量子力学第一章态矢量

1、精选资料，欢迎下载序章基本背景知识1. 量子力学的基本要素是：态（状态）、演化、可观测量（力学量）、观测行为（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个状态，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为可观测量，而测量粒子的这些性质的过程就是观测行 为，俗称“做实验”）2. 初等量子力学的任务是：（1）预测对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）（2）寻找“态”随时间的演化规律3. 从旧量子论到现代量子力学：（1）普朗克能量量子化假设（1900年）（3）光的波粒二象性（1909年）（5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年）（6）德布罗意假设：物质波假说，粒

2、子动量（2）爱因斯坦光量子假说（1905年）（4）玻尔模型（1913年）p = k （ 1924 年）（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡 -矩阵力学（1925年）（8）薛定谔-波动力学（1926年）波函数统计诠释:2普是概率密度函数,2汀 dx =1 （ 1926 年）（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年）（10）态叠加原理；量子力学原理（狄拉克，1930年）4.量子力学与经典力学的比较:量子力学经典力学研究对象在t时刻的位置无法确定只能确定在x x十dx的出现概率可以确定t时刻的动量和速度无法确定，速度无意义只能确定具有p p +dp的概率

3、且不可冋时确疋位置和动量位置、动量和速度同时确定研究对象的状态的描述波函数（复函数）或态矢量|甲）（复矢量）r（t）, p（t ）（实矢量函数）状态的演化方程薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为会影响对象（只有时间测量不影响）不会影响对象测量精度受不确定性原理限制且“某些”量无法同时测定可达到任意高可以同时测定所有物理量预测的测量结果某个结果出现的概率确定的值实际的测量结果确定的值或可能取值的统计平均确定的值*量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态7的粒子（这称为系综（esemble ）,同时测量它们的物理量Q,然后考察统计平均值 （Q）。这是

4、由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A,之后的一切实验结果也都只会是A）关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节第一章态矢量和态空间本章提要：本章讨论量子力学的研究对象一一态矢量和态空间。沿着三维实空间T复空间T内积空间&函数空间T无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量展开、矩阵形式、坐标、 基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然 后介绍

5、态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后给出量子力学第一条公设作为总结。1. 态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加原理的物理量（如电场强度、力 ）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是，考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为态矢量的矢 量来描述粒子的状态，一般记作 I甲）。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。 在介绍量子力学使用的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论： 实线性空间的定义：见同济高数第六章第一节 复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件改写成

6、（复数域）2. 三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间，为我们所熟知的空间3 向量的展开：一个向量二可以被表示为=aca2e2a3e= xaiei，其中ei称为基=i（向量），a R称为向量:-在基e下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。.T 向量的矩阵表示：一个向量 o还可以被表示为一个列矩阵，a =（印 a2 a3）注意矩阵表示中不出现基向量 基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的 维数：空间的维数是最大基向量组中向量的个数_3 点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为= afy a2b2 a3b = x aib，它也

7、i =1有矩阵形式，-;点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版P111） 向量的长度：定义 |aj = a G为模长。特别地，若|可=1，称其为单位向量 垂直：上=0时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基 向量组内任意两向量满足 u =.j，就称为这组基为标准正交基，比如;x y, z3. 三维复线性空间：在基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成为复向量（坐标是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间。这时，要注意引入复共轭带来的变化4. 复线性空间：现在考虑 n维复线性空间，把这空间里的一个矢量记作，称为右矢主要性质：在此列举几条重要性质（乙w C

8、）(1)円耳卡)=卩)(2)|a)+(f)+|Y)=(|cc)+|B)片 |丫)(3) z(|a)=耳口+z(4) (z + w ja) = z阴 + 呵口 (5) z(wa) )= (zw)a)(6)展开：=z| dj +. +厶dn) , dip称为基，乙称为坐标矩阵表示：G)= a (z|.Zn )5. 内积空间：现在我们在里定义内积，它可看作中两个复向量 卜）和问的点积”n 内积定义：定义运算：=、 aibi，若运算满足下列四条性质就称为内积（1）何門=（0|町（2）叫（z 0）+w Y” =z（口 |耳+诚叩（3）何0 且何 a） =0= |a）=0 （ 4） |zB） =z（a|B

9、）,（別 B） = Z*叫 0） 范数：仿照中向量长度的定义，定义（广义的）长度 lall=7FH =称为范数（norm），若=1就称为单位向量/标准化向量（normalized vector） 正交性：仿照中向量垂直关系的定义，定义（广义的）垂直 （。|= 0 ,称为正交至此可定义两矢量标准正交（ ortho normal ）的条件：（e ej=q从这 向量在标准正交基下展开：我们在高中就知道向量用标准正交基展开是非常简便的，一节开始往后，凡是涉及到向量展开，都只讨论在标准正交基召下的展开 对偶空间：之前提到复空间中引入了复共轭操作，现在就来讨论它。对复数z取共轭得到共轭复数z*，那么对复矢

