+5的图象特征,2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标,a=30,开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与

4、性质,6,5,4,3,7,8,9,函数y=3x2-6x+5的图象特征,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点是,配方,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,这种形式的式子通常被称为抛物线的顶点式,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么,1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,13,3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛

5、物线开口向下,1）顶点坐标,2）对称轴是直线,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,14,如果a0，当,时，函数有最小值,如果a0，当,时，函数有最大值,4）最值,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,15,若a0，当,时，y随x的增大而增大,当,时，y随x的增大而减小,若a0，当,时，y随x的增大而减小,当,时，y随x的增大而增大,5）增减性,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,16,与y轴的交点坐标为（0，c,6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,其中,为方程,的两实数根,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,17,所以当

6、x2时，,解法一（配方法,例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,18,因为 所以当x2时，,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,19,又,例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小,解法一：,抛物线开口向下,对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,20,解法二,抛物线开口向下,对称轴是直线x3，当 x

7、3时，y随x的增大而减小,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,21,例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,22,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,23,3,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,24,的图像，利用函数图像回答,例3 画出,1)x取什么值时，y

8、0？ (2)x取什么值时，y0？x取什么值时y0？ (3)x取什么值时值或最小值,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,25,2,2,x=2,0,6,1,0,3,0,4,6,由图像知,当x1或x3时， y0,2)当1x3时， y0,3)当x1或x3时， y0,4)当x2时， y有最大值2,x,y,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,26,与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程,7)抛物线,的根的判别式判定,0有两个交点抛物线与x轴相交,0有一个交点抛物线与x轴相切,0没有交点抛物线与x轴相离,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,27,例 已知抛物线,k取何值时

9、，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,28,所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上,所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,29,所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,整理得,解得,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上,人教

10、版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,抛物线位置与系数a，b，c的关系,a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上,a0 开口向下,a，b决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线x =,a，b同号 对称轴在y轴左侧； b=0 对称轴是y轴； a，b异号 对称轴在y轴右侧,2a,b,左同右异,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,31,抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c,c0抛物线经过原点,c0与y轴交于正半轴；图象与y轴交点在x轴上方,c0与y轴交于负半轴

11、。图象与y轴交点在x轴下方,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,32,对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象,a=-10, 开口向下，顶点坐标（2.5，9/4），与y轴交点坐标为 （0，- 4），与x轴交点为（1,0)、(4,0,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,33,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2,求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴,请画出草图,小试牛刀,3,9,6,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,1,例2、已知函数y =

12、 ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论,y,1,x,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,35,3. 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值 (1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab； (6)abc；(7)abc,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,36,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,37,解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0,判

13、断a的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,38,2)因为对称轴在y轴右侧，所以,而a0，故b0,判断b的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,39,3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0,判断c的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,40,4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,且a0，所以,故,判断b24ac的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,41,且a0，所以b2a，故2ab0,5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,4

14、2,6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0,判断abc的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,43,7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在 （ ） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 +

15、 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1,C,B,A,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 0,5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18,B,B,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,6.若一次函数 y=ax

16、+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 (,7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （,C,C,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0,y=ax2+bx+c(a0,由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大,在对称轴

17、的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小,根据图形填表,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,48,五）、学习回顾,填写表格,人教版二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小,驶向胜利的彼岸,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,人教版二次函数y=ax2+bx+c的