10、量取共轭应该也得到共轭向量。可以证明，完备内积空间 内的每个右矢的共轭向量构成一个，这空间称为对偶空间，且对偶空间与原空间同构(即两空间的向量对应) 左矢：不妨称右矢的复共轭为左矢。但是，若我们再把右矢的矩阵表示考虑进来，知道右矢可表示为一 n列矩阵，内积是一个数，则左矢应该要表示为一 n行矩阵。综合转置和共轭 的要求，重新定义：左矢为右矢的共轭转置，记作(| = )*【=|口) + 左矢和右矢的理论综述：(1 )左矢和右矢的关系：左矢为右矢的共轭转置，记作(叫=ct)*=卜)+(2) 左右矢的展开：卜)=a1|el)+. + an|eh，何=a*(ej+ + &：($ , (e|ej=(3)

11、 左右矢和范数的矩阵表示：卜)=口=(耳.an，何=(a* . a；)+ n 2贝y (a a) = a a =送 aii=1n(4) 内积的矩阵表示:=瓦a*bi = a+p,当I p)=旬0)+ . + 0何i#nn(5) 向量在标准基下的坐标：送 Ck“ , Ci=e| ；(Y|=瓦 c；(ek , c*=Y|ej)k=1k=1nn(6) 两个常用投影形式：=送eG 打,=送ej/(eji=ij =i6. 函数空间：波函数是复变函数，且根据玻恩的统计诠释，它还是(模)平方可积的。我们先不详细研究波函数，考察所有平方可积函数 (它们显然满足加法和标量乘规则)构成的复线性空间(暂不讨论定义域

12、)，并试图按内积的四条性质给函数定义“函数的内积”(你可以把函数理解为：在第x (比如2.3 )个基方向上坐标恰为 f x 分量式中指标i可取一切正实数 的无穷维向量，虽然这说法不严密，但它能帮助你更快理解后几章的内容）n 函数的内积：仿照向量的内积.八a*b，不妨定义函数内积为f,g二f*gdx一水2这样就要求范数平方（f, f ）= J f fdx = f dx可积，从而去掉了所有平方不可积的函数 函数的正交性：f ,g =0称两函数正交，这概念已经与“垂直”无关2 函数的归一化：f j：；f, f j ：、| f fdx = f dx =1称函数可归一化于是一族正交归一的函数 :fi :

13、定义如下： , fj二.ffjdx二rQO 函数在标准正交基下展开：f二 Cigii =17. 无穷维希尔伯特空间：定义在复数域上的、完备的、无穷维内积空间，就是量子力学所要求的空间，又称态空间。 态矢量的基本概念：（1）定义：态矢量是态空间中的矢量，描述粒子的一个状态（量子态）（2） 狄拉克符号：把 V称为右矢（ket） ，/ u称为左矢（b，合起来就是I： u V，表示内 积左右矢关系：口） 丁 =卜）：物理上称两量子态共轭（3）范数：规定 M = i，这是因为（甲岸）=（甲,甲）=1 （见第三章第三节）（4） 相位：规定Z甲）和|甲描述粒子的同一个状态，由范数要求知，但相位无影 响（5）

14、态矢量的展开：这个问题涉及到表象的相关理论，将在第三章讨论 第一公设 量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由无限维希尔伯特空间中一个范数为1的态矢量|甲）来描述，这态矢量完整地给出系统的所有信息，并且遵守态叠加原理8. （附录）完备性：从内积空间到我们的目标， 希尔伯特空间，它们之间只相隔一个完备性。现在就从数学观点来讨论什么是完备性。（1）向量集的完备性：若一组标准正交矢量g f并不包含在一个比它更大的标准正交矢量集合中，就称这标准正交矢量集是完备的，简称完备基。换而言之，在有限维向量空间中，若标准正交矢量集的元素数 =空间维数，就一定是完备的性质：向量空间中的任意向量都可用同

15、一组完备基展开（或“一组完备基生成这个空间”）对一个空间来说，完备基的选择不是唯一的示例：在 中，9, y是标准正交矢量集但不完备（包含于*?,訂，无法展开带z分量的向量），&, ?, 才是一个完备基，乜?, ?也是完备基（2）内积空间的完备性：数学上对空间完备性的定义是一一空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。有限维内积空间都是完备的（证明见泛函分析）；数学上把一切完备内积空间统称为希尔伯特空间，记作。无穷维内积空间中，只有希尔伯特空间是完备的（3） 函数系的完备性：函数空间中有一标准正交函数系g/，若对任何连续函数 f，都有于名0,三N, M =fCigi2dx ：；，就称9i 是完备的，简称完备基性质：任意连续函数 f都可用同一完备基展开，即QOf：Cigi（条件为